OOS/I
~ (a;— Xo)co$C— (/ — ^o)cos«'
Les deux équations de là génératrice qui passe par le point (x , jj z) de la directrice seront dès4or8
(f — jr)cos« + (v— j)cos^ H- (Ç — z)c<»y = o, Ur —yo)cosy — (z — 2o)cosC] (f — ar)
-I- [(z— 2o)cOSil — (x--^o)cOSy](9— r) y = 0>
+ [(ar--aro)cos* — (j — Jo)cos«] (Ç — a)
et pour obtenir Féquation de la surface conoïde , il suffit d'éliminer Xjj^z entre ces deux dernières équations et les équations de la directrice. On peut, dans la seconde des équations de la génératrice, substituer les coordonnées ^ , >3 , Ç aux coordonnées x^ jTj z , ce qui donne
[{*f — ro)cosy — (Ç — Zo)cos^](f — x) \
+ [(^— *o) cos* — (f — OTo) cosy] (v — jr) \=0.
+ [(f — JTo) cos^ — (v — /o)cosce](Ç-- z) ) Or de cette dernière formule réunie à Téquation
(f — x)cOSaL -h (*j — j)cOS9 -f- (Ç — z)cOSv = O,
on tire
(f — Xo) — [(? — A*o)cOS«H-(9 — ro)cOSto + (C — «o)cOSy]cOS«
(»»— Jo)— [(i— ^o) COS»+ (>f — jo) cosC +(C— 2o)cosy] COSb
(Ç — 2Jo) — [(i--J:o)cOS«-f-(ï7— Jo)cOsC+(Ç — Zo)cC>5y]cOSy*
Lorsque la directrice est plane et représentée par les équations xcOvsX 4- y cosfx + ^jcosv = K, F(a:, y, ^) = o, chacune dCvS fractions (]ui précèdtMit est équivalente au
rapport
( C08 X-hn C08/A -f- f C08 f — k )C0S X-f-(»—ro)C08 /*•+-({— *0)C08?-[ ( f--*o) C08 *-f(j|— ro)cO§ C-|-(Ç - Sq) COS y]C0B cT
dans lequel cosd = ces a eosX + cosê eos/ix + cosy cosv ,
et de cette seule remarque on déduit immédiatement les
valeurs de x^jr^ z, qui , substituées dans la seconde des
équations F(Xj jr, ^) = ^j fournissent l'équation eh
1 , 13 , f propre à représenter la surface conoïde.
Si Ton prenait pour directrice la droite qui aurait pour
. . X — X, r — r, z — Zj
équation = • = , on trouYerait
^ COSA cos^ COSy
: — Jr«) cosat 4- (» — ri)co8 6-4- (g — gi)cos>
•iToVoS 7'-({-So)coS 6]C08A-H(f -«o)c08 at-(f-Xo)c08>]C08 ya-h[(f-Xo)c08 6-(N-^o)cosa]cosv *
Telle est Féquation du paraboloïde hyperbolique engendré par une droite qui se meut en s'appuyant sur les deux droites
COS« COS^ COSy ' COSA C0S/« COSi» '
et de manière à rester toujours perpendiculaire à la première de ces droites.
Lorsque la surface conoïde doit être circonscrite à une autre surface u = o , on peut prendre pour directrice la courbe de contact de ces deux surfaces représentée ellemême par les deux équations
/ du du du \
=:[(x — j:o)co8a-*-(^— ro)co8 6-|-(« — ro)co8>]l ~C08*-+-~ cos6-t-^ OOByj,
ou « = o, ,|x)- + (,-r);^ + (Ç-.)^=o.
Cette dernière équation exprime qu'en chaque point de la courbe de contact la génératrice de la surface conoïde et la normale de la surface u = o se coupent à angles droits.
215. Proposons-nous enfin de faire passer une surface de révolution par une directrice donnée. Si cette surface a pour axe l'axe des z , les coordonnées Ç , y? , Ç du cercle générateur, passant par le point {x , y^ z) de la directrice , vérifieront les deux formules ^' + yj' = x' 4-J^'j ^ = -^ î donc, si entre ces formules et les équations de la directrice on élimine x^y^ Zj Téquation résultante qui renfermera seulement | > >? ? Ç sera précisément celle de la surface cherchée.
Supposons maintenant que la surface de révolution doive être circonscrite à une autre surface représentée par Féquation m = o. Alors on pourra prendre pour directrice la courbe de contact des deux surfaces, qui sera représentée elle-même par les deux équations
Concevons, pour fixer les idées que la surface m = o se réduise à l'ellipsoïde de révolution
iw . ^^ ^^ ,j . , :r Y
1 équation x v--=ï=o se réduira a — = -^ : on
^ dx ^ dy Xo Xo
aura
^ jr . \/x\+x^ y/^^ + ^>
^o Xo {/xl + jl V'xl+xl'
X — Xo __ y —Xo __ , ^, V^g' +
Xo \/
TRENTB-SEPTIÈME LEÇON. 4^3
et par suite
{v/*:+rr=FV/p+^>=^[«»-(ç-^)'],
ou, ce qui revient au même.
Telle est Téquation de la surface de révolution qui , ayant pour axe Taxe des z , est circonscrite à Tellipsoïde de révolution donné.
