IF' ^IF' ^IF
Si de plus on mène la normale à la surface en ce même point, et si l'on fait, pour abréger.
les cosinus des angles compris entre la normale et les demi-axes des coordonnées positives, seront respectivement
\ du i du I du
rTùo' Kd^' R^' Cela posé , soit i l'angle que fait la normale avec le rayon
374 CALCUL DIFFÉRBSTIEL.
de courbure, on aura
du du ,^ du ,
V dx dy '^ dz
cos^ = —
D'ailleurs en différentîant deux fois de suite réquadon u = o, et désignant par «, 6, y, les angks que forme la tangente prolongée dans un sens ou dans un autre avec les demi-axes des coordonnées positives, on en tirera, comme nous Tavons déjà vu,
du , du , du , •
la valeur de Q étant déterminée par Féquation
Q = -r--cos'» H-3-— cos*o 4- -TT co«*y
or* djr* dz^ r
-4- 2 -7 — r cosb cosy -h 2 . , cosy cos« -h 2 -r — r- cos« COSb. djrdz azdx dxdy
et l'on aura par conséquent
p cos#' Q R K
cos^=:-7-Q, = — ^, P = — —cos^.
Des trois quantités R, Q et cî, la première R dépend uniquement de la position du point {x^y^ z) sur la surface \ la seconde Q dépend à la fois et de cette position , et de la direction de la tangente à la courbe tracée sur la surface; à représente toujours l'un des angles formés par le plan osculateur de la courbe avec le plan tangent, ou, ce qui revient au même , par la normale principale de la courbe , avec la normale à la surface. Cela posé, il est clair que si l'on donne avec le point (a:, y^ z) , la tangente à la courbe, et le plan osculateur, ces quantités Q et R seront connues, ainsi que cos à \ on pourra donc déterminer le rayon de
courbure à l'aide de Féquation P = — —coscï. De plus.
TREJVTE-QUATRltME Lt,ÇOh. 'dy5
comme les quantités P et R sont essentiellement positives, cos ^ et Q devront être de signes contraires^ et comme oti cotinalt le signe de Q, on pourra dans tous les cas dé^ terminer le signe de cosc^, et, par conséquem, le aetts dans lequel on devra porter le rttyoïi de cotirbure >p is«r la normale principale de la cou Ae pnoposée^. ■ . ^ : - i f • ; j 19S. Si l*on voulait avoir le rayoii' de couribUre p de la section normale, il faudrait ^aire coïncider le plan oseulateur de la courbe avec un plan'tiormal, eti pqeanlt
cos J = zh I • On trouverait ainsi p = qp — , valeur qui
s'accorde avec celle que nous avctos obtenue plus haut ;
en substituant , au lieu de —, sa valeur ih p , on aura
P :î=: db j& cos^. On conclut facilement de cette dernière équation le théorème suivant :
Co&cerons qu'une courbe quelconque étant traicée sur ime surface , on mène par la tangente â cette courbe en ^uu point donné (or, j, z), un plan normal à la surfacç ^ je. rayon de courbure de la courbe sera le produit du rayon dé courbure de la section faite par le plan normal par le cosinus de Fangle aigu compris entre ce même plan et le plan osculateur de la courbe.
Ce théorème remarquable , dû à Meunier, peut , en ne considérant que defrsections planes, s'énoncer aussi comine il énh : le rayon de courbure d'une section oMî^ue est Iif projection sur le plan de cette courbe du rayon de la section normale qui passe par la même tangente. En imaginant une sphère décrite de l'extrémité du rayon de courbure de la section normale prise pour centre, et avec ce même rayon, on pourrait dire encore que tout plan conduit par la tangente coupera cette sphère suivant un cercle qui sera le cercle osculateur de la section faîte dans la surface par ce même plan.
On peut aisëment vérifier le théorème qui précède dans plusieurs cas particuliers. Ainsi, par exemple, si par un point donné sur une sphère , on fait passer un grand cercle et un petit cercle qui aient en ce point la même tangente , on reconnaîtra sans peine que le rayon du petit cercle est équivalent au rayon de la sphère multiplié par le cosinus de Tangle aigu compris entre les plans des deux cercles.
