Reprenons les trois équations
dxd^ + dydfj + dzdl^ =z o ,
dx , dy dz ^ dp
R \/di^ +dv^ + d^^ ]/di^ + dfj^+d^ ^
cxysldi + cosmdtj + cos/i^t
I / , , du du , du\
=: — — ces/ a. -T h COS/W a . h COS/2 « . -r- I .*
R\ rtjp dy dz J
la première exprime que les tangentes menées à la première et à la seconde courbe par les points correspon-
TREMTE-CINQUIÈME LEÇOJX. SgS
dants {x^j^ z), (^, y?, ^), comprennent loujouis un angle droit; la seconde fait voir que le cosinus de Fangle formé par la tangente à la seconde courbe avec la normale à là surface est équivalent, au signe près, au rapport entre la différentielle du rayon de courbure et la différentielle de l'arc de la seconde courbe. Enfin, si la courbe donnée coïncide avec une ligne de courbure, on aura (n^l96)
du du du
co^ld.-z — h co&md,— — |- 008/2^.-7-= o,
dx dy dz
et la troisième équation, réduite à
cos/^S H- cosmdii -f- cosndl^ = o,
prouvera que la tangente à la seconde courbe sera comprise dans le plan normal qui renferme la tangente à la première ; et, comme d'ailleurs ces deux tangentes se coupent à angle droit, on conclura que la tangente à la seconde courbe coïncide avec la normale au point (x,j^, z). A raison de cette coïncidence , le cosinus que représente le premier membre de la seconde équation se trouvera réduit à ± I , et Ton aura
V/flÇ* -f- dn^ -f- e/Ç"» = rf(r = ± ///),
a étant l'arc de seconde courbe ; il suit de cette dernière équation que, dans le cas où la première courbe est une ligne de courbure , l'arc compris entre deux points de la seconde courbe est équivalent à la différence des valeurs de p qui correspondent à ces deux points ; et comme dans ce cas le rayon de courbure p est précisément la partie de la tangente à la seconde courbe qui se trouve comprise entre cette seconde courbe et la première , il sera vrai de dire que la seconde courbe fait , à l'égard de la première, l'office de développée.
394 CALCUL DIFFÉKBNTIBL.
TRENTE-SIXIEBIE LEÇON.
Des Bttrfbcet qui sont osouUiriees Pane de Tautre en un point <|ui leur est commun. — Sur les divers ordres de contact des surfaces courbes.
203* On dit que deux surfaces sont osculatrices l'une de Fautre en un point qui leur est commun lorsqu'elles ont en cç point, non-seulement le même plan tangent ou la même normale , mais encore des sections principales comprises dans les mêmes plans normaux, et les mêmes rayons de courbure principaux dirigés dans les mêmes sens. Alors le contact qui existe entre les deux surfaces prend le nom d'osculatîon. Concevons que, dans le même cas , on mène par le point commun aux deux surfaces un plan quelconque normal ou oblique : il coupera ces deux surfaces suivant deux courbes qui auront nécessairement le même rayon de courbure : car d'une part, les rayons de courbure des sections normales ne dépendent que des rayons de courbure principaux et de la direction de la tangente à la section normale ^ de l'autre , les rayons de courbure des sections obliques sont complètement déterminés quand on connaît le rayon de courbure de la section normale correspondante et l'angle que font entre elles ces deux sections : or ces quantités dont dépendent les rayons de couibure sont évidemment les mêmes pour les sections faites par un même plan dans les deux ^rfaces osculatrices. Ciilà posé, comme m appelant â Tanglc de
la section normale avec la section oblique^ le rayon de courbure de cette dernière section est donné par Téquation
cos^ rcos*«-f-a^cos« cosff + f oos* C
il faudra nécessairement que le second membre de cette dernière équation reste invariable dans le passage de la première surface à la seconde pour toutes les valeurs des angles a , S , y que fait avec les axes la tangente à Tune quelconque des sections faites dans la surface : or cette tangente étant située dans le plan tangent ou perpendiculaire à la normale, on aura
p cos A'\~q ces Q ■=. cosy ;
d'où l'on tire, en substituant pour cos y sa valeur dans l'équation
cosf «-|-C0S*C-f-C05*y = I ,
cos*« + cos*C-t-(/?cosfl6-|-ycosC)*= I.
Il faiiidra donc que poiu* toutes les valeurs de (z, 6, pi*opres à vérifier cette dernière équation, l'expression
rcos* « H- j cos flc cos^ -f- 1 cos* C
jxe change pas de valeur. D'ailleurs les deux surfaces se touchant par hypothèse, les quantités p et 9, et par suite le dénominateur V//?*-f-^*+i , ne varieront pas dans le passage de l'une à l'autre; il faut donc qu'il en soit de même du dénominateur
rcos' flc -J- 2 j cos et cosff-|- ^ cos'C.
Or ce ^numérateur se réduisant , lorscpi'on suppose cos 6 =0, au produit rcos' a, et lorsqu'on suppose cos a = o , au produit t cos ^ S , il est évident que les deux
quantités r et ^ ne doivent pas changer de valeur dans le passage dont il s^agit , et que par suite il doit en être de même de la quantité s. Si donc on remarque que ^, q, r, s^t^ sont précisément les dérivées partielles du premier et du second ordre de Ja valeur de z fournie par Téquation de la surface dans le cas où Ton considère xetjr comme variables indépendantes 9 on arriyçfa au. théorème suivant:
204. Pour que deux surfaces représentées par deux équations entre les coordonnées rectangulaires x, jr, z soient osculatrices Tune de Tautre en un point donné , il faut que les six quantités
dz dz d^z d*z d*z
^'^-"di' ^""^' ''^dP' '-d^' ^~^'
conservent, pour le point commun, dans le passage dç la première surface à la seconde , les mêmes valeurs numériques et les mêmes signes.
Réciproquement , si pour des valeurs données de x et de j^ ces six quantités ne varient pas dans le passage d'une première surface à une seconde , ces deux surfaces seront osculatrices l'une de l'autre. En effet, il est d'abord évident qu'elles auront un point commun , et en ce point un même plan tangent; de plus, de l'équation
on conclura que si l'on coupe ces deux surfaces par un plan quelconque normal ou oblique, les deux courbes d'intersection auront le même rayon de courbure; enfin, puisque les équations qui donnent les rayons de courbure principaux et les directions des sections principales dépendent des seules quantités p^ </, r, ^, ^, les deux surfaces auront les mêmes rayons do courbure principaux
■ Ji' >
correspotidaûts ' aux mêmes sections principales, et par conséquent leur point de contact sera un point d'osculation. Toutefois cette conséquence ne serait pas rigoureîise si la valeur de p donnée par l'équation
COS^ r CCS « + 2^ CCS eu CCS ff + f CCS* €
se présentait sous une forme indéterminée, ce qui arriverait si lès valeur des quantités p^ q, r, Sj t^ ou de quelques-unes d'entre elles devenaient infinies 5 et, dans ce dernier cas, les deux surfaces, sans être o^culatrices l'une de l'autre, pourraient fournir pour le point commun des valeurs égales des dérivées p^ y, r, s et /.