Si l'axe de la surface de révolution coïncidait non plus avec l'axe 4es z , mais avec la droite menée par un point donné (Xq, joy Zq)j de manière à former avec les axes certain» angles « , 6 , y, les coordonnées $ , >? , ^ du cercle générateur passant par le point (x, y, z) de la directrice , vérifieraient les deux équations
(f — œ) cos a -4- {«» — j) cos fi^ H- (Ç — z) cosy = o, (?--aro)»+(i?-ro)*+(Ç~2o)^=(x--aro)>+(r--ro)"H-(2î---^o)S
et la surface de révolution circonscrite pourrait être considérée comme ayant pour directrice la courbe représentée par les équations
[(r— ro)cosff— (a— 2o)cosy] — + [(2— «o) cos*— (a?— ^o) cos y] -l
-f-[(jf— a;o)cosC— (j^— jro)cos«l -^ =
dz
Ces applications suffisent pour montrer la marche à suivre dans chaque cas particulier.
TRCNTE-HUITIEIIE LEÇON
Équations aux di^rivées pariiolles dos surfaces ongen4r<^ par le
mouvement des lignes.
216. Considérons d'abord la surface engendrée par le mouvement de la ]!gne représentée par les écpiatîons t/ = c, w = ç(c). Si l'on nomme p et q les fyleurs des
dérivées partielles— et ^ que fournit Féquation de la
surface , dans le cas où Ton regarde x^y comme variables indépendantes, et z comme une fonction de ces deux va-' riables, on aura
et cette dernière équation sera toujours satisfaite quand les coordonnées x, jr, z varieront de manière que le point {pc^y^ z) décrive une courbe comprise dans la surface dont il s'agit. Or si la courbe en question se confond avec la génératrice de la surface , elle aura pour équation if = c^w= y(<^)j et les diflFérentielles de ses coordonnées vérifieront les formules
dv , dv , dv , dw , dw , dw
dx dy dz dx dy dz
en faisant, pour abréger,
dv dw dv dw dt^ dw dv dw
dy dz dz dy ' dzdx dx dz^
dv dw dv d(v
dx dy dy dx *
TRENTE-HLITIÈMÈ LKÇON. 4^5
1 ^ , . dx dy dz
un tirera de ces deux etpiations — = -r- = — , et puisque
les différentielles dx , dy^ dz doivent vérifier Téquatiou dz •=.pdx'\-pdy ^ on aura définitivement
Telle est l'équation aux dérivées partielles de toutes les surfaces que peut représenter Féquation -w = 9(^^)î et qui sont engendrées par le mouvement de la ligne p» = c, IV = ç(c). Cette équation aux dérivées partielles ne renferme plus la fonction arbitraire indiquée p^r la lettre (p, mais seulement les dérivées partielles de z, savoir, p elq avec les quantités P, Q, R qui sont des fonctions déterminées des variables x^y^ z.
On peut parvenir directement à réquationPp+Q^=R, en éliminant par une double différentiation la fonction f. En effet, différentions l'équation w = y(^') en regardant tour à tour jc et z ou j^ et z comme seules variables, il viendra
dw dw dp{v) fdv dv
dx dz dv \dx dz
dw d(v dç (tf)
dy dz dç
'dv dv \
En divisant ces deux équations l'une par l'autre ou les
multipliant en croix pour éliminer— -j-^, on retrouvera
l'équation Vp + Qq = R.
On pourrait encore établir cette équation en considérant un point quelconque (Ar, j^, z) de la surface w = (f(u) et observant que si Ton mène a ce point une normale à la surface et une normale à la génératrice, ces deux droites seront perpendiculaires l'une à l'autre. En elfet, les cosinus des angles que forment avec les axes la normale et la tangente sont proportionnels, d'une part, aux quantités p^ q^ — I, de l'autre aux valeurs de dx^ dy^ dz tircrs des
436 CALCUL difféheutiel,
équations de la génératrice, et par conséquent à P, Q, R^ donc, puisque le cosinus de Fangle des deux droites doit s'évanouir, on aura
P/? H- Qy — R= o ou P/? -^ Q^ = R.
i*^' Exemple : Concevons que Ton demande Téquatiou aux dérivées partielles d'une surface cylindrique. Si l'on nomme â( , 6 , 7 les angles formés par la génératrice avec les axes, ses équations seront
X — Xq __/— JTo ^Z—Zo
cos« oosff COSy '
et l'on en tirera
dx dy dz
cos« cosC cosy '
de sorte que l'équation aux dérivées partielles des sur-^ faces cylindriques sera
coSy = /7C0Sa H- ^cos».
Pour l'établir directement il suffirait d'exprimer que la normale menée par un point quelconque d'une sui-face cylindrique tbrme un angle droit avec l'une quelconque des génératrices de la surface.
2™® Exemple : On demande l'équation aux dérivée» partielles d'une surface conique. En appelant Xq, j^^ , z^ les coordonnées du sommet , les équations de la génératrice seront encore
X — ^o X — fo Z — Zq
COSy ' dz
cosa cosC'
d'où Ton tire
dx dy
cos « cos C
et, par suite.
dx dy
COSy
dz
TRENTE-HDITIÈME LEÇON. 4^7
rëquation aux dérivées partielles sera donc
Onl'établirait directement en exprimant (jue le plan tangent à la surface conique passe toujours par le sommet. En effet, si l'on nomme Ç, >?, Ç les coordonnées courantes du plan tangent mené à la surface par le point (a:, j, z), son équation sera
« — ç = /?(ar — e) + ^(r — «)»
et si ce plan doit renfermer constamment le point (^09 Joî -2:0)5 on devra avoir
z — Zo = p{x — Xo) -4- q{y—fo)'
Dans le cas particulier où le sommet de la surface conique coïncide avec l'origine des coordonnées , l'équation aux dérivées partielles de cette siuiace se réduit k z =^ px + qy. Cette dernière équation est celle que fournit le théorème des fonctions homogènes dans le cas où l'on suppose que la fonction des variables x , jr, désignée par z^ est homogène et du premier degré.
