COS/ C0SI7I COS/I
et par conséquent le plan normal qui renferme une section de plus grande ou .de moindre courbure au point (x^jr, z) renferme en même temps la normale à la surface menée par un second point de la section infiniment voisin du premier.
198. On appelle ligne de courbure d*une surface courbe, toute ligne qui, étant tracée sur cette surface, est tangente en ce point à une section normale de plus grande ou de moindre courbure. D'après cette définition, les valeurs des difiérentielles dx^ djr, dz^ ou plutôt des
rapports -r- % -r- 1 correspondant aux lignes de courbure,
doivent être celles qui répondent aux sections normales de plus grande et de moindre courbure \ et , puisque ces valeurs se déduisent des deux équations
du , du . du
- — rfx -f- -T- «r H- -T- <w = o ,
ri) l ^
^ ^ ^ du du du
COS/rf. -; h COSIWa. -; h COS/ïrf. -7- = O ,
il est clair que ces deux équations sont précisément les équations difierentielles des deux systèmes de lignes de courbure. La dernière dç ces équations peut, comme on l'a vu, se mettre sous la forme
f d^u dx d*u dy d*i^ dz\
\dx^ ds dxdy ds dxdz ds )
f ^ j ( d*u dx d^u dy d*u dz\ .
^ \ dxdy ds dy * ds dydz ds ' '
f d^u dx . d^u dy d*u dz
\ dxdz ds dydz ds dz* as
D'ailleurs, des formules
dx dr dz
ds ds ds
du du du cml-r-h COSIW-7- -f-co8/i-r- =0,
■ dz dr dx
on tire
008/ COSITt OOS/I
du dz dudy dudx du dz dudy du dx*
^ds dz ds dz ds dx ds dx ds dy ds
Si dans Téquation (2) on remplace les trois cosinus
• n ^^ ^ du dy
par les quantités proportionnelles -^ -^ — X "J" ' ^^^">^^
obtiendra une équation du second degré entre les rapports -^ f -T- > et en éliminant un de ces rapports à l'aide de
ftX €IX
réquation
du du dy du dz
dx dy dx dzdx
qui est du premier degré seulement , on aura, pour déterminer l'autre , une nouvelle équation du second degré , qui est ce qu'on appelle plus proprement l'équation différentielle des lignes de courbure.
Si dans l'équation de la surface les variables étaient séparées, on aurait
fl^db dzelx dxdy
et les équations différentielles des lignes de courbure se
réduiraient à
du , du . du ^
-p- «te -f- -7- flj -f- -r «^ = o > dx dy dz
,^v du ( d^u d*u\ . , du /d*u d*u\ , .
du dz
382* CALCUL DIFFÉHENtlEL.
Ainsi , par exemple , les lignes de omrbare d'une eUip-* soïde rapporté à soû centre et à ses axes se trouveront déterminées par le système des deux équations différentielles
« xdx ydr zdz a* o* c*
H [a* -^ b*)dxdy z=. o.
La première de ces deux équations différentielles peut être remplacée par Téquation même de Tellipsoïde. Pour une surface de révolution on aurait (n** 191)
du du d*u d^u
et, par suite, Téquation (3) se réduirait à
dx{yd% — zdy) =0,
et Ton en conclura que les lignes de courbure ne sont autre chose que les sections planes faites par des jdans perpendiculaires à Taxe, ou par des plans passant par Taxe.
Puisqu'à chaque point d'une surface donnée il existe en général deux sections normales de plus grande ou de moindre courbure , à chacun des poinU de cette surface correspondront auss}*deux lignes de courbure qui, comme les sections principales , se couperont nécessairement à angle droit.