Corollaire 1^^. Pour qu'un point dans lequel les deux surfaces se touchent devienne un point d'osculation , il suffit évidemment que dans le passage d'une surface à l'autre la courbe du second degré tracée sur le plan tangent, et dont les rayons vecteurs sont égaux aux racines carrées des rayons de courbure des sections normales, ne varie pas. Or, une courbe du second degré est complètement déterminée quand on connaît le centre et trois rayons vecteurs, menés du centre à trois points de la courbe. De plus, étant donné le rayon de courbure d'une section faite dans une surface par un plan oblique , on en déduit immédiatement, à l'aide du théorème qui lie les rayons de courbure des sections obliques aux rayons de de courbure des sections normales ou de l'équation p=jo'cos5, le rayon de courbure de la section normale qui a même tangente , et par conséquent l'un des rayons vecteurs de la courbe ci-dessus mentionnée. Donc, pour qu'un point dans lequel les deux surfaces se touchent soit un point d'osculation , il faut et il suffit que trois plans menés arbitrairement par ce point coupent les deux surfaces suivant des courbes osculatrices l'une de l'autre ^ ce
igS CALCUL DIFFÉRENTIEL.
qui arrivera , par exemple y si les rayons de courbure dçs sections faites dans la première et dans la seconde surface par des plans parallèles aux plans coordonnés sont égaux et dirigés dans le même sens.
Corollaire 2™®, Soient maintenant a = o et i' = o les équations des deux surfaces courbes, u, i^ désignant des fonctions des coordonnées rectangulaires x^y^ z. Si Ton di£férentie deux fois la première de ces équations par rapport aux variables indépendantes x et y, on obtiendra
du du du ^ du
d^u d*u d^u du
rf'« d*u d*u d^u du
+/* XX + î x:;/; +/** -3;t + * :7: = ®
dxdjr ^ dydz dxdz dz^ dx
d^u , d^u . d^u du
on en déduira
du du
dx dy
dz dz
d'u fduV d'u du du d^u fdu\^
dx * \dz ) dxdz dxdz dz^ \dxj
\dz) d^u fdxiS^ d^u du du d^u du du d^u du du
dxdy\dz) dydz dxdz dxdz dy dz dz^ dx dy
\dz) d^u fdu>^ d^u du du d^u fdu
dy^\dzj dydz dydz dz^ \^X
t z=: Jdirs^
TREITTE-SIXIEMË LEÇON. igg
Cela posé, pour que les deux surfaces soient osculatrices Tune de l'autre au point commun (a:, jr, z), ou, ce qui revient au même, pour que les valeurs de^, ^, r, s, t, déduites des équations de ces siu'faces , ne varient pas dans le passage de Tune à l'autre, ou quand on remplace u par m , il sera nécessaire et il suffira que les coordonnées x^jr,z du point conmiun aux deux surfaces vérifient la formule
?^V— J^*^*f d'il fdu\* d*u /duy
d*u du du d*u dudu d*ududu
dydsdx dg dxdg dydz dz* dx dy
*'Y d*v.dvdv d^v^dii\}~' d*v fdv^ dV dv dv ^^^^ d^v dp dv
dzj dxdsdx dz dz*\dzj dx4y\dzj djrdz dy dz dxdz^dz dz*dxdx
d*u (^\ d^ dudu dhi fduy fduV /dtt\» /duV dr ' \dzj ^ drdz ly dz'^dz* \^) \dxj __\4rJ \di) ~"rfV/<i^Y d^v ^v'd^ <JV fdti{*'~ /di^y'^ ?dJ\^'' /dtiy'
1^ \dz) — ^ dydz ^ dz'^dz* \^) \dx) \^) \di)
Cette formule équivaut à cinq équations distinctes, et puisqu'elle doit subsister quand on échange entre eux les axes des x^ des y et des z, il sera permis de remplacer Tune des fractions qu'elle renferme , par exemple la seconde, par celle qu'on obtiendrait en substituant dans la première la lettre j^ à la lettre z ; donc pour que les deux surfaces soient osculatrices en un point commun (^,y, -«), il est nécessaire et il suffit généralement que les coordonnées de ce point vérifient la formule
Y T— Y f^\ d^u/duy dh^dudu d^u/du^
V — W/ V<fe/ dx* \dzj ^ dxdz dxdz~^ ds* \dxj
'Y~"7^'~^/'— Y ^£!î!/^^Y— -^inéL iluf^Y
V W/ \5«/ dP\dz) ^dxdzdxdz"^ dz*\dx)
îhi fdu\*^ d*u dudu <I*«/A*Y dht fduy dUi dudu d*u /AiV
d*ç fdt^y d*v di* dv d^vrd»>y dy ?dvy ^ v du d^ d\ fd^S}'
fy*\^)'''^drdzdrdi'^dz*\dy) dx*\4r) ^dxdydxày dar\dx)
205. En résumé, le contact du second ordre d'une surface avec une première surface donnée en un point (x,y, 2), exige que l'équation de la seconde surface satis-
4oÔ CALCUL DIFFÉRENTIEL.
fasse à six conditions; dès-lors, puisque réquation générale d'une sphère ne renferme que quatre constantes dont on puisse disposer, savoir, son rayon et les trois coordonnées de son centre , et que ces quatre constantes ne suffisent pas pour satisfaire à six conditions, il en résulte qu'il n'existe pas en chaque point d'une surface donnée de sphère osculatrice, ou qui ait avec cette surface un contact de second ordre, au lieu qu'il y a toujours un cercle osculateur pour chaque point d'une courbe à simple ou à double courbure.
On peut assigner une raison plausible de cette différence : le caractère propre de la sphère, c'est que sa courbure est la même dans toutes les directions autour de l'un quelconque de ses points , tandis que pour une autre surface cette courbure varie généralement d'une direction à l'autre; il ne pourra donc pas arriver que les rayons de courbure des sections faites dans la sphère et dans la surface soient égaux, si ce n'est dans certains cas particuliers, par exemple si le point que l'on considère sur la surface est un ombilic.
L'équation générale de la surface d'un ellipsoïde contient neuf coefficients constants •, si donc on donne un point M sur une surface donnée, on pourra toujours déterminer une infinité d'ellipsoïdes qui seront osculateurs de la surface en ce point.
