application : Surface développable
Considérons maintenant un plan quelconque représenté par l'équation z = ax + by -\- c. Si l'on fait varier les constantes a, i, c, mais en établissant des relations entre ces constantes, par exemple, en supposant b = 9(^)5 c = ^^(a) ,le plan deviendra mobile , et la loi de son mouvement sera complètement déterminée par la nature des deux fonctions y et y^. La surface à laquelle le, plan restera tangent dans toutes ses positions sera ce qu'on nomme une surface développable. D'après son mode de formation , il est clair que le plan mobile , supposé flexible, et inextensible, pourra s'appliquer et se plier sur elle, sans duplicature ni solution de continuité, et réciproquement qu'on pourra , sans briser la surface , l'appliquer et la développer sur ce plan. La caractéristique de la sur-
46o CALCUL DlFFÉRElVTrEL.
face , qu'on peut aussi nommer sa génératrice , ne sera autre chose que la droite d'intersection de deux plans in-< finiment voisins. Les équations de cette droite seront l'équation même du plan mobile , savoir ,
et sa dérivée, prise relativement à la constante a, savoir ,
L'élimination de la constante a entre ces deux équations donnera pour résultat l'équation même de la suiv face développable.
Si Ton différentie de nouveau l'équation
par rapport à la quantité a, on trouvera
Les trois équations
z=ax -f-r?(a) + z (a), o = x -(-/«•'(a) -f- x '(«)»
déterminent, pour chaque valeur particulière de a, un point situé sur l'arête de rebroussement de la surface développable. Si entre les mêmes formules on élimine « , on obtiendra précisément les deux équations de cette arête de rebroussement. Ajoutons que si l'on effectue d'abord l'élimination entre les formules z = ax+y(f(a) + xW? o=x+y(f'(a)+)(^'(a)^ on trouvera pour première équation celle de la surface développable, qui passe eifeclivement par l'arête dont il s'agit.
On peut remarquer encore que, pour chaque valeur particulière de a, l'équation o = x -{-J^fip) + X^'W représente un plan perpendiculaire au plan xy et passant par une caractéristique. Tous les plans de cette espèce touchent évidemment une certaine surface dévelop-
TKENTE-KEtVÎEME LEÇON. 46 1
pable , et pour former réqnation de cette seconde surface il suffit d'éliminer a entre la formule
et sa dérivée relative à la quantité a , c'est-à-dire entre les formules
D'autre part il est clair qu'en opérant ainsi on obtiendra une seconde équation de l'arête de rebroussement. Donc cette arête est précisément la ligne d'intersection des deux surfaces développables.
A la formule z = ax -|-j^9(a) -|-;^(a) on pourrait subs- ^ tituer l'équation générale du plan osculateur d'une courbe donnée, ou du plan normal à cette courbe. Soient
les deux équations de la courbe, et désignons par |, >?, ^ les coordonnées variables du plan osculateur ou normal. L'équation du plan osculateur sera
ou plus simplement
(i-:t)[,p'(x)x''(x)-<p"is)x^(^)]-(,~f)x"ir} + {i:-z)^'{x) = o, tandis que l'équation du plan normal sera
{i-^x)dx -h(jï — 7)1/7 -h (Ç— z)dz = o,
ou , 0n d'autres termes ,
En conséquence , les plans osculateur et normal ^ menés par le point dont l'abscisse est a , auront pour équations respectives
462 CALCUL DtFFÉRElii^ÎDIBL.
et
Cherchons maintenant la surface dëveloppable qui tou^^ che constamment le plan osculateur. La caractéristique de cette surface sera représentée par Téquation
ec par la dériv-ée de cette équation prise relativement à la quantité a, ou, ce qui revient au même, par les deux formules
Or ces deux équations équivalent aux deux suivantes
(f — a)(f>'{a) — [>! — (Pia)] = o,
ou , ce qui revient au même , à la seule formule
Donc la caractéristique de la surface développable se confond avec la tangente à la courbe donnée. D est aisé d'en conclure que Tarète de rebroussement de cette surface se confond avec la courbe elle-même. C'est aussi ce que démontre le calcul. En effet, les coordoimées d'un point quelconque de l'arête de rebroussement doivent satisfaire non-seulement aux équations
mais encore aux dérivées de ces équations prises relativement à la quantité a. Or ces dérivées se réduisent l'une
TRERTE-NEUVIÈME LEÇOBT. 4^3
et l'autre à
i — fl = o.