3™® Exemple, On demande l'équation aux dérivées partielles d'une surface conoïde. Si cette surface a pour £|xe l'axe des z , la génératrice sera représ€^ée par les
équations - = c, z = <j)(c), d'où l'on tire
dx dy
et l'on conclura de ces dernières que l'équation aux dérivées partielles de la surface conoïde est /7j:-f-9J^ = o. Cette équation est précisément celle qui exprime que l'ordonnée z est une fonction homogène et du degré o des variables x , y. On peut l'établir encore en remarquant que si par le point (.r, y^ -z) on mène un plan tangent à la surface conoïde, ce plan renfermera la génératrice tout
entière, et, par conséquent, le point d^intersection de la génératrice avec Taxe, c'est-à-dire le point qui sui' cet axe répond à Tordonnée z. En effet, si dans Féquation du
plan tangent z — ^ = p{x — Ç) •+" ^(jf — *')» ^^ P^^^
f = o\ ijf = o, Ç = z, on trouve px -^ qy =z o.
Supposons maintenant que Taxe de la surface conoïde coïncide avec une droite menée par le point (Xq, y^, Zq), de manière à former avec les axes les angles a , 6 , y ; la génératrice pourra être représentée par les équations
(x — ^o)cos/ H- (jr — yo)cosm -h {z — Zo)cosn = c. xcQ%m -h j^cos^ -h zcosy = ^(^)j
qui donneront par la difierentiation
cosmdx H- cosQdy H- cosy^z = o, cosldx -\- cosmdjr -\- cosndz = o ,
les cosinus des angles /, w, n étant d'ailleurs déterminés par les équations
ces / COS//1
{jr — /o)cosy — (z — Zo)cosC (z — Zo)cos« — {x — Xo)cosy
cosn
{x — a:o)cos€^ — (r — jro)cos« on en conclut
lix — 7o) cosy — (z — Zo)cosC]dx -h [(z — Zo)cOSet — (x — Xo)cosy]djr ^ z=: O ; -h [{x — a7o)cosC — (y — Xo)cosec]dz
et en substituant pour {fz sa valeur ciz = pdx -H (^dy^
(cos«i + p cos^T) dx -4- (coso -+- q cosy) dy = o ,
{ ( y ^Xo) C08 y — («— Zo) cos 6 -^piix — Xo) C08 C — (r— ^o) C08 «t ] j <fr
-f- ^(z — Zo) COSa — (x — x^)c0Sy-\-q\{x — Xo)cOS 6 — (j^— ^o)coS«]|<(r= t» ,
si maintenant Ton élimine </jt' et rly onlie ces deux équa-
TRENTE-HUITIÈME LEÇOM. 4^9
lions, on trouvera pour l'équation aux dérivées partielles de la sur&ce conoïde
(r~"7o)cO^<» — (g — Zo)cOS^-hp[{x — Xo)cOsg — (j^— Jo)cOSfl6
cos« -f- p cosy (g — Zo)oogflC — {x — jro)cosy H- q [(x — j:o)cosff — (jr — jojcos»]
— — — — — — 'Va " ' ... ■ .
COS^ -+- q COSv
On jpeut présenter cette équation sous une forme plus simple; pour cela éliminons dz^ \^ entre les équations
oosadx + cos^dy -\- cosy dz = o, cosldx -h cosmdy H- co&ndz •=. o;
2^ entre les équations
dz rzz pdx H- qdy et cosldx -f- cos/wâfT* -h cos/?c& = o;
nous trouverons de cette manière.
cosii cos/i — cosy cos/ cos^ cos/i — cosy cosm cos/ -)-y>oos« cosm+^cos/J
De plus, en ayant égard aux équations
COSM cos/ H- cos^ cosm -h cosy cos/i = o , (x — Xo)tosl -h ( j — jo)cos/w -h (z — Zo)cosn=: o,
et égalant chacune de ces fractions à la fraction que l'on obtient quand après, avoir multiplié haut et bas les deux termes de la première par cosa^ et les deux termes de la seconde par cos 6, ouïes deux termes de la première; par X — jCq , et les deux termes de la seconde par ji — y-^^ an divise la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, on trouvera
«cos/i — oosy oos/ cosC cos« — cosycos/w coi'ât + cos'C -+-
coil-\-pcosn cosm -\- fj cxysn pcoset -{- qcosS — cos
— -(-^ — j?o)cosfl6 -h {x — j'o.) cosb H- (g — Zq) cosy
~" /? (a? — xo) -h q{y—Xo) — (2 — zo) '
44o GA.LCUL DIFFÉRENTIEL.