206. Considérons plus généralement deux surfaces qui se touchent en un point donné M. Si par ce point on mène un plan normal aux deux surfaces , les deux lignes d'intersection seront tangentes l'une à l'autre, et auront entre elles un contact 5'un certain ordre , cet ordre pouvant du reste demeurer toujours le même ou changer de valeur avec la position du plan normal. Le nombre qui représente l'ordre de contact des deux lignes quand il est invariable, ou sa valeur minimum dans le cas contraire, sert à mesurer ce que l'on appelle l'ordre de con-
trente-sixième' leçon. 4^1
tsictde$ deux surfaces. Soît a cet ordre, et P, Q les points où les courbes d^ntersection normale prolongées dans un certain sens , sont rencontrées par un arc de cercle décrit du point M comme centre avec un rayon très petit désigné par ù Si Ton considère ce rayon comme un infiniment petit du premier ordre , la distance PQ variable av^ la position du plan normal sera elle-même une quantité infiniment petite d'un ordre marqué par un nombre constant ou variable dont â+i représentera la valeur unique ou la valeur minimum.
Concevons maintenant que par le point P situé sur la première surface on mène une sécante qui forme , avec le plan tangent aux deux surfaces, un angle xs sensiblement difi*érent de o, et rencontre la seconde surface en S. On démontrera, comme nous Pavons fait quand il était question de deux courbes qui se touchent^ que la distance PS sera un infiniment petit du même ordre que PQ, et la distance MR dti point M à la sécante PS un infiniment petit du premier ordre, et l'on déduira immédiatement de cette remarc[ue les propositions suivantes.
207- Théorème i^^. L'ordre de contact de deux surfaces qui se touchent en un point donné M est inférieur d'une unité à la valeur unique ou à la valeur minimum du nombre qui représente l'ordre dé la distance infiniment petite comprise entre les points P et S où elles sont rencontrées par une sécante qui forme un angle sensible avec le plan tangent commun à ces deux surfaces, lorsqu'on considère la distance du point de contact à la sécante dont il s'agit comme un infiniment petit du premier ordre.
Théorème 2°*®. Lorsque deux surfaces ont entre eUes
un contact de l'ordre a , tout plan normal ou oblique qui
forme un angle sensible avec le plan tangent commun à
ces surfaces , les coupe suivant deux courbes qui ont entre
4o2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
elles uu contact de Tordre a, ou d'un ordre supérieur à a ; Tordre de contact des deux courbes pourrait même devenir infini si elles se confondaient Tune avec Tautre.
Théorème 3"*. Pour obtenir Tordre de contact de deux surfaces qui se touchent en un point où le plan tangent n'est pas parallèle à Taxe des z^ il suffit de mener une ordonnée dont la distance au point de contact soit un infiniment petit du premier ordre , et de chercher la valeur unique ou la valeur minimum du nombre constant ou variable qui représente Tordre de la portion infiniment petite d'ordonnée comprise entre les deux surfaces ; cet ordre ou cette valeur minimum, diminuée d'une unité, indique Tordre du contact.
Corollaire i®'. Soient
les équations des deux surfaces, elles auront un point commun, et en ce point le même plan tangent; si Ton a pour ce point
f(xr)-Yia:r\ ^/L^-^^)-^^^!^) df{œ,x)dY{a:,r)
et si Ton considère la distance V^Aj^+Aj^ comme infiniment petite du premier ordre , Tordre de la quantité infiniment petite F (x4-Aa:,j+ Aj) — /(a:-f-Ar,j-f-Ay), ou sa valeur minimum surpassera d'une unité Tordre, de contact des courbes.
Corollaire a™®. Si les deux surfaces se touchent en un point de Taxe des z , mais de manière que le plan tangent ne passe pas par cet axe , il suffira , pour déterminer Tordre du contact, de chercher le nombre qui indiquera Tordre de la différence F(x, j) — fi'^^j)^ en considérant les deux variables x , y comme des infiniment petits
TRENTE-SIXIÈME LEÇOIf. ^oi
clu premier ordre ^ et de diminuer ce. nombre d'une unité. On reconnaîtra de cette manière que les surfaces ^=x*-hj^% z=x^+y^, z=a:'-+-j^, z=x^4-y», ont entre elles , à l'origine , un contact du premier ordre, tandis que les surfaces z =3 or" H-/") ,z =^ j^'*+* +^""*'S
ont un contact de l'ordre n , et les surfaces z = x^ "+■ J^^?
z=:à:* -f-j" S ùii contact de l'ordre 7.
Corollaire 3™®. En conservant les hypothèses du premier corollaire, et posant Ar = adx^ Ay = ady^
la dijBTérence F(a:-|-Ax, j-J-Ay) — /(ar+Aorjj'+Aj) deviendra ç(a), et puisque, en supposant que a est un infiniment petit du premier ordre , celte diflFérence doit ^tr^ un infiniment petit âe Tordre a-^t^ 4[ans le eas où, comme nous le supposons, les deux ittifaces-^ ont entre elles un contact de l'ordre « , on aura , ea désigiiant par
n le nombre entier égal ou inmiédiatement supérieur à a
et y^****^ (a) sera la première des fonctiomç dérivées de ç (a) qui cessera de s'évanouir avec «• On a d'ailleurs , comme on l'a vu,
^(o)=F(j:,r)-/(^,j), ^'(o) = rfF(x,r)^«(/(jr,j),
(p(«)(o) = rf'»F(a?,7)— d^f(x,y),
(pC«+0 (o) = «?»+' F(x, 7) — flf«+'/(^, j^);
lés eôotdôiiiîiées du pôhit de e6nta6t dés detdi sùrfaôes satisferont donc aui équations
F(*,r)=r:/(^,r), dY{x,y) = df[x,y),
d^Y{x,y)'±sid^f{x,y),
4o4 CALCUL DIFFÉIIENTIEL.
OU 5 ce ({ui revient au même, aux équations
rf»F . « ^"F ^ . , . ^"F ^ . flf/
-— dlr" -h -
dx"
I dx^'^dy -^ dy* "^ €&•
Ces dernières formules devant subsister quelles que soient les valeurs finies attribuées aux différentielles dx^, dy^ en^ traîneront évidemment les suivantes :
r./ ^-/•/ ^ ^F^/ dF df d^Y d^f
F(^,r)-/(*»rj, 7^-^' ^""i^' ^~7tei*
€/'F </'/ d^d\f dxdy d!r^ ' //^* dy^ ^
d^F rf"/ rf"F flf"/ d'*¥ d"/
dx^ dx^^ dx^^ dy dx^^^dy^'" dxdy^^ dxdy^^^'*
Par conséquent, lorsque deux surfaces se touchent en un point où le plan tangent n'est pas parallèle à Taxe des z, non-seulement , pour le point dont il s'agit , l'ordonnée z considérée comme fonction des deux variables indépendantes or, j^, mais encore ses différent! elles rf-z,^'^. . . d""^ Zy
trent&tsixièmë leçon. 4^^
.^ :» , . r . -Bj dz dz d*z d*z d*z
«'*>? et ses dériYées partielles -7-, -5-, -;— , -7— r-» -i- >•••
'^ dx^ dy* dx^ dxdy dy*
jusqu'à celles dont Tordre coïncide avec le nombre entier ^al ou immédiatement supérieur à Tordre du contact, conserveront les mêmes valeurs dans le passage de la première surface à la seconde.