Supposons encore que la surface courbe est la surface de révolution engendrée par la rotation autour de Taxe des or de la courbe y =zf(x)^ et que Ton demande le rayon de courbure P de la section faite dans la surface par un plan normal a la courbe génératrice , et passant par le point {pc^y^ z). L'angle aigu compris entre ce plan et un second plan perpendiculaire à l'axe des ar, sera évidemment égal à Tinclinaison t de la courbe génératrice par rapport au même axe. Ce second plan coupera la surface de révolution suivant un cercle dont le rayon P est égal au signe près à rord6nnée/*(j:) de la courbe génératrice. On aura donc , en appelant toujours p le rayon de couij)ure de la section normale , et parce que
Les équations qui précèdent se simplifient considérablement dans le cas où l'équation de la surface zi = o est de la forme z — f{pc^ j^) ==: o -, on trouve en effet alors
Q = rcos*«ft H- 2^cos«cosC -h rcos*o,
cos^ rcos*« -j- iscosa coso 4- 1 cos^C
TRENTE-GINQUIÈIIIE LEÇON.
NouTollea propriétés des sections principales. — Lignes do courbure des surfaces. — Centres de courbure.— Surface lieu des centres do courbure.
196. Si dans les équations (a)(n°189) on met à la place de I, », Ç 5 leurs valeurs tirées des équations
f =:f»acOSa=p»— , 9=pacosb=rpa^, Ç = pac0Sy=p» — ,
on trouvera, en posant -7= T',
fd^x \ dx d*u djr d*u dz du
\dx* J ds dxdy ds dxdz ds dx^
,., 1 d^u dx (d^u J\dY d^u dz ^, du
dydz ds dy
d*u dx d^u dy fd^u A dz „, du dxdz ds dydz ds
\dz^ ^J ds dz'
Appelons l^ m^ n les angles que fait avec les axes la perpendiculaire au plan osculateur de la section normale, cette ligne sera nécessairement perpendiculaire à la tangente à la section normale et à la normale à la surface , et Ton aura
ces / dx H- cx>smdy -f- ces ndz^=. o ,
du du du
cos / -; — h cos m — — [- cos n —r-z=L o,
dx dy dz
378 CALCUL DIFFÉHEHTIEL.
Cela posé, si après avoir multiplié respectivement les équations (b) par cos /, cos m , cos n^ on les ajoute , Q et T' disparaîtront, et l'on trouvera
cosm
fd*u , d*u
\dxdz dydz
équation que Ton peut écrire sous la forme très simple
du du du
cosld.-r- -h cos m d.-= — h cos n d.-^ = o,
dx djr dz
puisque Ton a identiquement
d*u , d*u , d*u - , du
-r-T dx + — -- dx H- -r-r dz ^= rf.—, ... etc.
ax* dxdjr dxdz dx
Les trois équations
du du du
cos Id. -T- -\- cos m d. -p- -f- cos/ï<i. -r-, dx dy dz
,du du du
cos / -r — h cos m-' — h cos/ï -^ = o, dx dy dz
cos*/ H- cos*/» + cos*« = I ,
suffisent pour déterminer, au sigueprès, les trois quantités ços /, cos w, cos w, on pour fixer la position du plan osculateur à la section normale dont le rayon de courbure est un maximum ou un minimum.
197. Supposons maintenant qu'ayant mené par le point (a:, j-, z) une section normale quelconque , on considère sur cette section un second point dont les coordonnées soient x + Ax, / + A^, z + Az, menons par ce second point, ainsi que par le point {x^y^ z) , deux normales à la surface , et par l'une de ces normales faisons passer un plan parallèle à l'autre. Si l'on désigne par /', ni\ n' les
angles que**forme avec les axes une perpendiculaire à ce plan, on aura tout-à-la-fois
^,du ,du ,du.
cos / — -hcos/w'-T- 4-cos«'-7-= o,
dx dy dz
,,fdu du\ ,fdu du\
et Ton en conclura
du du du
cos/^A -r — h cosm^ à— — h cos /l'A --- = o. dx dy dz
Si les deux normales deviennent infiniment voisines, cette dernière équation deviendra
du , du , du
coêl'd,- — h-coBin fl?.-î — I- cosii i/.-7- = o. dx djr iiz
Par conséquent pour tout plan parallèle à la normale menée par le point (a:, y, z) et à une normale infiniment voisine menée par un second point de la couii>e que Ton, considère, les angles /', m', n' seront déterminés par les deux équations
„ du ,du ,du
cosr -;- -h cos iw'-7--i- cos/ï -r- = o, dx dy dz
du , du du
cos/ d.-i — y-co&m' d,-r- -f- cos tî c/.-r- = o. dx df dz
Quand la section normale que Ton considère est une, section de plus grande ou de moindre courbure , on a , comme nous venons de le voir, en désignant par /, m, /* les angles que la perpendiculaire au plan Qsculateur ou au plan de cette courbe fait avec les axes ,
du du du
cos l— h cos IW -;- -h cos « --- = O ,
dx dy dz
cos / d,-- — h cos/w d,— — h cos n d,-z- zzz o. dx dy dz
On aura donc
CO&V COS/Tt' cos/i'