OU enfin
Telle est, sous la forme la plus simple , Féquation aux dérivées partielles de la surface conoïde. Pour établir directement cette équation , il suffira de projeter la distance du point (j^o jJ^o> ^o) ^^ point {pc^y-j z), i** sur Taxe de la surface conoïde i 2^ sur la normale menée à la surface par le point {x , ^, z)^ et d'observer que la seconde projection devant être égale en longueur à la perpendiculaire abaissée du point (j^o? J^o? ^o) sur le plan tangent, a nécessairement pour mesure le produit de la première projection par le cosinus de Taugle aigu compris entre la normale et Taxe.
4"*^ Exemple. On demande Féquation aux dérivées partieUes d'une surface de révolution. Si cette surface a pour axe l'axe des z , le cercle générateur sera représenté par les équations a:'+j^*=c, z=:q/(c), d'où l'on tirera
xdx -\- ydy = o-, dz =z o.
Ces équations, combinées avec l'équation dz =pdx+çdjr^
donneront ~ = -, On arriverait à la même conclusion
en observant que , dans l'hypotbèse admise , la normale menée à la surface par un point quelconque (pc^ y^ -?), doit toujours rencontrer l'axe des z, et qu'en conséquence, la projection de la normale sur le plan xy doit passer par
l'origine. En effet , si l'on nomme | , yj , ^ les coordonnées courantes de la normale , cette droite sera représentée par la formule
TREWTE-HUITIÈME LEÇOIf. 44^
et pour que sa projection sur le plan xj passe par l'origine, il suffira que ses équations soient vérifiées quand on y fera | = o, 19 = o, ce qui donne
- = -, ou - z= -.
Supposons maintenant que l'axe de révolution coïncide avec une droite menée par le point (j^o? J^o» ^0)9 ^^ manière à former avec les axes les angles a , 6 , y ^ le cercle générateur aura pour équations
xcos« 4- y cosC.4- 2cosy = c,
{x—x^Y -h {y —yoY -h (2 — 2o)' = <pW;
d'où l'on tire
(ar— Xo)^-f- {y — yo)dy -^^ {z — Zo)dz = o, cosmdx -+- cosQdjr 4- cosydz = o, et par suite
dx dy
{y — J^ojcosy — (z — Zo)cos^ {z — Zo)coSfl6 — (x — aTojcosy
dz
I I ri T- -■ M - I ■ ■— Il ■■ I •
' (x — j7o)cosC — (y — ^o)cosa'
combinées avec l'équation dz = pdx + cjdy^ ces, dernières équations donneront
P\Ly — 7o) cosy — (» — 2o) cos ^ -hy {{z — Zo) cos « — {x — d?o)cos y]
= ( x — jro)cosC — [y — ^o)coSfli.
Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution. On pourrait encore établir cette équation en exprimant que la normale menée à une semblable surface par un point quelconque {x^y^ z)^ rencontre toujours l'axe de révolution. En effet, si l'on nomme ^ , y? , ^ les coordonnées courantes de cet axe , on aura
COS:* cos^ cosy
44^ CALCUL niFFÉREUTIBL.
D'ailleurs pourquc la normale rencontre Taxe, ilfaut qu'un même système de valeurs de ^, y), ([ satisfasse à ces équations
cît aux équations de la normale = = f — z-
or, si Ton substitue dans les équations de Taxe les valeurs
de ^ et de y? , tirées des équations de la normale, on trouvera
^o)— /^(C — g) ^ r — ro — y (C — ^) -, g— gg+g— z
cos« cosC cosy
— Xo)(cosCH-ycosy)~(r— jo)(cos<t-f-/?cosy)-H(g — ^)(/>cosC-}co
o ce qui exige que l'on ait
{x — j?o)(cos« 4-7C0Sy)— {x — ^o) (cos* 4-/>Cosy)
-h (« — Zo) {pcosZ — ^cosct) = o.
217. Si Ton faisait mouvoir dans l'espace, non plus k ligne que déterminent les équations i^ == c, iv = ^c), mais celles que déterminent les formules
la surface engendrée par le mouvemeut de cette ligne pourrait encore être représentée par une ou plusieurs équations aux dérivées partielles qui ne renfermeraient pas les fonctions arbitraires y, ;^, ^, etc. Seulement ces équations aux dérivées partielles seraient en général d'un ordre supérieur au premier. Ajoutons que pour les obtenir il suffit, dans les deux équations de la génératrice, de considérer z et c comme des fonctions des variables indépendantes x^ y^ puis d'éliminer les quantités
de de d^e d^c d*e
' dx' dy' dx^' dxdr' df^'"'
i'nlrc ces équations eî celles qu'on en déduit par des diilén;ntiations relatives, soit à la variable a:, soit à la varia-
TREKTE-HUITIÈME LEÇON. 44^
ble j^, en suivant la tuarche que nous avons indiquée dans la dix-neuvième leçon. On en conclura, i^ que si les équations de la génératrice renferment une seule fonction arbitraire ç(c), Télimination conduira à une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre ; 2^ que si les équations de ia génératrice renferment deux fonctions arbitraires 9(c), xW' l'élimination produira deux équations aux dérivées partielles du troisième ordre ; 3** que si les équations de la génératrice renferment trois fonctions aThitraires* (p (c) , x(^)y ^(p)^ l'élimination conduira à trois équations aux dérivées partielles du cinquième ordre ^ 4° que dans le cas où les deux fonctions x(^) > ^(p) seront les dérivées première et seconde de la fonction <f(c)j Félimination produira une seule équation aux dérivées partielles du second ordre, entre les variables x^ j", z, de sorte que la surface décrite par la génératrice seta représentée par une équation aux dérivées partielles du second ordre , qui ne renfermera plus la fonction y ni ses dérivées. Parmi les surfaces de cette nature, on peut remarquer celles qui auront pour génératrice la normale principale d'une courbe à double courbure dont les équatious seraient de 1^ forme
f(x) désignant une fonction donnée, et (f(x) une fonction arbitraire.