Corollaire 4"*. Lorsque le plan tangent commun aux deux surfaces n'étant pas parallèle à Taxe des z, Tordre du contact est un nombre entier, il suffit, pour le dq^rminer, de chercher quelle est la dernière des équations
^{x,y)=f{x,rh dY{x,y^=:df[x,y), d-F{x,y)=d-f{xyy)...
qui se trouve vérifiée pour le point de contact , indépendamment des valeurs attribuées aux différentielles dx, dy des variables indépendantes. L'ordre des différentielles totales comprises dans cette dernière équation sera précisément Tordre demandé.
Corollaire 5™®. Si le plan tangent cbmmun aux deux surfaces devenait parallèle à Taxe des z , il faudrait , dans les corollaires qui précèdent , substituer Tune des variables x,^ à la variable z. Ainsi, pour montrer que les deux
surfaces Z =0:3(1 — y')s -z = j:^(i — y^y qui touchent
à l'origine le plan yz ont en ce point un contact du second ordre , il suffira d'observer que leurs équations ré-
solues par rapport à x prennent les formes x = -^ -,
X = -, , et que la différence -, est un
infiniment petit du troisième ordre , quand on considère yetz comme des infiniment petits du premier.
On peut d'ailleurs choisir toujours pour axe des z un axe qui ne soit pas parallèle au plan tangent mené par le
4o6 CALCUL DIFFÉREUTIEL.
point de contact des deux surfaces. Â Taide de cette remarcpe jointe à la définition des deux surfaces osculatrices, on conclura généralement que deux surfaces qui ont entre elles un contact du second ordre ou d'un ordre plus élevé sont osculatrices Fune de Tautre, et réciproquement que deux surfaces osculatrices ont an point d'osculation un contact du second ordre ou d'un ordre supérieur au second*
TRENTE-SEPTIEIjilE LEÇON
Des surfiioeft que peuvent engendrer, en te mouvant dans l'espace , des lignes diK)ites ou courbes de forme constante ou variable.
208. Considérons uâe ligue droite ou courbe représentée par deux équations qui renferment avec les coordonnées rectangulaires x^y^ z^ deux paramètres ou constantes arbitraires c et c, ; si Ton résout ces équation^ par rapport aux constantes dont il s'agit^ on en tirera ii^ c, (^ = Ci , f/ et i> désignant deux fonctions des variables X, y, z. De plus, si Ton attribue successivement aux constantes c et c, une infinité de valeurs arbitrairement choisies, la ligne représentée par les équations u = c, i^=c, , changera de position , souvent même de forme , sans décrire aucune surface déterminée ^ mais si l'on établit entre c et c, une relation quelconque , si Ton suppose , pour fixer les idées ^ c, = ^(c), (jp(c) désignant une fonction de la constante c , les équations u = c, i^ = (p(c) représenteront une ligne dont la forme et la position sei^ont complètement déterminées pour chaque valeur particulière de la constante c. Donc si Ton attribue ■ successivement à cette constante une infinité de. valeurs, la ligne en question se mouvra de manière à engendrer une certaine surface dont l'équation sera u = (f (u) , ou ce que l'on obtient quand, entre les deux équations de la courbe, on éli-
4o8 CALCUL DIFFÉRENTIBL.
mine la quantité c qui seule varie d'une courbe génératrice à Tautre. La règle générale, pour trouver Féquation de 1^ surface engendrée par les positions successives delà courbe, est donc très simple. Il faut, i*' résoudre les &{uations de la génératrice par rapport aux deux paramètres variables c et c, ; 2^ exprimer que Tun de ces paramètres est fonction de Tautre \ i? éliminer les deux paramètres en substir tuant pour chacun sa valeur en x, j^, z tirée des équations de la génératrice. Il importe de remarquer que la courbe donnée m= c, ^^=0, ne devient proprement génératrice que du moment où les deux constantes sont liées rune. avec l'autre.
i^"" Exemple : On demande l'équation générale d'une surface cylindrique, c'estrè-dire d'une surÉsice engendrée par le mouvement d'une droite qui reste constamment parallèle à elle-même. Si l'on nomme a , ê ,y les angles constants que doit former cette droite prolongée dans un certain sens avec les trois axes des coordonnées positives, et Xo, yo9 Zq les coordonnées variables d'un de ses points, ses équations seront
COSa COsC COSy '
OU
XCOSÇ — jr COSet =: XqCOsC — ^©COS « = C , orcosy — z cos«i =:a:oCOSy — Zo^OS a znc^y
c, c, désignant, pour abréger, lesi constantes arbitraire^ XoCOsê — j^ocosa, a^oCosy — -Zocosa. Si l'on attribuait aux constantes c et c. une infinité de valeurs sans établir çntre elles aucune relation , la droite
^cosC — ycos»^=Cy jccosy — zcos« = c, , pourrait se mouvoir de manière à remplir successivement
TREHTE-SEPTIÈME LEÇOM. 4^9
tout l'espace^ mais si Ton suppose 0^ = 9 (c), les équations
repr^enteront la génératrice d'une surface cylindrique qui aura pour équation
â7COSy — ^cos«i =^(j?cosC — y cos«).
On aurait pu prendre, pour représenter la génératrice, les deux équations
te H- mj -f- /iz = c , /jjT + iîiij + /i,«z= c, ,
et Téquation de la surface cylindrique aurait été
<,a? H-. m^jr H- /i, z == ^ (ilr -f- m^ -f- nz).
On voit par ce qui précède que pour obtenir Téquation finie d'une surface cylindrique , il suffit d'établir une relation quelconque entre deux fonctions linéaires des variables or, j^, z.
2"® Exemple : On demande l'équation générale d'une surface conique, c'est-à-dire d'une surface engendrée par 1U16 droite mobile qui passe constamment par un point donné. Appelons XqjJ'o» -^o ï^s coordonnées constantes de ce point qu'on appelle le 3Qmmet du cône, a, S, y les angles variables formés par la génératrice avec les axes; les équations de cette génératrice seront
oos« cosC cosy '
ou
/— /o cosC « — «o cosy ,.