Considérons , en particulier, le cas où l'équation de la surface se présente sous la forme
Pour obtenir la direction des lignes de courbure , qui
coïncide avec celle des sections principales , il suffira dans Tëquation
(/>»+ç»-hl)Q— .[(j3»-f-l)f — 2jD^j — (^»H-l)r]Q-f-7r— f»=:o,
de substituer pour Q sa valeur tirée des équations cos« , cosC cosy
et exprimée au moyen de Pun des rapports
cos^ dy cosy dz
cos 01 "^ rir ' cos « dx^
du premier, 'par exemple : on trouvera de cette manière
^[{q*^l)s^pqt]-h^[{q* -h l)r-^ip* -h l)t]
--[{p*'^l)S'^pqr]=0.
Onprouvera très facilement que les deux racines de cette équation sont toujours réelles en supposant, ce qui est toujours permis , que le plan xy est parallèle au plan tangent ^ on aura en e£fet, dans cette hypothèse,
/> = O, q = Oy
et Téquation qui précède deviendra
dy* dr , . dy* r — t
on en tîre
dx 2J 25
ces deux valeurs sont évidemment toujours réelles ; en les désignant par tang r, tang r , on a de plus
tangr tangr =: — i ,
ce qui montre bien que les deux lignes de courbure sont perpendiculaires Tune à Fautre.
Lorsque le point (a:, j^, z), pris sur la sui^ace, est ce que nous avons appelé un ombilic, on a (n^ 193)
{q* -+- \)s — pqt = Oy (/>» -f- t)* — pqr = o,
et par suite
L'équation qui donne la direction des lignes de courbure devient identique, ou prend la forme o = o, ce qui annonce que d'un ombilic il part une infinité de lignes de courbure ^ nous avons vu en effet que dans ce cas toutes lés sections normales sont des sections principales ou des sections de plus grande ou de moindre courbure.
199. Les lignes de courbure sont, en vertu même de leur définition, tangentes en chacun de leurs points à une section normale de plus grande ou de moindre courbure. De plus, le plan normal qui renferme une section de plus grande ou de moindre courbure au point (x^ y^ z), et par suite la tangente à la ligne de courbure en ce point, renferme en même temps la normale à la surface menée par un second point de la section infiniment voisin du premier. En partant de cette double propriété, on serait tenté de définir avec Monge les lignes de courbure des lignes qui renferment la suite des points d'une surface pour lesquels les normales infiniment voisines se rencontrent successivement^ mais cette définition est réellement défectueuse, parce que de fait deux normales ne se rencontrent pas , quelque voisines qu'on les suppose. Ce qui est vrai, c'est que le rapprochement des normales correspondantes à deux points très voisins pris sur une ligne de courbure , est plus intime que dans toute autre direction \ comparée au petit arc qui sépare ces deux
normales sur la surface , et que nous supposerons être un infiniment petit du premier ordre , leur plus courte distance serait un infiniment petit du second ordre, tandis qu'elle est en général du premier ordre ou de même ordre que l'arc. En partant de sa définition , voici comment le célèbre Monge arrivait à l'équation des lignes de courbure : ,
Supposons , pour plus de simplicité , que l'équation de la surface soit
les équations de la normale au point (x ^ y, z) seront
ou
P = G ^ tV = G.
Pour passer de cette première normale à une seconde infiniment rapprochée, il faut faire cioître les variables x^y^ z de leurs différentielles; mais les fonctions P', %v croissent aussi alors de leurs différentielles , et par conséquent les équations de cette seconde normale seront
p + e/f = G , w •-{■■' dw -zzi G ,
ou , en réduisant ,
Les coordonnées du point de rencontre de ces deux normales seront données dès-lors par les équations
I — ar + /?(Ç— 2) = G, jj— j4-7(Ç — 3)1=0, dx '{' pdz -=. [Z^ — ^)^Py dy -\- qdz •=: [Z, — z)dq.