218. I®' -Cxem^fe .Considérons la surface développable qui aurait pour génératrice les diverses tangentes que l'oU peut mener à une courbe à double courbure. Si Ton représente par
la courbe dont il s'agit, la droite qui touchera cette coui e au point dont les coordonnées seront
pourra être représentée par Téquation
Pour obtenir Téquation finie de la surface développable engendrée par cette tangente, il faudra éliminer c entre ces deux équations, mais cette élimination ne pourra être effectuée qu'après la détermination des fonctions arbitraires (f (c) , x(p)^ desquelles dépend la considération de la surface.
Soient maintenant^, q, r, j, t les valelirs des dérivées
• 1, dz dz d*z d*z d*z ^ • • iw
partieDes ,,, -^, —, que fournirait 1 ëqua-
tion de la surface développable différentiée deux fois par rapport aux variables indépendantes x, j^; la formule dz = pdx. -+- g/fy devra être vérifiée par les valeurs de dx^ dy^i dzy tirées des équations de la tangente à la courbe donnée ^ or comme on tire de ces équations
da: dy
ou, puisque y' (c), x(^) sont proportionnels à
/ X / N dx dy dz
on trouvera définitivement
Cette dernière équation appartiendra donc aussi à la surface développable , si l'on y regarde c comme une quantité variable déterminée par Téquation
Or dans ce cas si Ton différentie l'équation
1° par rapport à a:, 2^ par rapport à r, les coefficients de
TiLENTE-HUITIÈME LEÇON. 44^
-r- OU de -î- seront égaux dans les deux membres, et l'on
dx dy °
aura par suite
o = r[j?— ^(c)]4-*[r— ;eW]> o = s[a!'^(plc)]-ht[X'^x{c)]y puis Ton conclura, en éliminant la quantité c,
rt =: s*.
Ainsi, quoique les équations de la génératrice d'uiue surface développable renferment deux fonctions arbitraires et leurs dérivées du premier ordre, cette surface peut être représentée par une équation aux dérivées partielles qui ne renferme plus de fonctions arbitraires , et qui soit du second oidi:e seulement.
ii^^ Exemple : De la surface gauche engendrée par une droite qui glisse sur deux directrices quelconques
F(a?,j,a) = o, /(ar,j,z) = o et Fx (^,7,«)=o,/,(d:, j,z) =o,
en restant constamment parallèle à un plan fixe.
Nous prendrons le plan directeur pour plan xjr. Dèslors , pour construire la surface il suffira de couper les deux directrices par divers plans horizontaux et de joindre les points de section par des droites. La surface sera gauche en général^ c'est-à-dire que deux positions consécutives de la génératrice ne seront pas dans le même plan. Les équations de la génératrice seront d'ailleurs de la forme y=zax+ëj z = y. Pour que cette droite s'appuie constamment sur les deux directrices données , il faut de plus exprimer que les quatre équations
jrz=:«wc-f-C, z = y, F(d:,/,z)=:o, /(x,j,z) = o,
d'une part , et de l'autre les quatre équations
X=:ax-\-^y z = y, F,(^, 7, z) = o, /.(a:, ^, 2) ==o,
sont vérifiées par les mêmes valeurs de x^y^z. En éliminant X y y^ z entre chacun de ces deux systèmes de quatre équations , on arrivera à deux équations de condi-
446 CALCUL DJFFÉRËNTllEL.
lion entre a , 6 , y , qu'on peut mettre sous la forme .
Si Ton élimine a , 6 , y entre ces dernières équations et celles de la génératrice, on aura pour Téquation générale des surfaces de cette espèce,
Pour obtenir l'équation aux dérivées partielles indépendantes des fonctions y et ;{, différentions successivement par rapport à x et à ^, il viendra
o = (l>{z) -|-a?^'(z)/?-f-4'(^)/^> i=xç>'{z)q 4-4' («)^> d'où Ton conclut, en divisant, - = — 9(^)- Comme il est
arrivé ici que les fonctions (f\ ^y^' ont disparu à la fois, il suffira de descendre jusqu'au second ordre pour éliminer celle qui reste. Si, donc en adoptant les notations habituelles -: — = r, -— - = s. -z — =: t. on différentie l'édx^ dxdy dy*
quation du premier ordre successivement par rapport à x et àj^, il viendra
puis, en divisant ces deux résultats l'un par l'autre, on obtiendra pour l'équation commune à toutes les surfaces de ce genre,
q^r — ipqs -\- pH z=z o.
Prenons pour exemple la surface engendrée par une droite mobile qui, demeurant borizonlale, s'appuie constamment sur l'ellipse et sur le cercle représentés par les équations
x=ih, •^ + — =1; x=k, y^-{-z^ = cK Si l'on combine les équations de la génératrice
y = ax -\- o^
avec celles des deux directrices, on obtiendra les deux relations
et il s'agira d'éliminer a, 6, y, entre les quatre dernières équations.