X — «o COS« X — Xo cos«
et la surface conique aura pour équation
■^—Xo s^X'-'^XqJ \^X —"' X q
4lO CALCUL DIFFÉECHTIKL.
cette valeur de z — z^ est précisément celle que l'on ch^ tiendrait en égalant à o une fonction homogène quelconque des trois différences x — oc^^y — y^^ z — Zq. Si Ton prenait l'origine pour sommet de la surface conique , on aurait *
et pour obtenir l'équation de la surface conique 9 il suffirait d'égaler à o une fonction homogène quelconque des variables x^y^z.
3™* Exemple : On demande l'équation d'une surface conoïde engendrée par une droite mobile qui passe constamment par un axe donné , en demeurant perpendiculaire à cet axe. Si l'axe dont il s'agit coïncide avec l'axe des z, les deux équations de la génératrice et l'équation de la surface conoïde seront
en sorte que l'ordonnée de cette surface se trouvera exprimée par une fonction homc^ène de xeiAey du degré nul.
Supposons maintenant que Taxe de la surface conoïde coïncide avec une droite menée par un point donné x^ , Jo 9 ^o ? de manière à former avec les axes des angles a , o, y. La génératrice de la surface pourra être considérée comme produite par l'intei^section de deux plans mobiles , dont l'un passerait constamment par Taxe de la surface, tandis que l'autre serait perpendiculaire à cet axe. Nommons X, jx, V les angles que fait avec les axes la perpendiculaire au premier plan , son équation sera
[x — Xo) cos A -t- (/ — Xo) cos/ec -H {z- — Zo) COS F = o. Les angles X , /:jl, v satisferont de plus à la condition
COS« COSA -h C0S4 COS|t6 -h COSy COSv ZZ-. o.
TREJNTE-SEPTIEMË LEÇON» 4^1
De ces deux équations réunies on tire
COSA cos^
(jr — Xo) co*y — (^ — «o) cosC {z — «o) ces ît — (x — Xo) cosy
ces y
"^(x — Xo) cosC — {x — ^o) cos«'
(jr—Xo) cos y — {z — gp) ces ^ COSA
(x — Xo) cosy — {z — Zo) cos* cos fC
L^équation du second plan perpendiculaire à Taxe sera évidemment de la forme
X cosa -h X cosC -h z cosy == c, ;
de sorte que les équations de la génératrice et de la surface conoïde seront
ix—Xo) cosy — (z—Zq) cosg
(x — Xo)cosy — (z — Zo)cos« ' X cos* -h X cosC -h z cosy = ^(c), « riy — J^o) cosy — (z — Zo) cosC l
XCOS«4-7COS^-hZCOSy=:^[ Y- ^ ) ^^ .
\(x — Xojcosy (Z 3o)COS«J
4"** Exemple. Concevons que Ton demande Téquation fi»îe d'une surface de révolution , on pourra prendre pour génératrice de cette surface une courbe plane tournant autour d'un axe nommé axe de révolution et situé dans le plan de la courbe , ou , ce qui revient au même , un cercle dont le rayon serait variable , mais dont le plan resterait toujours perpendiculaire à l'axe dont il s'agit, et dont le centre serait situé sur ce même axe. Cela posé, admettons d'abord que l'axe de révolution coïncide avec l'axe des Zj les deux équations du cercle générateur seront de la forme
^* -f- / ^ r= c , z:=iÇ> (c)'y
et, par suite, l'équation de la surface de révolution sera
4l2 CALCUL DIFFÉRENTIEL^
Si Taxe de révolution coïncide avec une droite menée par un point donné x^^ jr^^ z^^ de manière à former avec les demi-axes des coordonnées positives des angles a, S , 7!, le cercle générateur sera évidemment la courbe d^intersection d'une sphère qui aura pour centre le point x^ , Jq') ^àf et d'un plan perpendiculaire à l'axe de révolution ; les équations de ce cercle et l'équation de la surface de révolution seront dès-lors
X cos<i -\-y cosC -h z cosy = c,
(x— xo)* -h {y—yoY 4- (2—20)» = <p (c),
(^Ç — OTo)* -+-(r—/o)* -+-(« — 2o)*=^ (^COS«-hr COsC-h* COSy).
â09. On pourrait , en généralisant ces principes , £aiire mouvoir dans l'espace des lignes tellement choisies, que la construction des surfaces engendrées par le mouvement de ces lignes dépendit de plusieurs constantes ou fonctions arbitraires. Considérons en effet une ligne droite ou çoujrbe dont les équations soient
et renferment avec les variables x^ y^ z, plusieurs paramètres ou constantes arbitraires c^ c^^ c^^. . . Si l'on attribue successivement à ces constantes une infinité de valeurs arbitrairement choisies , la li^e en question changera de position , souvent même de forme , sans décrire aucune surface déterminée , à moins que l'on n'établisse entre les constantes c , Cj , c^., . . . . des relations telles que la valeur de l'une étant donnée , les valeurs de toutçs les autres s'en déduisent , en posant , par exemple ,
qjj , (pj , (p3 , . . . . désignant des fonctions de la constante c\ Dans ce cas, si l'on attribue successivement à cette constante une infinité de valeurs, la ligne en question se mouvra
TREN*rE-8ËPTIÈME LEÇON. 4*3
'de u^hière à engendrer une certaine surface ; or, la forme et la positRm de cette surface dépendront évidemment de la nature des fonctions f i , f t , . . . . que l^on peut choisir arbitrairement; et pour obtenir son équation, il suffira d'éliminer c entre les deux équations
mais on ne pourra en général effectuer cette élimination qu'après avoir remplacé les fonctions arbitraires Çi, (p„ . . . p!ar des fonctions déterminées de la constante c.
On pourrait faire dépendre les unes des autres plusieurs des fonctions çpi, (fty fs?* • • • et prendre, par exemple, pour fjk9 ^89 ïes dérivées successives de la fonction (fi(c)j enposantyi(c)=i:(p;(c), (f^(c) = (f[(c)
210. Lorsqu'une surface est engendrée par le mouvement d'une ligne droite ou courbe dont les équations renferment une fonction arbitraire , on peut déterminer cette fonction de manière que la surface passe par une ligne donnée qui s'appelle alors la directrice.
