INTRODUCTION. XXJ

devoir donner de la dififérentielle une définition directe , immédiate , indépendante de la considération des fonctions dérivées. Se rapprqchant des idées de Maclaurin et de d'Alembert, il appelle différentielles des quantités doât les rapports sont équivalents aux dernières raisons des accroissements que peuvent prendre simultanément les variables. En partant de cette définition on peut calculer les différentielles sans passer par les dérivées, comme je l'ai fait voir avec détail dans la quatorzième leçon ; mais je n'ai pas voulu la prendre pour point de départ : elle n'est réellement avantageuse que lorsqu'il est question des fonctions de plusieurs variables indépendantes; j'aurais craint, en l'employant trop tôt, de jeter quelque obscurité sur les principes du Calcul différentiel qu'il importait tant d'éclaircir.

On verra que je me suis efforcé de faire comprendre parfaitement le sens des notations du Calcul différentiel et de leur enlever tout ce qu'elles pouvaient présenter d'obscur ou d'ambigu. Je regrette de n'avoir pas banni complètement de ces leçons les notations vagues et incommodes ^, ^^> ;r^> ^>

-T- dx^ -j- -T- dx^ pour leur substituer les notations

plus tranchées j^=D^jr? d^Xt ^x=^x^i 2,==PyZ, </j:2, dy%^ etc.

Puisque le développement des fonctions en séries n'est qu'une des nombreuses applications du Calcul différentiel , j'ai cru, toujours en suivant M. Cauchy , et quoique l'opinion contraire ait été soutenue

Xxij INTRODUCTIOW.

par Lagrange , dans son remarquable et célèbre ou-^ vrage sur le calcul des fonctions, qu'il importait d'établir les principes, fondamentaux de cette branche importante de l'analyse, indépendamment de ce développement ou indépendamment de la formule de Taylor. M. Cauchy ramène dans tous les cas le calcul des dérivées à la considération des valeurs que prennent pour x = o les trois ex-

pressions (h-j:)*, -^ — -'-, ^l?^j cette méthode

paraît au premier abord trop subtile , elle n'est réellement qu'ingénieuse , et il est presque impossible de l'éviter sans tomber dans quelque cercle vicieux, ou sans cesser de marcher du simple au composé. Il est d'ailleurs utile de montrer de bonne heure aux élèves le parti qu'on peut tirer d'une heureuse transformation analytique. Dans une Note sur la limite de ( H-- j , insérée dans le dernier numéro du

Journal de Mathématiques pures et appliquées y M. Liouville dénonce comme insufiBsantes les démonstrations dont on fait ordinairement usage pour prouver que cette limite a pour valeur le nombre

e = I H \ + etc. J'aime à croire que cette

Qbservation ne s'étend pas à la marche suivie pr M. Cauchy, et que. M. Liouville, dans sape sée du moins, a fait une exception en faveur son illustre confrère. Dans tous les cas, com^ cette limite est pour M. Cauchy la base du Ca^