Or si d'abord on élimine a, y, il vient
d'où il résulte, en éliminant 6 en^tre celles-ci,
Cela posé, si l'on conserve le même signe aux radicaux dans les deux membres , ce sera exprimer que la droite mobile glisse sur les deux courbes en passant toujours par
.deux points situés d'un même côté du plan zx , car ces radicaux sont les valeurs de l'ordonnée jr dans les deux courbes } alors l'équation de la surface se réduit à
(fi—.Â)cr=:[lib'—c)a! + ch — bk] y/c^^z^
et représente im conoïde dont toutes les génératrices vont
percer le plan zx en des points situés sur une même verticale placée en dehors des deux courbes , et que l'on obtiendrait par conséquent en faisant glisser la génératrice sur cette verticale et sur l'ellipse.
Lorsqu'on adoptera des signes diflTérents pour les radicaux dans l'équation de la surface , elle conduira à u|;^ co*' noïde analogue, maisdontl'axe sera entre les deux courbes, parce qu'alors on exprimera que la génératrice traverse
le plan zx entre les deux points où elle s'appuie sur la directrice.
Si avant d'éliminer ê on n'avait pas résolu les deux équations qui contenaient cette indéterminée, on serait
tombé sur une équation du huitième degré qu^il aurait fallu décomposer en deux facteurs pour y reconnaître les deux surfaces distinctes que nous venons de signaler.
219. Cherclions encore Téquation de la surface gauche engendrée par une droite assujétie à glisser sur trois directrices quelconques. Les équations de la génératrice seront de la forme
â: = cfz -f- y , j = Cz -f- ^, et il faudra y joindre les conditions propres à exprim^er que cette droite a toujours un point de commun avec chacune des directrices, ce qui fournira entre a, 6, d, y trois relations de la forme
puis il resterait à éliminer a , 6,7, â entre les cinq équations précédentes. Or si d'abord on substitue pour 6, y, ^, leurs valeurs , il vient
et quant à a , on ne peut l'éliminer sans déterminer la forme des fonctions, c'est-à-dire sans particulariser les directrices, de sorte que pour conserver au résultat toute sa généralité , il faut garder le système des deux équations qui précèdent en considérant a comme une indéterminée qu'on devra éliminer plus tard , quand la forme des fonctions aura été fixée. Si l'on voulait obtenir l'équation aux dérivées partielles indépendantes des directrices, il faudrait , en diflerentiant les deux équations
• x= az -\r zi^)j r = 2J(p (^t) -h 4 (<*) ,
se procurer assez d'équations pour pouvoir éliminer la quantité a et les fonctions ^ , y^^ t|/, ainsi que leurs dérivées. On y parviendrait ici en descendant seulement jusqu'au troisième ordre.
tREWTE-NEUVlÈME LEÇON. 449
%âK
tRENTE-NEUnEME LEÇON
Equations finies des ligues et des surfaces enveloppes.
220. Considérons une courbe tracée dans le plan xy «l dont l'équation
renferme avec les coordonnées a: , j- un paramètre variable â, en sorte qu'on ait
Sî Ton donne successivement à a une infinité de valeurs différentes, l'équation
représentera l'une après l'autre une infinité de courbes «nveloppées par une courbe unique dont il s'agit de trouver l'équation. Pour y parvenir, j'observe d'abord que si l'élimination de a entre les deux équations
produit la suivante
cette dernière formule résultera aussi de l'élimination de T. I. 29
4S0 CALCUL DIFFÊREIVlrifiL.
a entre les deux équations
et qu'en conséquence la courbe représentée par la formule xip^t yi^^^^ renfermera les poînto d'îniersection de la cQurbe représentée par Téquation f{pc^ j-^ à) = o avec celles que représentent les formules
/{x, 7-, fl — rt) = o, /{xy yya-hct) = o.
Les points d'intersection dont il s'agit étant évidemment très rapprochés l'un de l'autre lorsque a est très petit , si dans l'équation x(p^^ J"? ^) = <> on fait a = o, on obtiendra une nouvelle équation de la forme
qui représentera une courbe tangente à toutes celles qui répondent à la formule f{x^y^ a) = o, et qu'on appelle là ligne d^étt'velopffe de toutes ces courfies. U reste à foirmer l'équation "^{x^j) = o. Or si l'on désigne par e un nombre qui soit très petit avec a , on pourra évidemment donner aux équations fix-, j^ a) =0^ f{x^ j^, a + a) = o , la forme suivante :
fdu \ \da J
On peut en conclure que, pour obtenir la formule
il suffira d'éliminer a entre les deux équations
du .
u = Oy -7- ±1 = o.
da
Si dans ces dernières on fait a = o, et par suite € = o, eUes deviendront
du
'€t rélimination de a produira Téquation de la courbe enveloppante.
Au reste , on peut s'assurer directement que les deux courbes représentées par l'équation w = a, i® quand on suppose a constant , tP quand on prend pour a une fonction de X et j^ déterminée par la formule
du
se touchent dans tous les points qui leur sont communs. En effet , pour tous <ies points les valeurs de -^ tirées des
équations des deux courbes sont évidemment les mêmes et
j - . , , du du dy
sont données par une même équation j~ + ^ ^ = o-
Applications. Si à la courbe qui a pour équation
<m mène par le point dont Tabscisse est a:, une tangente et une normale , les équations de ces deux droites seront respectivement
Par suite la tangente et la normale qui répondent au point dont l'abscisse est a seront représentées par les deux équations
f - fl ( [j— (p(«)] (p'(a) = o.