Soient toujours i^ = c, w=(f (c) les équations de la génératrice, ^t.f{'X,y^z) = o^ F(x^jr, z)^=o, les équations de la directrice, ou, ce qui revient au même, les équations de deux surfaces qui la renferment. Pour déterminer la nature de la fonction (p, il suffira d'assujétir cbaque génératrice à passer par un point de la directrice ; la fonction (f devra donc être choisie de teUe sorte , que les quatre équations qui précèdent soient vérifiées simultanément par un système unique de valeurs de x^ y, z : par conséquent la valeur de <p(c) se déduira de l'équation produite par l'élimination des coordonnées x^y, z entre ces quatre équations. La nature de la fonction (f (c) étant ainsi déterminée, l'équation wr=(f(y)j qui ne renfermera plus rien d'arbitraire, sera l'équation de la surface
4l4 CALCUL DIFF^RENTIBL.
décrite par le mouvement de la génératrice s'appuyant dans toutes ses positions sur la directrice donnée.
21 1 • Si Ton voulait déterminer la fonction f de manière que la surface fut circonscrite à une surface donnée, il faudrait chercher d'abord les équations de la ligne de contact des deux surfaces , et Ton procéderait ensuite, comme on vient de le dire , en prenant pour directrice la ligne dont il s'agit. Or, soit u = o Féquation de la surface donnée \ la normale menée à cette surface par un point quelconqi^e {x^y^ z) de la ligme de contact formera avec les axes des angles dont les cosinus seront proportionnels aux
dérivées partielles 3"? 3~9 3"? tandis que la tangente menée par le même point à la génératrice de la sur&ce forme avec les mêmes axes des angles dont les cosinus (n^ 156) seront proportionnels aux quantités
dç dw dv dw dç dw^ d» dw
dy ds dz dy ' dz dx dx dz
dp dw dç dw dx dy dy dx
Mais puisque, par hypothèse, la surface décrite par la génératrice doit être circonscrite à la surface u= o, la normale de cette dernière surface doit être perpendiculaire à la génératrice. On devra donc avoir pour tous les points de la courbe de contact
du du du
dx dy dz '
et les équations de cette courbe de contact qui, dans l'hypothèse admise, deviendra la directrice de la surface
w = (f (i^), seront w = o,P — -f-Q — H-R- = o.
Quoique l'on puisse déterminer la forme de la fonction (f à l'aide de la méthode que nous venons d'exposer ,
jê
on parviendra plus facilement à Téquation définitive de la surface qui a pour génératrice la ligne
et pour directrice la ligne
en procédant comme il suit. Désignons désormais par I , ï3 , ^ les coordonnées courantes de la génératrice , et par V, W ce que deviennent les quantités i^, w quand on y remplace x^y^z par $ , >î , (^ ; les équations de cette génératrice deviendront V = i^, W = w. Or si Ton élimine x^y^z entre les quatre équations
on obtiendra une équation nouvelle qui renfermera les seules coordonnées Ç, y?, Ç, et qui sera vérifiée pour un point quelconque de Tune des génératrices; donc cette équation sera précisément celle de la surface ci-dessus mentionnée.
De même, si l'on élimine x^ j^ z entre les quatre équations
^ ^du ^ du ^ du
on obtiendra Téquation engendrée par la ligne (^ = o, w = y(c), et circonscrite à la surface ^ = o.
212. 1^' Exemple : On demande Téquation de la surface cylindrique qui aurait pour directrice, une courbe plane donnée par les équations
X cos A -h / cos^ -h z cos » = K , F (j?, ^, z) = o ;
X , (X , V sont les angles que la perpendiculaire au plan de la courbe fait avec les axes. Les équations de la généra-
trice seront de la forme == — —s- == , et en ap-
co8« cos* cosy ' . ^
4l6 CALCUL DIFFÉBiBIlTlBL.
pelant i Tangle de la génératrice avec la perpendiculaire au plan de la directrice, on aura
COS/= 008£t COSA + GOsCoo8^+ oosy cosv. Des équations qui précèdent, on tire
i — x^n —y C— g (f ~3r)co8 A-h(y— •r)«w^H-({— g)cos » cos<i cosC cosy^ costf cosA+cosCcûft^ + oosycos»'
et par suite
cosee
cos
i;(ÇcosA-h «cos^-4-Çco8» — K),
ces C r ==« s(f cosA-h«cosj«-4-Cco8» — K),
^ cosy , ^ ^ , .
3 = Ç-' j,(çcosA-|-«co8^-hÇcos» — K);
COS w
et en substituant les valeurs de a:, j^, z dans Téquation F (x, j^, z) = o , on obtiendra pour Téquation de la surface cylindrique
— (fC08XH-||C08/JH-f C08» — K), N j,( f COS X H- ctc .), { — "^ — i(fco8X-f-e
1 0 COS o COS 9
Lorsque le plan de la directrice coïncide avec le plan xy^ elle peut être représentée par deux équations de la forme -z = o, Y{x^j) == o, et l'équation de la surface cylindrique se réduit à
/|cosy — ÇcoSût ijcosy — Ç cos^X
\ cosy ' cosy /
Si la directrice devenait parallèle à l'axe des z , on aurait
ai=:6=-,7 = o,etla surface cylindrique se réduirait
à l'équation de la base : F (Ç , y?) = o.
Concevons, pour fixer les idées, que la directrice soit
TRteNTE-sfiPTIEME LÈÇON. 4^7
l'ellipse ~ -J- y^ = I, l'équation de la surface cylindrique
sera
(îcosy — Çcos«)* («cosv — llcosC)* â* -*- 6i =««'V
2™e Exemple. On demande Féquation d'une surface cylindrique circonscrite à une autre surface donnée û = o.
Pour obtenir son équation, il faudra, d'après ce que nous avons dit, éliminer x^ y^ z entre les quatre équations
du du ^ du
U=:0. T-COSût + -7- COSb + -T-C08y r=0,
dx dy dz
cos« cos^ cosy' Supposons que la surface m==o est l'ellipsoïde
on aura
du -du ^ du
-r- cosa -f- -7- cosb + -;- cosy
€la: dx dz
=.-^»sa+x:COsC+--cosy=^ . I' /;> + T^ =^ '
j*^ yjj ;g^
eten réduisant, -r + tt +-t =i.