Si entre cette dernière formule et les équations
(f — a)(p'(a) — [v — <f>ia)] = o, (i ^ aU^(a)^ [Ç - x(^)] = o,
on élimine a , on obtiendra les deux suivantes
c'est*à-<iire précisément les équations de la courbe donnée. Quant à l'équation même de la surface dév^lof^Me qui touche constamment le plan osculateur ^ il est clair qu'elle résultera de l'élimination de la oonstante a entre les formules
(f- «);(;'W-[Ç -zia)] = o,
Passons à la recherche de la surface développable qui touche ooiistammefit le plan normal. La caractéristique de cette surface est représentée par l'équatioa
jointe à sa dérivée
Or, on satisfait à ces mêmes formules en prenant pour ç , '»} , ^ lés coordonnées du centre du cercle osculate^ir de la courbe proposée. Donc ce centre §e trouve situé sur la droite avec laquelle se confond la caractéristique de la surface développable. J'ajoute que cette caractéristique et le rayon du cercle osculateur se coupent à angles droits. En eflfet, si par le point qui sur la courbe a pour abscisse la quantité a , on mène une parïiUèle à la caractéristique de la -surface développable , cette parallèle sera représentée
par les deux équations
ou, ce qui revient au même , par la formule
? — « y — fi"} C — x(f)
Donc cette parallèle sera perpendiculaire au plan oscula-** ' teur, et par suite au rayon du cercle osculateur, autrement nommé rayon de courbure , ce qui entraîne la proposition énoncée.
Si entre les équations
on élimine la quantité a , on obtiendra précisément Téquation de la surface développable qui touche constamment le plan normal. Cette équation appartiendra en même temps à l'arête de rebroussement de la surface , et pour obtenir une seconde équation de cette arête , il suffira d'éliminer de nouveau la quantité a entre l'équation
et sa dérivée prise relativement à cette quantité , savoir :
3[9' («)*"(«) +x'i'')x" (°)1=['»-^(«)1^»-hK -;»:(«)]*;».
Nous avons vu que si x^ y^ z représentent les coordonnées d'un point quelconque de la développante, et Ç, >?, Ç les coordonnées d'un point quelconque de la développée, on a
Par conséquent si Ton élimine x^y^ z entre ces dernières et les formules j^=y(jî), z=;^(a:), on obtiendra en Ç, yj, Ç, l'équation de la surface sur laquelle se trouvent situées toutes les développées de la courbe représentée par ces mêmes formules.
Or l'élimination dont il s'agit donne évidemment le même résultat que celle de la quantité a entre les formules
Donc la surface développable qui touche constamment le plan normal à une courbe quelconque, est en même temps le lieu de toutes ses développées. On arrive encore aux mêmes conclusions par les considérations suivantes.
Si l'on fait rouler sur une surface développable le plan tangent à cette surface, avec plusieurs droites menées par un point pris à volonté dans ce plan, pendant que le point décrira une courbe dans l'espace , chaque droite tracera évidemment sur la sui'face une développée de cette courbe. Donc la surface sera le lieu de toutes les développées, et le plan tangent, passant par les tangentes aux développées, ou, en d'autres termes , par plusieurs droites normales à la courbe décrite, se confondra nécessairement avec le plan normal à cette courbe.
225. 4"^® Application : Surface qui enveloppe Tcspace parcouru par une sphère dont le rayon demeure constant et dont le centre se meut sur une ligne donnée.
Supposons d'abord que le centre de la sphère se meuve sur l'axe des x ; si l'on désigne par a l'abscisse de ce centre , l'équation de la sphère mobile sera de la forme
et si à cette équation on joint sa dérivée prise relative- T. I. 3o
466 CALCUL DIFFÉRenITIEL*
ment à la quantité a , savoir,
on obtiendra les deux équations de la caractéristique dé la surface enveloppe. L'élimination de a donne , pour réquation de cette même surface ,
donc la surface enveloppe sera , comme on devait s'y attendre, un cylindre droit qui aura pour axe l'axe des x , et pour base un cercle décrit d'un rayon p égal à celui de la sphère.
Les différentes caractéristiques étant des cercles parallèles, compris dans des plans perpendiculaires à l'axe des X, il n'y aura pas d'arête de rebroussement.