Si entre la première de ces équations et sa dérivée prise par rapport à a , savoir.
452 ^ CALCUL DIFFé»ENTIEL.
on élimine la constante a, on obtiendra la formule
qui représente , comme on devait s'y attendre , la courbe proposée. Au contraire, si entre Téquation
et sa dérivée prise par rapport à û, savoir,
on élimine la constante a , on obtiendra l'équation non plus de la courbe proposée , mais de sa développée.
i*' Exemple : Si par le point dont Fabscisse est a, on mène une tangente au cercle représenté par la formule
Féquation de cette tangente sera *
ax -h X l/p » — fl » = p »,
Si Ton élimine a entre cette équation et sa dérivée par rapport à a, savoir,
on trouvera l'équation du cercle.
2^® Exemple, Trouver l'enveloppe des ellipses représentées par des équations de la forme
quand on suppose a + b = K.
Solution, Si l'on différentie l'équation par rapport à la quantité a, en regardant b comme fonction de «, on aura
-5 rfû H- —• db = o.
TREJÎITE-WBUVIEME LEÇOI^. 4^3
D ailleurs a •+■ 6 = K donne da -^ db =z o. Donc
doiic
^ = K' fr=è «'■ (K)+(èj = '- 221 . Considérons la surface représentée par Téquation
qui renferme avec les coordonnées x , y , z^ la constante arbitraire a. Si l'on fait varier cette constante, la surface dont il s'agit changera de position , souvent même de forme , et traversera un espace terminé par une seconde surface qui touchera sans cesse la surface mobile. Cette seconde surface est ce qu'on nomme la surface enveloppe^ tandis qne les diverses surfaces représentées par l'équation f{pc^ y^ Zj a) = o et correspondantes aux diverses valeurs de la constante a , sont ce qu'on appelle les ewi^eloppées.
Si dans l'équation / (x, j^ z^ a) ==o on attribue successivement à la constante arbitraire trois valeurs différentes , mais très rapprochées , par exemple
a — fit, a y û-i-(«.
ûc désignant une quantité infiniment petite , on obtiendra trois enveloppées très voisines, et celle du milieu coupera les deux autres suivant deux courbes comprises dans une même surface, dont l'équation sera produite par l'élimination de la constante a entre les deux formules
/(x, /, 3, a) = o, /{x, y, Zy a-\-»)= o. En effet, soit
Xii-^y J'y h'')=0
Téquatian dont il s'agit. La même éqaation résulter» evir\ corc de Félimination de a entre les deux formules
/(^>r> 2^> ûf — «> = o, /{x, X, Zy a) = o.
Si Ton fait converger a vers la limite zéro, les deux surfaces se rapprocheront de plus en plus, et la surface représentée par Féquation ^Çx^y^z^ ce) = o finira par devenir tangente , quel que soit a , à l'enveloppée représentée par l'équation f(x^ j^ z, a) = o. Donc à la limite , c'est-à-dire lorsqu'on supposera a = o , l'équation ;t (a: , y , ^) = o deviendra précisément Féquation de la surface enveloppe.
Observons maintenant que, si l'on désigne par u la fonction f{x , j^, z^ a), et par e une quantité infiniment petite , Içs équations f {oc^j^ ^, a) = o, /{x^y^ z -f- a) =z o deviendront
'du
ttzzzo, a -h « ( — in I ) = o.
Lorsque dans celles-ci on suppose a = o , elles se réduisent à
du
C'est donc entre ces dernières qu'on devra éliminer a pour obtenir Féquation de la surface enveloppe.
Au reste , il est facile de s'assurer à posteriori que les deux surfaces représentées par Féquation u =o, i° dans le cas où Fon attribue à la quantité a une valeur constante; 2° dans le cas où Fon considère a comme une fonction des
variables x,j", z ^ assujétie à vérifier la formule — - = o,
sont tangentes Fune à l'autre dans tous les points qui leur sont communs. Eu effet, la direction de la normale aune surface courbe pour le point (x, y, z) se trouve détermi-
TRBMTE-JNEUVIÈME LEÇON. 4^5
née par les valeurs des coefficients difierentiels
dz dz
D'ailleurs on 'tire de l'équation m = o, en supposant a constant ,
du du 1 n —
dx dz
:ïz + y':îr=0'
jT. + î:ïr = «;
puis , en supposant a variable et fonction de x, y.
du, du du du
dx ' dz da dv '
du du du du
df ' dz da dy
Les valeurs de ^ et de ijr seront donc données pour un point situé sur la surface enveloppée par les premières valeurs de /? et de ^ , et pour un point situé sur la surface enveloppe, par les secondes, qui, en vertu de l'équation
— = o, se réduisent aux deux précédentes. Donc, pour
tout point situé à la fois sur les deux surfaces , les quantités p et q obtiendront précisément les mêmes valeurs *, d'où il résulte que ces surfaces se toucheront dans tous les points communs à l'une et à l'autre.
222. Revenons aux deux courbes d'intersection de l'enveloppée qui correspond à l'équation f(x^y^ z, «) = o avec celles que représentent les équations
/(^>r> 25« — «) = o et /(x,/, z,£3r H-«t) z=o.