Désignons de plus par 2R celui des diamètres de l'ellipsoïde qui sera parallèle aux génératrices du cylindre , les coordonnées de l'extrémité de ce diamètre seront Rcosa, Rcosê, Rcosy, et, comme elles doivent vérifier l'équation de l'ellipsoïde, on aura
cos' « ces* C ces* y i
fcost «cosC Çcosï
«cosC C"»y"
Telle est Téqualion de la surface cylindrique circonscrite à l'ellipsoïde. Pour lui dnaner une forme plus simple, M. Cauchy remarque que le plan tangent à l'ellipsoïde au point (^ij, ^) a pour équation, en appelant X, Y, Z ses coordonnées courantes ,
ou
d'où l'on coaclut, en ayant égard aus équatiçns
;v=Rcosk, Xgos» , -ï
= Rco&C, z = Rgo9¥,
Supposons de plu* qd'on mène une 3roite du centre de rellipsoide à un point (^ , n, Ç) pris sur la siirf^ce du cylindre circonscrit. Celte droite coupera l'ellipsoïde et le
plan tangent en deux nouveaux points {pc^ y^ z)^ (X, Y, Z); et si l'on désigne par r, 5, t les distances du centre de l'ellipsoïde aux points (jr, J? ^) ? (| , >3 , O^ (^ ? ^9 Z), on aura évidemment
et en substituant ces valeurs dans les équations
jc' ^* z* Xcostf Ycosff Zcosy i
il viendra
I* w* C' f* ^ /^gcosflfe ^ y cosg Çcosy\ s
Ces dernières équations, combinées avec l'équation de la surface cylindrique circonscrite , la transformeront en
__, = ou - = - + -.
Telle est la forme la plus simple que puisse prendre l'équation de cette surface.
Si à l'ellipsoïde on substituait un hyperboloïde à une ou deux nappes représenté pas* l'équation
l'équation de la surface cylindrique circonscrite à cet hyperboloïde serait, dans le premier cas ,
|> ,> ^__ — p> (^ ^^^'^ I ^ ^^^^ C<^osy\
et dans le second , Ç» 1=* ir^ . i>a Z^^^^^** 1 ** ^^^^ Çcosyy
C* fl* 6» V rt^ ^* ^'^ )
Dans l'un et l'autre cas , la courbe de contact de l'hyperboloïde et de la surface cylindrique serait plane, et son plan serait représenté par l'équation
xcostc rcosf zcosy h ^ ' = o.
Si l'on demandait l'équation de la surface cylindrique circonscrite au paraboloïde elliptique représenté par Vé^
quation — + ^ = 2 - , on trouverait que le plan de la courbe de contact a pour équation
— C0S« + T- COSo = - cosy, a* 6* c
et que les coordonnées Ç, y?i Ç, d'un point quelconque de la surface cylindrique satisfont à la condition
On tirera de ces deux équations, jointes à celle de la génératrice ,
Icosût >;cos^ cosy ^* i''* ^'
f — X 9} — jr Ç — z «* b^ c a* b* c
ces* cosC cosy cos*ci cos*^ S cos«c »jcosS cosy'
/fcOSa »jCOs€ cosy Y
a^ b^ c cos*« cos*C
Si au lieu du paraboloïde elliptique on considérait un paraboloïde hyperbolique représenté par Ja formule
l'équation de la surface cylindrique circonscrite devien-
TRENTE-SEPTIÈME LEÇOM. ^9.1
drait évidemment
/êcos* «coso cosyV
Supposons enfin que Ton demande la surface cylindrique circonscrite à une surface du second degré représentée par réquation
Ax>H-B/»+(i5»+2D7z4-2Ez^+2Fxr4-2G:c+2Hj+2lz=K,
on trouvera que les coordonnées de la courbe de contact et de la génératrice satisferont aux équations
(Ax +Fr+ E^ + G) cos« + {¥x 4- Br+ Dz + H)cosC
+ (Ea: -hDj + Cz + I) cosy =o, (Aa7+Fr + Ez-t-G)î + (FxH-Br + Dz + H) jj
-+-(Er + Dr-h C«-t-I)Ç-f-Ga: + Ur4-Iz 1= K ;
et en combinant de nouveau ces deux équations avec celles de la génératrice, on aura enfin pour Téquation de la surface cylindrique demandée :
f 1 -f. Bu» H- C{' -4- aD»^ + aEÇf -4- aFf » -t- aGf -t- aH« + al^; ^ K [(A|H-Fi»-hEg-f^)co8ac-f-(Fg-f-B>-^Dj:-f-H)co8g-H(Eg-f-DiiH-C^-Hl)cos>]* Aco8*«-+-Bco8«C-f-Cco8*y-HQDco8Cco8> + aEcos7Cos« + aFeo8flccosC
213. Proposons-nous de faire passer par une directrice donnée une surface conique dont le sommet coïncide avec le point (Xq , Jo', z^^. Les équations de la génératrice se-
ront =: '^•=z- , et puisque cette eénera-
COStf cosb cos^ '^ ^
triée doit toujours rencontrer la directrice en un point
{x , j, z) , on aura
X «^o y ^"o 2 Zn
cos<i cosC cosy '
CALCUL DIFFÉRBBiTIEL.
et par suite
X JTo X Xo 2 Zo
Cela posé , si entre cette dernière formule et les équations de la directrice on élimine x, y, z, Téquation résultante qui renfermera seulement ^9 v?? ^ sera precisémeni celle de la surface conique.
Exemple : Si la directrice est la courbe plane Ax + By+Cz^zK, F (x , y , «) = o , on aura
r=ro— («y— jo)
=2o — (Ç— Zo)
A^o + Bro+Czo — K AoTo+Bro+Czo — K
A(f-^o)H-B(i,-7o)+C(Ç-Zo) '
En substituant ces valeurs de x^ j^ z, dans l'équation F(x^y^ z) = o , et posant
AoTo+Bro + Czo — K
A(ç-Xo)-f-B(,,-/o)+C(Ç-2;o) on trouvera pour Téquation de la surface conique
Lorsque la directrice est comprise dans le plan xy et représentée par les formules z = o, F(x^j) = o , Féqua-
don de la surface conique se réduit à
Concevons , pour fixer les idées , que la direclrj l'ellipse z =0, — 4-T7 = i> l'équation de la \
conique sera
Supposons maintenant que la surface conique d(j circonscrite à une autre surface m = o ; comme ei^ point de la courbe de contact des deux surfaces , ! et ratrice de la première et la normale à la seconde] peront à angles droits, les coordonnées x^ y^ z\ courbe vérifieront évidemment les équations
du , . du , .du.
et pour obtenir l'équation de la surface coniqij reste plus qu'à éliminer a:, j^, z entre ces deux é jointes à celles de la génératrice.
Concevons , par exemple, que la surface coni être circonscrite à Tellipsoïde vra avoir
par SI
et en réduisant
la courbe de contact sera une courbe plane , et
/£co^
égard à cette équation, on trouvera
>,-x r.-r ^- (..,j^,^.^,Ç^,^.jl.