Mais le nombre de ces équations surpasse le nombi*e des inconnues, et par conséquent deux normales consécutives ne se rencontreront pas toujours : cela n'aura lieu qu'autant que l'équation de condition que l'on obtient en éliminant Ç , >? , ^ entre les équations qui précèdent sera vérifiée. On parvient facilement à cette équation en éliminant d'abord Ç — z entre les deux dernières équations; on T. i. " 25
trouve ainsi
si , maintenaut , ayant égard aux relations connues ,
dzznpdx^ qdy , dp zzz rdx + sdjr , dq = sdx + tdj, on substitue , pour dz , dp^ dq^ leurs yaleurs , il viendra
C'est Téquation à laquelle nous sommes déjà parvenus par une autre méthode.
Nota, Le plan osculateur d'une ligne de courbure en un point donné doit être soigneusement distingué du plan normal qui passe par la tangente à cette ligne. De même , le cercle osculateur d'une ligne de courbure doit être en général distingué du cercle osculateur à la section normale à laquelle cette ligne de courbure est tangente. Il n'existe en elTet, en général, qu'un contact du premier ordre entre la ligne de courbui^e et la section principale qui ont seulement une même tangente correspondante aux mêmes
valeurs des trois quantités— , -f) -ff tandis que les différentielles secondes «i^a:, rfy, d'z^ etc., dont dépendent le plan osculateur et le rayon de courbure, changeront ordinairement de valeur dans le passage d'une de ces courbes à l'autre.
200. Les coordonnées ^ , y? , ^ du centre , et le rayon p du cercle osculateur à une section normale passant par le point {x^ y^ z), vérifient, comme nous l'avons vu, les équations
du du du Q R '
dx dy dz
TREIlTKKIIIIQUlJSaiE LEÇON. SS^
et si là section normale est de plus Pane des deux sec-^ tiens de plus grande et de moindre courbure, Q devra satisfaire à Téquation (A), page 364* Le centre du cercle osculateur devient alors ce qu'on appelle un des deux centres de courbure de la surface donnée pour le point (po, y^ z). Si l'on veut obtenir l'équation de la surface lieu de tous ces centres de courbure, il suffira évidemment d^éliminçr les variables x, y, z et Q entre les équations
uzzzo
^ du q^ du q* du
dx dy dz
et l'équation (A).
Exemple : Supposons , pour fixer les idées , que l'équation Il = o soit celle d^un ellipsoïde rapporté à son centre et à ses axes, ou que l'on ait
Les équations entre lesquelles devra se faire l'élimination seront
•■(-y=rr(-;)=Q-'-(-!)=r
■ « ■ >■ ■!■ ■ . ■ ■•■4* ■ » ■ ■ ■ ■■4m» ■■'"■■■■ ■ ■« ■ ^zsm o*
On peut même (p9 191) à l'équation de la surface ou de FeDipsoïde substituer la suivante:
En mettant dans ces deux dernières équations , à la place
de o: , y^ z ^ leurs valeurs tirées des précédentes , on
trouve
aH* b^n^ c^g»
Fil ('-4) (-4)"';
Il ne s'agira plus que d'éliminer Q, ou plutôt — entre
ces deux formules, pour obtenir Téquation définitive entre ^ ? >î , f .
En substituant au contraire aux dijfférences
«' — TTJ * — T7i ^*— TT»
leurs valeurs
on aurait trouvé
l X^ I yS I ^3 I a:^ I T^ . 1 2^
Si l'on coupe la double surface Heu des centres de courbure de l'ellipsoïde par les trois plans coordonnés , on obtiendra sur chacun de ces plans deux courbes distinctes» Cherchons en particulier les courbes d'intersection de la
double gurface dont il s'agit avec le plan xj en faisant ^ = o, ce qui entraîne nécessairement ^=o. Pour trouver ces courbes on déterminera d'abord les deux valeurs de Q que fournit l'équation
quand on y suppose z=o; or on peut alors satisfaire à
TRÉNTE-CIJVQUIÈME LEÇON. SSp
cette équation , soit en prenant c' — -- = o , ce qui rend
le dernier terme du premier membre indéterminé, soit en posant
Dans le premiei: cas on ^ura
X ai Y bn
en substituant ces valeurs de -, r àsLïis Téquation de Tel-
lipsoïde , et supprimant le terme — , on a définitivement pour première courbe d'intersection l'ellipse
ia..2
Pour obtenir la seconde il faudra combiner entre elles les deux équations ,
i x^ \ f^ i x^ i jr^
On tirera de ces dernières
fxy ai /jrV __ ^?
