P — TT
OU, à cause de » = ± =:, p» == ±1 Ui
cos« := ± 1^, COSiS = ± r^ , cosy = ± ^.
Çi , yji , (^1 ne dépendent pas de » , mais seulement de Q
,, du du du et des quantités —, -r-, ^ , etc.
Remarquons que l'on peut calculer T quand on connaît K, et que, par conséquent, le problème précédent est complètement déterminé.
491. Lorsque les variables x, j^, z, sont séparées dans l'équation m = o de la surface , on a
dydz ^^ dzdx "' dxdy les équations qui donnent f , >? , Ç et Q, deviennent
.dx
d^u A ^ du
d^u dx^
dz
Dans la même hypothèse , la quantité T et les trois angles â: , 6 5 y seront déterminés par les équations
'd^ .dx
^-q)cos^^(~^-Q^cos€^ (^-Q)c<>^y
T=:rt:p^
Prenons pour premier exemple l'ellipsoïde
on peut faire
d'où
du X dx "" a*'
du y du dy ■" h^' dz
d^u . \ dx^ ~"a»*
dy* ^ b* ' dz*
et Ton aura
Q*')"*"<r'(i— Qc«)~°'
ces et = -!= — cosff = co$ y
A l'aide de ces dernières équations on déterminera en chaque point de l'ellipsoïde ha direction des tangentes aux sections principales, et les deux rayons de courbure principaux.
De plus, si l'on retranche l'une de l'autre les deux équations (i) et (2), on trouvera
d'où il résulte que si après avoir calculé l'une des valeurs maximum ou minimum de Q, on construit un nouvel ellipsoïde , dont les demi-axes a, b\ c\ soient déterminés par les équations
le nouvel ellipsoïde passera encore par le point (x^jr^ z). On peut remarquer que les sections faites par les plans coordonnés dans l'ellipsoïde proposé , et dans ce nouvel ellipsoïde , ont les mêmes foyers 5 car on a
2™® Exemple. Concevons qu'après avoir tracé dans le
plan ajyune courbe représentée parj)^ =zf(x)^ on fasse tourner cette courbe autour de Taxe des^r ; elle engendrera une surface de révolution dans laquelle la distance du
point (j:,j^, z) à Taxe des x^ savoir, V^j^* +^% sera équivalente, au signe près, à l'ordonnée f(x) de la courbe génératrice. On aura donc pour tous les points de la surface
et son équation pourra se mettre sous la forme d'où
L'équation qui donne la valeur de Q sera
d'où, en remettant pour j^* H- z* sa valeur [f(x)y^
On aura d'ailleurs
368 CALCUL D1FFÉREHTIEL«
et par conséquent
La valeur précédente de p est le rayon de courbure de k courbe génératrice qui coïncide effectivement avec Tune des sections principales de la surface de révolution. L'équation qui donnait Q s'est trouvée réduite dans ce cas particulier au premier degré , de sorte que, pour déterminer le second rayon de courbure principal , il faut remonter aux équations qui lient | y y? , ^ avec Q et T, équations qui deviennent
(,^Q), = Ty, (i-Q)Ç = Tz,
et que l'on vérifie en prenant Q=i,T = o, | = o.
En donnant cette seconde valeur à Q, on tix>uvera pour la valeur correspondante de p
N étant la normale de la génératrice.
De plus , l'équation | = o entraînera la suivante cosa=:o, de sorte que la section principale, dont N est le rayon de courbure , a pour tangente une droite comprise dans un plan perpendiculaire a l'axe des x.
192. Les formules générales précédemment obtenues se simplifient lorsque l'on suppose l'équation de la surface résolue par rapport à z, et réduite à la forme z =f(x^y)'^ alors, en posant
u=/{a;,jr)-z, £=p, ^ = 9,
dûo* ' dxdx ^ dy' '
TRENTÈ-QITATRIÈME LEÇON. 36'j^
on trouvera
du du du
H'^P' d^^"^' Tz-^^ ''
djc* d^u
d^u dz^ ""
dydz
U Ur
Q = r cos' tf -f- 2 5 ces A cosff H- ^ ces * C , /? cos «4-7 CCS to = cos y ;
et les deux équations de la courbe plane qu'on obtient en portant, à partir du point (00, y^ z)^ sur la tangente à ♦ chaque section normale , des longueurs égales à la racine carrée du rayon de courbure de cette même section, seront
pi-\-qn = l^y rf* -I- 2*fi; + ^i;» = ±:R.
Les rayons de courbure principaux sont toujours déterminés par la formule
d(>z=zi di -\- tidii^ ÇrfÇ = o,
de laquelle on devra éliminer d^^ dn^ d^^ à l'aide des équations différentielles
(rf 4- sti)dS H- (5?-f- ttj)dtt = 0, pd^ -hqdn = dl^; or, si l'on élimine d'abord d^j on aura
(I 4-/?Ç ) ^f -h ( V -f- Ç^C) ^9 = o , d'où l'on conclut
rè^^is?*j~ht»i^ ±R ±R
et par suite
ou, mettant pour Ç sa valeur p^ + ç^n^
[r - (/?» -h i) Q] { -h is-pq<i)n = 0, (^— /?çrQ)f-h[^-(^»-^i)Q]«f = o,
Ou trouvera encore
On tirera enfin des formules qui précèdent cos« cosff cosy
L'équation
= AQ»-hBQ4-C = o
donnera évidemment deux valeurs réelles de Q. On aura en effet
B» — 4 AC= ((/>» + i)i— 2^175 -h (7»-M)r]*—4(;i»-h^»-M)(r< — i>)