Supposons , en second lieu , que le centre de la sphère
se meuve sur une courbe plane tracée dans le plan xy. Si l'on désigne par
réquation de cette courbe, celle de la sphère mobile sera de la forme
(^ — ay H- [7 — <p{a)y -h z* =z p>;
si à cette équation Ton joint sa dérivée par rapport à a , savoir :
on obtiendra les deux équations qui représentent la caractéristique de la surface qui touche constamment la sphère mobile , et que l'on nomme surface canal. Enfin, si aux équations
on réunit la dérivée de la dernière par rapport à a, savoir,
on aura en tout trois équations qui détermineront les coordonnées d'un point situé sur l'arête de rebroussemenl de la surface canal. L'équation de cette surface résultera de l'élimination de a entre les formules
Quant aux équations de l'arête de rebroussement , il suffira pour les obtenir de joindre à l'équation de la surface canal celle que l'on obtient en éliminant a, entre les deux équations
Cette élimination conduira à l'équation d'une surface cylindrique verticale , dont l'intersection avec la surface canal sera précisément l'arête dont il s'agit.
Supposons, en troisième lieu, que le centre de la sphère se meuve sur une courbe à double courbure représentée par les deux équations
la sphère mobile , représentée par la formule
parcourra un espace dont l'enveloppe sera encore une surface canaL De plus , comme la dérivée de cette dernière équation relative à la quantité a, savoir,
^ — « -H [r — <f («)]^'(«) -4- [2 — xM] X 'W = o ,
est l'équation même du plan normal à la courbe décrite par le centre de la sphère mobile , il est clair que la caractéristique de la surface canal sera précisément le cercle qui résulte de l'intersection de ce plan normal avec la sphère. Si entre les formules
(^— «)'-+- [r—^(«)P -+-[2— ajW? =9\
.r — « -+- [ j — (p(«)] ip'[a) + [z — xW^ X '(«) = o,
on élimine a, on obtiendra Téquation de la surface canaK Si Ton élimine la même quantité a entre Téquation
X — û H- [j ^(fl)](p' (fl)-f- [z— A5(fl)] A5'(a) = o et sa dérivée relative à a, savoir,
on obtiendra Féquation de la surface développal>lQ, que touche constamment le plan normal à la courbe des centres. Enfin, toutes les fois que la surface canal sera rencontrée par la surface développable , la courbe d^intersection de ces d'eux surfaces sera Farète de rebroussement de la première.
QliAUANTlÈME LEÇOIV. 4^9
Bquatioiis aux dérivées parlioUes des surfaces cuveloppécb cl des
surfaces envol oppcs.
226. Considérons la surface représeutée par Téquation u = o , et supposons d'abord que la fonction u renferme , avec les coordonnées a: , j', z , les deux paramètres a et t = (f{(i) ^ en sorte qu'on ait, par exemple,
Si l'on fait varier la constante a, la surface dont il s'agit deviendra mobile , et parcourra un espace dont Tenveloppe sera une nouvelle surface représentée par l'équation qui résulte de l'élimination de a entre les deux suivantes
du
UZ=Z Oy --- = o.
da Cela posé, on reconnaît facilement que les équations
du du du i du
/du
appartiennent à l'une des surfaces enveloppées, loi^u'on attribue à la quantité a une valeur constante , et à la surface enveloppe , lorsqu'on attribue à la quantité a une
valeui* variable propre à vérifier la foimule — = o.
fyjO CALCUL DIFFÉREKTIEL»
Donc , si entre ces trois équations
da du du du
on élimine a et y(a), on obtiendra une équation aux dérivées partielles en x^y^ z^p^q^ qui appartiendra en même temps à la surface enveloppe et à chacune des surfaces enveloppées.
Exemple : Supposons que la surface représentée par l'équation m = o soit une sphère dont le rayon p demeure constant et dont le centre se meuve sur une courbe
comprise dans le plan xj. L'équation u = o sera de la forme
(ar — ay -h [r — (p(«)]* -h z* = /^'.