ou> en faisant pour abréger
___ = ±A, — ^ = ±:B, ^-.^^j, ^~^BJ-
En substituant ces dernières valeurs de — -, tt dans Té-
390 CAJLCUI. DIFPÉASNTIEL.
quaûon de l'ellipsoïde , puis efikçtnt le lerme -;f on trou- Tera pour TéquatioipL de la seconde conrbe cherchée
Donc cette seconde courbe ne sera, comme on devait
s'y attendre, que la développée de l'ellipse —4-^ = 1.
201 . Considérons une courbe quelconque tracée sur la surface que représente l'équation u=o, et considérons que par la tangente à cette courbe au point {x , y^ z) on fasse passer une section normale, le rayon p du cercle osculateur à cette section normale correspondant au point (or, y^ z), et les coordonnées ^ , >î , f de son centre vérifieront les équations
du du "^ du Q ~ R'
dx dy dz
d'où Ton tire \ ^ \ du i du y, i du , 1 ^
Q et R sont d'ailleurs (n*^ 186) déterminés par les équations
du du du
Qds^ =zdxd.- — \- dy d.— — \- dz d.—-- ,
dx ' -^ dy dz
du\ . fduy . fdu\^ dx
Si l'on fait varier le point {x^y^ z) sur la courbe donnée, le point (f , y? , ^) variera en même temps et décrira une seconde courbe correspondante à la première , et dont on trouverait les équations en éliminant x^y^ z entre les
TRENTB^INQDIEME LEÇON. 'igi
équations (i) et l'équation de la surface a = o. Pour parvenir à connaître quelques-unes des propriétés de cette seconde courbe, différentîons les équations (t) en faisant varier à la fois toutes les quantités qu'elles renferment : nous trouverons ainsi
I du du I
I du du i djr-d,= -d.-+-d. -,
I du du I ^ Q dz dz Q^
dp = ±(^~dR + Rd.^y
Si , en ayant égard à la formule
du . ^ du . ^ du .
on ajoute les trois premières de ces équations respectivement multipliées par dx , dy, dz , on trouvera
dx* + dy^ ~\^dz* —( dx di + dydn + dze^)
\ ( , . du . . du , , du\ .
Q \ dx "^ dx dz)
et, par suite,
dx d% -\- dy dn '•\- dz d^ = o.
Si , au contraire , ou ajoute ces équations respectivement
, , ,. , du du du
multipliées par -7- , -7- , -7- , on trouvera '- ^ dx • dy dz
{du ^ du , du ,^N 1 {du ,du du , du du , du^ \dx dy ^ dz ^1 q\dx dx dy dy^ dz dt ^
Sga CALCUL différentiel*
et Ton en conclura
ou, ce qui revient au même,
-di^-dn + -dl^ ^^
Enfin, si en appelant /, m, /» les angles que la perpendiculaire au plan de la section normale fait avec les axes, et en ayant égard aux équations
cos/ dx + cosiTi dy -f- cos/i </z = o , du du du
ces/ 1- COS/W -; h COS/Ï -7- = ^ y
dx dy dz
on ajoute de nouveau les mêmes équations respectivement multipliées par cos/, cos m, costï, on trouvera
cosldl; + cos m dt) + cos/2 rfÇ
I / u du j ^" , ^ ^"\
= — — ( CQ^ld^- \- cosmd,- — I- cos/2«.-7- .
Q \ ojc o)^ dz/