Lorsqu'on passe aux limites en faisant évanouir a, ces deux courbes se confondent en une seule qui est la courbe de contact de l'enveloppée représentée par l'équation
456 CALCUL DIFFÉREKiTIEL.
f{x^y^ z, a) = o avec la surface enveloppe. Celte courbe de contact est ce qu'on nomme la caractéristique. Pour former ses équations, il suffira de poser ce = o dans les formules
on obtient alors, comme on Ta prouvé, les équations
du u = Oy -r- = o.
da
Donc ces dernières , lorsqu'on y considère a comme constant, sont les équations mêmes de la caractéristique. Si l'on y donne successivement à la constante a diverses valeurs, on obtiendra diverses caractéristiques tracées sur diverses enveloppées.
Les courbes d'intersection de l'enveloppée
/[xyXyZ, a)=o avec les deux enveloppées que représentent les équations
/{^yfy^y^-^ «) = Q, /(^, J, «,« — «) = O,
se coupent, en général, en un point. Les coordonnées de ce point se trouvent déterminées par les trois équations
/{^,X,^ya — ct) = Oy. / (x, j, z, a) = o, /(x,j,z,âE-h a) = q,
que l'on peut écrire comme il suit,
du ct^ fd^u
du • u,^ /d^u , A
da a \da^ J *
e, e' désignant, ainsi que a, des quantités infiniment petites. On peut encore^ à ces équations, substituer les suivantes:
du etfd^u.\ d^u , tdbt'
u:=zO. — 1 [- itlÉU^O, dt = o.
' da i\da^ I ' da^ 2
Si maintenant on passe aux limites en faisant évanouira, les équations qui précèdent deviendront
du d*u
U= Oj —- = 0, —, — == G.
' da ' da*
Ces dernières déterminent ce qu'on peut appeler le point commun à la caractéristique représentée par les équations
M = o, — = o , et à une caractéristique infiniment voisine. Il existe un point de cette espèce sur chaque enveloppée. La suite des points semblables correspondants aux diverses enveloppées, ou, ce qui revient au même, aux diverses valeurs de a, constitue sur la surface enveloppe, une certaine courbe à laquelle on a donné le nom d'arête de rebroussement. Pour obtenir les deux équations de cette courbe en a: , y , ^ , il suffit évidemment d'éliminer la constante arbitraire a entre les trois
équations
du d*u
. Donc les équations m = o , -j- = o , qui représentent
une caractéristique particulière, lorsqu'on y suppose la quantité a constante , représentent au contraire l'arête de
rebroussement, si l'on attribue à cette quantité une va-
d^u leur variable propre à vérifier l'équation -r^ = o.
Comme dans les deux hypothèses les équations a = o,
— = o fournissent les mêmes valeurs de dx , djr^ dz , ou
plutôt les mêmes valeurs des rapports —, —, nous de-
vons conclure que tout point commun à l'arête de rebroussement et à une caractéristique, est pour ces deux courbes un point de contact.
223. i'^ application : Surface cylindrique droite à base circulaire.
CoDsidérons le cercle représenté par la formule
et tracé dans le plan xy. Si par le p<Hnt donl Fabscisse est a , on mène une tangente à cecerde, et par cette tangente un plan perpendiculaire au plan xjr, ce plan aura pour équation Téquation même de la tangente , savoir ,
ax -h rV^P* — «* =P*-
Si l'on fait varier la valeur de a, le plan se mouvra de manière à toucher constamment la surface cylindrique droite qui a pour base le cercle donné. Donc , en vertu des principes ci-dessus établis , l'équation de cette surface cylindrique devra résulter de l'élimination de la constante a entre la formule ax •+'jr k p ' — a* = p*,etsa dérivée prise par rapport à la quantité a. Cette dérivée
étant X , = o, l'élimination donne pour ré-
sultat x^ -h y* = p*5 comme on devait s'y attendre. Dans le cas présent , la caractéristique représentée par
les équations ax -^-y l/p* — a* = p^-, x —
sera la droite verticale qui résulte de l'intersection de deux plans infiniment voisins menés par deux tangentes
perpendiculairement au plan xy .
Comme les droites caractéristiques seront des droites parallèles , il n'y aura pas d'arête de rebroussement.
2"*® application : Surface cylindrique à base quelconque.
Considérons un plan parallèle à l'axe des z et représenté par Féquation y = ax + b. Si Ton fait varier les
TRENTB-IfEUVlÈME LEÇON. 459;
constantes a et b^ ce plan deviendra mobile; et la loi de son mouvement sera déterminée ai Ton établit une relation entre les deux constantes , en supposant par exemple b = (fia). Dans cette hypothèse, le plan mobile, dont l'équation prend la forme j^ = ax + ç (a), touchera constamment une surface cylindrique qui pourra elle-même être représentée par l'équation^ = ax -|- y (a), pourvu que l'on attribue à la quantité a , non plus une valeur constante , mais une valeur variable propre à vérifier la dérivée de l'équation^ = ax -|- (f(a) prise rçlativement à cette quantité, savoir, x -f- ç'(a) = o.
Pour chaique valeur particulière de a, les équations y = ax -{- (f(à) et a: -I- <]>'(«) == o réunies, détermineront une caractéristique qui sera évidemment une droite parallèle à l'axe des z. Cette droite, comprise tout entière 4ans la surface cylindrique, se confondra évidemm^t avec la génératrice de cette surface.
Comme les diverses caractéristiques seront des droites parallèles , il n'y aura pas d'arête de rebroussement.