Dans la même hypothèse, les deux dernières équations du du du du
se réduiront à
Cela posé, l'élimination de « et de y («) entre les formules
{x — aY -h [jr — (p(a)]* -h 3» = pS x — a -\-pz = o, X — Ç>(a) -i- qz=Oy
produira l'équation aux dérivées partielles
qui appartiendra non-seidement à la sphère mobile, mais encore à la surface canal circonscrite à toutes les sphères. Supposons maintenant que l'équation u = o renferme avec les coordonnées x^y^ z , les trois paramètres a^ b = (f(a) et c = y^(a)^ en sorte qu'on ait, par exemple,
u =/[x, x,z, a, (p{a) , pc(a)].
QUARANTIEME LEÇON. 47 1
Si Ton fait varier la constante a , la surface représentée par l'équation- z^ = o deviendra mobile , et pour cette surface mobile , ainsi que pour la surface enveloppe de l'espace qu'elle traverse, les valeurs de jr, y, ^^ /^^ 7 satisferont à la fois aux trois équations
du du du du
^ dx dz ^ dy dz
Supposons, que ces mêmes équations étant résolues par rapport aux paramètres a , ç(a) et -/J^a) , on en tire
« =u, (?(«) = V, x[à)=^yf,
U, V, W étant fonctions des seules variables x^y\ z, p^ q ,
On pourra donc obtenir, dans le cas que l'on considère, trois équations aux dérivées partielles du premier ordre, dont chacune appartiendra également à la surface mobile et à l'enveloppe de l'espace qu'elle parcourt. Pour former ces mêmes équations, il suffira d'établir une liaison arbitraire entre deux quelconques des trois quantités variables U, V, W. Par conséquent, chacune des équations dont il s'agit renfermera une fonction arbitraire. Telles sont effectivement les fonctions y , ;^, t|/ dans les formules précédentes : V = ^(U), W == x(U), W= t|;( V). Au reste, comme la fonction arbitraire -^ (a) peut être censée déduite d'une équation de la forme
la caractéristique w indiquant eHe-méme une fonction arbitraire, il est clair que pour la surface enveloppe et pour chacime des enveloppées, les valeurs de x^ j, 2, /;, /j satisferont encore à l'équation aux dérivées partielles
w(TJ,V,W)=:o.
472 CALCUL DIFFÉKEMTIEL.
Cette dernière équation comprend les formiîlcs.
comme cas particuliers.
Si Ton difTërentie Tune de ces équations
1° par rapporta x^ a°par rapport à j^, on obtiendra deux équations qui renfermeront les dérivées des fonctions (f, jf , «p ou ny, et desquelles on pourra déduire, par l'élimination de ces dérivées, une équation aux dérivées partielles du second ordre. Ainsi, par exemple, en diflfé^ rentiant Féquation V = 9(^)5 ^^ V^^ rapport kx^ 2? par rapport à j^, on trouvera
dW ^ dV ^ dV dV fdV dV dV dV \ „,,,
dji dz dp dq \dx dz dp dq^ )
dW dS dV dW fdH d\i dii d\i \ ,,,,,
et Ton aura par suite, en éliminant ^'(Ij),
/d\ d\ d\ dV \fd}l dV dV dV \ \dx dz dp dq J\dy dz dp dq j
(dV dV ^ ^\ (^ ^ ^ ^U ' \dy dz dp dq J\dx dz ^ dp dq ]
ou, ce qui revient au même ,
'V ^v \fdv dv \ fdy dy \;d\] d\} \
VdpKd^'^'d^^J ^Vt/j"^"^VJ'^^L5^\^"^^'V~^\^"^' dNfdU dH \ dUf'dy d\ \ d\5fd\ d\ \ dV/dV dH
dq\dy dz J dq \df dz ) dp \dx dz^ ) dp \dx dz
{ày d^ dy d^\ __ M — \ ^ dq dq dp J ^ '
La formule précédente est réquatlon aux dérivées partielles du second ordre, qui appartient en même temps à la surface enveloppe et à chacune des enveloppées. Cette équation ne renferme plus de fonction arbitraire , et elle a cçla de remarquable, qu'elle est linéaire par rapport aux quatre quantités r, 5, t , rt — 5'.