;^. + ÏT + ^ - ' (^o-x)-H-(:r„-r) j7 +(*.- 2) ^
il . ? . 2
oitc,
Telle est l'équation de la surface conique circonscrite à l'ellipsoïde . Cette même équation peut être présentée sous une forme plus simple. Soient Ro le rayon vecteur mené du centre de rellipsoïde au sommet de la surface conique ; a , ê , y les angles qu'il fait avec les axes ; R la partie de ce rayon vecteur qui représente le rayon de l'el^ lipsoïde ] l'extrémité de ce rayon aura pour coordonnées R cosa , R cosê , R cos y , et l'on aura
CCS * <« g^ <îos ^^ t^ ces * y I
^o . Xl . ^o T>^/^ cos'g , cos 'g , cos^y\Kl a-^W'^c-- ^\ a- "^ b- "^"T^y — R^'
et l'équation de la surface conique deviendra
Concevons à présent qu'une droite soit menée du centre de Fellipsoïde à un point (Ç? >Î5 Ç)? choisi arbitrairement sur la surface du cône circonscrit. Cette droite coupera Tellipsoïde et le plan tangent qui touche l'ellipsoïde à l'extrànité du rayon R en deux nouveaux points, dont les coordonnées a: , j^, z , et X, Y, Z , vérifieront les équations
jp* 7** a» Xcos« Ycos^ Zcosy i
De plus, si Ton désigne par r^ s^t les longueurs mesurées «UT cette droite , à partir du centre de l'ellipsoïde , et qui aboutissent aux trois points {x^y^ z)\ (|, yj, Ç)5(X, Y,Z), ou aura, comme on l'a vu plus haut,
f^ j^»^ Ç^ s^ /Icosflfe ffcosg ÇcosyN £
et par conséquent
Telle est la forme la plus simple sous laquelle on puisse présenter léquation de la surface conique circonscrite à rellîpsoïde.
Si à l'ellipsoïde on substituait l'un des hyperboloïdes représentés par les équations
l'équation de la surface conique circonscrite se réduirait à l'une des suivantes :
mBsmmmm
.Jali r*l-Clll- DIFPÊBEIITIEL.
Piiiir obtenir l'ôfiialidn do la surface cotiitpie cireumcritc au paraboloïdf ullipliquc ~i "t" r", ^^^ — ' ^^ ' ((nera que les «oordounéws tic U courbe de conucicidj U f;énéra(iic<! fiatisferoal aux équations
on aura dès-lors
et par conséquent
Si au lieu du psraboloïde elliptique, on considérait m paraboloïde hyperbolique — — j-^ ^ — , l'éipiation d la surface conicpie circonscrite deviendrait évidemmetil
Supposons enfin que l'on demande la surface conique iliconscrile à la surface représentée par l'équation
on trouvera que les oooi-données de la courbe de eoMMt J et de la généra triée satisferont aux éqnMkyns
(Ax + Fr + Eï + G)f ^-(Fj:+ B7+ Dz + H, .,
+{Ex + Tiy + Ci + l}i;+G^ + B> +lz^l, !
(A^ + Fr + &i-f-G)^„ + (F« + Br+J>i+ a)x.- ' -.' + (Ea;-|-D/ + G! + I)2.-|-Gj:+ H r.+ 1 2 = tt i
TREKTE-SEPTIÈME LEÇON. . ^^y
tu partant de ces équations jointes à celles de la généra xice, on trouvera pour Téquation de la surface conique
î,. + Cf « -+-aDiif -h îiEÇf 4- ^Ff « H- aGf -f- aH» -4- alÇ — K
hFiH-E{:-f.G>:o-t-(Fg-f B»>-f D^4-H)ro -KEg-f-DN-hC j:-^I)gorf-G|-f-HH4-I^~K] » ^î + Br » -f- (;«« 4- aUiro^o 4- aE^oaro h- aFx^j^o -f- aGxo -f- aRr© -f- aI»o — K
214. Proposons-nous de faire passer une surface conoïde par une directrice donnée. Si cette surface a poui* axe Taxe des z , les coordonnées ^ , rj , Ç de la génératrice menée par le point (x , j^, z) de ]a directrice , vérifigront
les deux formules - = - , f = >c : donc si entre ces for-
mules et les équations de la directrice on élimine x^jr^z. l'équation résultante qui renfermera seulement ^ ? >? ? ^ sera précisément celle de la surface conoïde. Lorsque la directrice est une courbe plane
on trouve
jr ~ j^ "~ Aa?+Br ~ K — Cz "~ K— CÇ ' et par suite
ces valeurs, substituées dans l'équation F(a:,j^, ^) = o, donnent pour l'équation de la surface conoïde
"^V^âî+ë;^ "Âï+Bi^'V"'
Dans le cas particulier où la directrice est renfermée dans un plan perpendiculaire à l'axe des x et représentée par deux équations de la forme a: = «, FCjK^ ^) = o, l'équation de la surface conoïde se réduit à
Ainsi, par exemple, si l'on prend pour directrice Tellipse X = a^ — + — =i,la surface conoïde sera repré-
senlée par l'équation -y^^ + ^ = i , à laquelle on parviendrait aussi «en prenant pour directrice le cercle
ac
Supposons maintenant que la surface conoïde doive être circonscrite à une autrç surface u -= o. Les coordonnées d'un point quelconque de la courbe de contact devront vérifier les équations
^du . ^du . ^du qui , parce que ]'on a
se réduisent à
du du
Cela posé , pour obtenir l'équation de la surface conoïde
il ne restera plus qu'à éliminer jc, y, z^ entre les quatre
équations
i n V du ^ du
- = -, Ç = 3, tt = o, x—'\- y — z:=io,
X y dx ay
Concevons en particulier que la surface conoïde doivcr être circonscrite à l'ellipsoïde
du . du
réquation x — +y — = o deviendra
x{x — Xo) .y{y—fo)
TRENTE-SEPTIÈME LEçON. 4^9
et, en vertu de Téquation- =-, on aura dès-lors
/f^^izszz^ ^/=5^ ^y^^
et par conséquent
Telle est l'équatîon de la surface conoïde circonscrite à Tellipsoïde.
Si Taxe de la surface conoïde coïncidait non plus avec Taxe des z, mais avec la droite menée par un point donné i^ojyo* ^o)? ^^ manière à former avec les axes coordonnés tes angles a, ê^ y^ les coordonnées ^ , y? , (^ de la génératrice menée par le point {pc^y^ z) de la directrice vérifieraient les deux formules
(f — x) cos«4-(9 — x) co*^ +(Ç — ^) cosy =0 , (f — x) cos l + {n — /)cosiw -I- (Ç — z) cos/2 = o,
/, m , n désignant les angles que fait avec les axes la perpendiculaire au plan qui renfermerait cette génératrice avec l'axe de la surface conoïde. Ces angles sont d'ailleurs liés entre eux par les deux équations
cos «ces/ -t- cos^cos/w + cosycos/z = o, [x — a?o) cos/ + {x — 7o) cos/w + (z — 2o) cos« = o ,
43o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
descpielles on tire
cos/ cosm
Ix — J^o)cosy — (z — Zo)cosi {z — Zo) C08« — (x — Xo) cosy
