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simples et directes des beaux théorèmes de Descartes, de Dubuat , de Budan, de Fourier et de Sturm, sur la détermination exacte ou approchée des racines réelles d'une équation donnée ; 7** un théorème nouveau et vraiment extraordinaire^ qui donne le nombre des racines imaginaires dont lapartie réelle et la partie imaginaire sont comprises entre des limites données, théorème qui contient, comme cas particulier , le théorème de Sturm et tous les théorèmes analogues ; 8** une méthode rigoureuse pour le calcul par approximations successives des racines d'une équation numérique quelconque : cette méthode , qui se réduit à celle de Newton quand cette dernière est applicable , donne réellement à chaque opération une approximation plus grande ; 9® des considérations importantes sur la convergence des séries , et deux règles très simples pour l'appréciation de cette convergence; 10** la solution d'un grand nombre de questions difficiles d'analyse.

Je me propose de réunir sous peu de jours, dans un petit volume , l'ensemble de ces perfectionnements; ce sera une exposition nouvelle et très élémentaire de la théorie générale des équations , et du grand problème de la résolution des équations numériques.

Nous devons encore à M. Cauchy une rédaction complètement neuve des deux trigonométries rectiligne et sphérique , et de l'application de l'algèbre à la géométrie. Il a eu l'heureuse idée de ramener l'étude des lignes et des surfaces du second degré à 1'

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discussion facile et simple d'une équation à trois termes r*H-2^r-4-M— A:=o. Il suffit alors dequelques raisonnements évidents, de quelques calculs élégants, sans transformation aucune des coordonnées, pour faire ressortir toutes les propriétés de ces lignes et de ces surfaces. S'il s'agit par exemple des surfaces du second degré , on arrive dans deux ou trois leçons , en suivant une marche très uniforme et tout-àfait analytique , aux équations du centre , du plan diamétral, des plans diamétraux principaux, des axes principaux , du plan tangent, des sections rectilignes , des sections circulaires , des foyers ; aux relations qui unissent les axes principaux aux diamètres conjugués, etc., etc. Il me tarde aussi, en publiant cette admirable méthode, de simplifier l'enseignement de la géométrie analytique. ^

Quant à ce qui concerne les traités de Calcul différentiel, de Calcul intégral et de Mécanique dont j'entreprends aujourd'hui la publication , il suffira de les parcourir pour se convaincre qu'ils diffèrent totalement des traités publiés par d'autres auteurs , qu'ils sont presque en entier l'œuvre de l'ilkistre géomètre. Quand il emprunte à ses devanciers les énoncés des théorèmes, le mode au moins de démonstration est à lui. On verra mieux ce qui lui appartient plus en propre dans l'analyse que je placerai à la tête de chacun des volumes de cet ouvrage. Je n'ai à m' occuper aujourd'hui que du Calcul différentiel.

Ce Traité doit être regardé comme une édition T. I. h

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nouvelle 9 mais considérablement augmentée ^ des Leçons de M. Cauchy. Je l'ai fait aussi complet qu'il m'a été possible; ce n'était pas assez qu'il fiit au niveau de la science telle que l'avaient faite jusqu'ici les traités classiques; ces traités ne préparaient pas suffisamment à la lecture des ouvrages des grands maîtres; il fallait nécessairement donner à l'enseignement un nouvel essor : j'ai essayé de le faire. J'ai fait entrer dans la composition de ce premier volume les ouvrages suivants de M. Cauchy : i^ les Leçons sur le Calcul différentiel ^ deuxième édition , Paris , 1 829; 2® les Leçons sur l'application du Calcul infinitésimal à la Géométrie , t. i®*", Paris , 1 826 ; 3® un Mémoire publié dans le troisième volume des Exercices de mathématiques ^ sur les surfaces que peuvent engendrer, en se mouvant dans l'espace, des lignes droites ou courbes de forme constante ou variable ; 4** un Mémoire sur la théorie des suites et les lois de leur convergence, imprimé d'abord dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences y et plus tard , avec des additions importantes , dans la neuvième livraison des Exercices d' Analyse et de Physique mathématique; 5® un Mémoire sur l'interpolation , d'abord lithographie , puis inséré dans le troisième volume du Journal de Mathématiques de M. Liouville ; 6^ divers Mémoires sur le calcul des résidus, faisant partie des Exercices de mathématiques; 7*^ un Traité inédit du calcul aux différences finies ; 8** enfin un cahier manuscrit que M. Cauchy a bien voulu me confier, et qui

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devait former le troisième volume des applications du Calcul infinitésimal à la Géométrie. L'ensemble de ces Traités et Mémoires formait plus de io4o pages in-4° ; pour le resserrer dans les limites d'un seul volume in-S*', il a fallu changer presque entièrement la rédaction. J'avais à la rendre à la fois plus concise et plus élémentaire; puissé-je avoir réussi!

Ce qui, je l'espère, attirera surtout l'attention dans ce nouvel ouvrage, c'est la rigueur et la netteté des démonstrations. La rigueur est le caractère , j'oserais presque dire le caractère distinctif de la manière de M. Cauchy; son esprit éminemment exact et pénétrant n'a jamais pu s'accommoder de ces demi-preuves auxquelles tant d'autres géomètres se sont résignés. Cette rigueur n'est pas ennemie de la simplicité, elle en est au contraire la compagne inséparable. Une démonstration incomplète est une difficulté cachée, mais non résolue , qui tôt ou tard se fera jour et deviendra la source de difficultés plus grandes encore; une preuve rigoureuse est toujours, au contraire, unedifficulté vaincue. Avant que M .Cauchy publiât ses Traités, les démonstrations des théorèmes fondamentaux du Calcul différentiel reposaient trop souvent sur la considération de certaines séries que Ton employait sans discernement , sans avoir pu s'assurer qu'elles étaient convergentes , ou qu'elles étaient l'expression exacte des fonctions qui semblaient leur avoir donné naissance. C'était un véritable abus contre lequel M. Cauchy n'a pas cessé de

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réclamer ; il n'a jamais eu recours à im développement en série sans avoir d'abord mis en évidence sa possibilité , sa forme , sa convergence , son existence en un mot, comme expression de telle fonction donnée. Je crois pouvoir affirmer sans crainte qu'en étudiant ou en enseignant ces Leçons, on ne rencontrera pas une seule démonstration qui ne satisfasse pleinement l'esprit. Je suis même convaincu que dès qu'on se sera familiarisé avec les notations, d'ailleurs très simples et très élégantes, de M. Cauchy , on sera forcé de reconnaître que ses méthodes sont les plus élémentaires de toutes.

J'ai cru devoir prendre pour base et pour point de départ du Calcul différentiel la considération de la fonction dérivée, dont on se fait toujours une idée nette et précise en disant qu'elle est la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable indépendante. De la définition de la dérivée je passe à la dififérentielle , qui est le produit de la dérivée par l'accroissement arbitraire attribué à la variable indépendante. Je n'ai pas craint de dire que cette différentielle, regardée par Euler comme rigoureusement égale à o , est en réalité une quantité indéterminée finie ou indéfiniment petite , suivant que l'accroissement arbitraire attribué à la variableindépendante est lui-même fini ou indéfiniment petit : de fait cependant, dans le calcul différentiel considéré comme distinct du calcul aux différences finies, la différentielle est toujours une quantité très' petite. M. Cauchy a cru, dans ces dernières année?