On pourrait tirer immédiatement des équations
du du du du
une formule équivalente. En effet, si Ton différentie la seconde et la troisième de ces équations, i** par rapport à 0?, 2° par rapport à j , en y considérant a comme une fonction des variables xeij^ on trouvera
d^u d*u d^u ^ du /" d*u d*u\da
Fa
u d*u d*u d*u du / d*u d*u\da
'id^'^d^z'^'^lfydz^^'d^^^'^di^'^ \d^~^^d^)d^^^'
f»a d^u d*u d^u du / d*u d^'u^da
d'^u d*u d^u ^ du / d'u d*u \ da
dy^ dydz dz^ dz \djrda ^ dzdaj dy"^
Or on conclura des quatre équations qui précèdent, 1° en combinant la première avec la quatrième
d^u d*u d*u , du \ ( d^u d^u d^u du
dx^ dxdz ^ ^* ^ dz J \dy^ dydz ^ dz* ^ ^ dz
__ ( dHL d*u\ /d'u d*u\ da da
\dxda P dzdaJ \dyda ^ dzda ) dxdy^
2^ en combinant la seconde avec la troisième ,
/ d^u d*u d^u d^u du V
yda-dy "^ dxdz "^ "^ dydz ^ '^ dz^ ^"^ '^ dz^
\dxdq ' dzda ) \dyda ' dzda ) dx dy
Otiai
a donc par
1 d"B da\rd'u d^ii __ d'u dit;
h'^^''d^'^'''d's)[d^~^''''^dl'^^'dt' ~^'dci
\dxdy
!n développant,
\ax''^'^ d^di'^^ de') \4y''^^''djdc^'' de') \di^'^''drd:'^''iL:di^ ■in!- /d'u dy ,d'u\ (d'u d'u d'u d'u\ f-d'u J'b
di{S\^^'*''dyde''"' di') '"\djrdx'*''''lrdi'^drdi~*~'"'di')~^\dr''^^''âldi''
Sous «■etie forme on reconnaît immédiatement qu'elle esi linéaire par rapport aux cpiatre quantités variables r, s. t. ri — 5*. Si de cette dernière formule on élimine a, <f(a) et ;((fl) par le moyen des équations
du
du
du
dy
OD obtiendra entre x,y^ z,p, q, r, s, t une équation aux dérivées partielles du second ordre qui ne différera pas de la formule déjà obtenue-
i" Exemple. Supposons que l'équation « ^ o soit celle d'im plan et se réduise à ^ ^ (ïj:+j-iji(a) + ^(a), les formules
dr
deviendront
En les combinant avec l'équation
OQ en conclura
s — px — qr .
On aura donc , dans le cas présent,
Par suite les valeurs de x^ y^ z ^ p ^ q ^ relatives soit au plan mobile, soit à la surface qui le touche constamment, vérifieront les équations aux dérivées partielles
9 = <p(p). ^—p^'-<iy=x{p)^ ^ — p^ — 9f = 4{^)y
Si Ton différentie la première de ces équations, i° par rapport à a:, 2** par rapport à jr^ on en tirera successivement
puis , en éliminant <p' (^) ,
rt =5*.
Telle est Téquation aux dérivées partielles du second ordre qui convient à toutes les surfaces développables. Lorsque dans TéqUation
les variables x^y^z sont séparées , on a
dfdz ' dziix ' dxdy
et par suite l'équation
d^u ^d^u\fd*u d*u ,</'w\ / d*u d*u d^u d^u\*
''Pd^z-^^lP)W'^^'''à^'^'*d^)~\^ d*u d^u ,d*u\ / d*u d*u d*u d*u\ fd^u d*u d*u\~\
s^^^^^s^ drO'\d^4F^^d^z-^'^dnr^^'^drO'^\^^^ ta
'm d^ud^u d*ud*u
Y^ dy^ dz* dz' dx^
[fd^u . d*u\ d^u fd^u d^uW fdu\^.
476 CALCUL DIFFÉRENTIBL.
Si Ton suppose en outre que Téquation u = o soit linéaire par rapport k x^y, Zy on aura encore
d*u rf'a d*u
ce qui réduit Téquation précédente k rt — j* =0.
2"*® Exemple : Supposons que l'équation u == o soU celle d'une sphère décrite d'un rayon constant p , et se réduise à
les deux formules
du du du du
deviendront
«— fl-f-[«— ;c(a)]/? =0, jr^(p(a)-\-[z^^{a)]q =0.
En combinant çelle-ci avec l'équation de la sphère , on, trouvera
et par suite
Vp*-hq*-h I
On aura donc , dans le cas présent ,
