Quand on connaîtra les deux valeurs Q' et Q"de
TREWTE-QUATBIÈME LEÇON; ijt
Q, on déterminera facilement et les deux rayons de courbure principaux , et les directions des tangentes menées parle point (x^ y, z) aux sections principales.
Comme le produit Q'Q" de ces deux racines est égal à rt — 5*, elles seront de même signe si l'on a rt — s^ >o, et les deux rayons de courbure dirigés dans le même sens seront les valeurs maximum et minimum du rayon de courbure p. Si l'on avait rt — 5' < o, les àeux racines de l'équation seraient des quantités de signes contraires , et les rayons de courbure dirigés en sens contraire représenteraient deux valeurs minima de p. Si l'on avait rt — s* =0, l'une de# racines s'évanouirait, et la valeur maximum de p deviendrait infinie : donc alors une des sections principales aurait une courbure nulle. H est aisé de s'assurer que cette circonstance a lieu en chaque point d'une surface développable : par conséquent les valeurs der, f, 5, tirées de l'équation d'une semblable surface , vérifient la formule rt — 5' = o, quelles que soient les valeurs attribuées aux coordonnées x^y^ z.
Les deux valeurs Q' et Q" deviennent égales dans le cas où B* — 4AC = o, ce qui ne peut arriver sans que les deux carrés dont se compose cette différence soient séparément nuls , ou sans que l'on ait à la fois
pqr^{p* H- 1)5 = 0, (/>*-f- i)^ — (y»+i)r= o, ou, ce qui revient au même,
/?» + 1 pq ^* 4- î ^
Or dans cette supposition , l'équation qui donne Q , c'està-dire
devient
d'où Ton tire 9 en remarquant que dans le cas dont il s'agit rt — 5* n'est pas nul,
k /?*+! pq ^*+i'
Donc alors la valeur de Q , et par conséquent celle de pj est indépendante des angles , a , 6 , y , ou des coordonnées
Et en effet, F équation
If i .
- z= - cos*c( H — sm»a
se réduit, à cause de p, = p^^, à
II, . . I
- = - {cos*tf + sin '«) = -.
On trouverait aussi que dans ce cas les valeurs des coordonnées I , >3 5 (i^) ou des angles a , 6 , y qui correspondent aux rayons de courbure principaux, sont indéterminées.
Les points de la surface pour lesquels toutes les sections normales ont la même courbure s'appellent des ombilics.
Pour que les rayons de courbure principaux soient égaux et dirigés en sens contraires , il est nécessaire que dans l'équation AQ"* -f- BQ + C =0 le coefficient de Q s'évanouisse, et que l'on ait en conséquence •
(/?» -h i)t — npqs -4- (9* -4- i)r =: G.
Remarque, On démontrerait plus simplement la réalité des racines Q' et Q", en supposant, ce qui est toujours permis , que l'on a pris pour plan xj un plan parallèle au
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plan tangent mené par le point {pc^y^ z). On aurait en leffet, dans cetfe supposition ,
/? = G, 9 = 0; Téquation qui donne Q deviendrait
(r-Q)(r-.Q}-f>=Q, d'où
Q»— (^-l-/-)Q-f- rf — j» = o,
la quantité sous le radical est essentiellement positive, donc , etc.
194. Considérons toujours une surface courbe représentée par l'équation li = o, et sur cette surface une courbe quelconque passant par le point {x^y^ z). Si l'on nomme s l'arc de cette courbe pris pour variable indépendante, et P son rayon de courbure correspondant au point (pc^y^ ^), les cosinus des angles formés par ceri^yon avec les demi-axes des coordonnées positives, seront (n« 166)
