X --a y—çtja) __ g— x(g)

et quel'on fasse, pour plus de commodité, R= k ^*+^'+ 1 ^

on aura définitivement

ou, ce qui revient au même,

(/?*-f-^*4-i)— If:[(^*-hi)r— 2/7^jH-(/?*-f-i)r] hrt—s*=n,

On obtiendrait précisément la même formule en substituant dans l'équation qui donne les rayons de courbure principaux

(/?*-f-^'-hi)Q*=t[(/?^-M)r— 2/7^^-t-(^*+i)r]QH-rf— 5»=o,

au lieu de la quantité Q, sa valeur ±: — tirée de l'équation ifi - = — -, Or, dans l'équation qui donne les rayons

de courbure principaux, p désigne un rayon de plus grande ou de moindre courbure , tandis que dans l'équation aux dérivées partielles qui précède, p désigne le rayon de la sphère mobile; donc il résulte de cette formule, qu'en chaque point de la surface qui enveloppe l'espace parcouru par la sphère mobile , l'un des rayons de plus grande ou de moindre courbure est égal au rayon de la sphère dont il s'agit.

227, On peut déterminer les fonctions arbitraires que renferme l'équation d'une enveloppée, de manière que la surface enveloppe passe par des directrices données , ou soit circonscrite à des surfaces données.

Soit toujours H = o l'équation de l'enveloppée mobile, et supposons d'abord que la fonction u renferme avec les coordonnées x^j^z les deux paramètres a et(j?(a). Pour déterminer la fonction y, il suffira de supposer que l'enveloppe doit passer par une directrice donnée ou être cir-

consente à une surface donnée. Soient, dans la première hypothèse, f^ = o, w = o, les équations de la directrice. Cette directrice devant être tangente à chacune des enveloppées -, les valeurs de dx^ dy^ dz^ tirées de ses équations, devront satisfaire à la différentielle de l'équation m = o, et par suite on aura , pour chaque point de la directrice , non-seulement les équations m = o, 1^ = 0, 1^ = 0, miais encore la formule

\> dw du dv dw du dv dw du dv dw du dv dw du dv dw

y dz dx dz dy dy dzdx dy dx dz dz dx dy dz dy dx

Si entre ces quatre équations on élimine x^ y^ z, on obtiendra une équation de condition entre a et <p(«), que je représenterai par A = o , et qui déterminera la forme de la fonction (p. Si, à l'aide de cette équation de condition, on élimine de la fonction m=o le paramètre y {a) , l'équation résultante représentera une surface déterminée pour chaque valeur particulière de la quantité a , et en faisant varier cette quantité, on aura une surface enveloppe également déterminée.

Supposons maintenant que l'enveloppe doive être circonscrite à une surface donnée représentée par l'équation P» = o. Cette dernière surface sera tangente à chacune des enveloppées, et, comme deux surfaces qui se touchent en un point ont nécessairement en ce point la même normale, il est clair que les coordonnées x^ y^ z, du point de contact, vérifieront non-seulement les équations m=o, V = o , mais encore la formule

du

du

du

dx

dy

dz

dv ^

dv

dp'

dx

dy

dz

Si entre ces quatre dernières équations on élimine x^y^ z<

on obtiendra encore une équation de la forme A = o , A étant une fonction des deux paramètres a et f (a). La nature de la fonction <p étant déterminée par la formule A = o, on achèvera le calcul coûime dans l'hypothèse précédente. Si l'équation m=o renfermait trois paramètres a , <p(a) et jf(a), alors, pour déterminer les deux fonctions <p et pf , il faudrait connaître deux directrices de la surface enveloppe, ou deux surfaces courbes auxquelles cette surface enveloppe doit être circonscrite. En opérant comme ci-dessus, I® pour la première directrice , ou la première surface courbe donnée \ a^ pour la seconde directrice , ou la seconde surface courbe^ on obtiendrait deux équations

dont les premiers membres A et B renfermeraient seulement les trois paramètres a, 9(û),x(^)* ^^* deux équations suffiraient donc à la détermination des fonctions (p et y^.

La même méthode peut être évidemment étendue au cas où l'équation w = o renfermerait plus de trois paramètres dépendants les uns des autres.

228. Cherchons par cette méthode l'équation de la surface développable qui passe par deux directrices données. Désignons par a:i , j^i , z^ les coordonnées de la première directrice, et par x^^y^^ z, celles de la seconde. Soient 1^1 = 0, tvi = o , les équations de la première directrice, et P'î = O9 '»*'s =05 celles delà seconde. Enfin, concevons que les points (x^ , j, , Zj), (oTs, j,, z,), se trouvent sur une même caractéristique ou génératrice de la surface développable, et dé^gnons par x^j^z les coordonnées variables de cette génératrice. Le plan qui touchera la surface développable suivant cette génératrice , passera par les tangentes aux deux directrices. Par suite, si la perpendiculaire à ce plan forme avec les axes les angles

QlFAlUiSTlÈiVtE LEÇOJV. 4^1

k, jtz, V, on aura simultanément

(Xj — j:a)C0SA-f-(j, — y'i)C0SfC-\- (Z, — 22)cOS» 1= O, COSA^Xi 4- COS^Jt H- COSFcfz, =r o, cosxdx^t H- cos^^/a -f- COS» JZj = o.

On en conclura

(z, — Zj) (dxjdjr^^dx^djr^) = o.

Celte dernière équation, lorsqu'on y substitue pour rfj:, , rf^o dz^^ r/xs, ^/^2, ^^^9, leurs valeurs tirées des formules i^, = o , w, = o , i^i = o , w» = o , établit une relation nojivelle entre les six coordonnées x,, y „ Zi^x^yj^^ z^. Si aux formules précédentes ou réunit les équations de la génératrice de la surface développable , lesquelles se trouvent compiîscs dans la formule

x^Xj __ /-— Ji z —

•2^2 ^i ^a ~*" Xi ^2 ^i

on aura en tout sept équations entre les quantités

et si Ton élimine les six dernières, on obtiendra en x^y^ z l'équation même de la surface développable.

229. De la surface développable circonscrite k deux surfaces données.

Désignons par x^^y^^ z^\ x^^ y<i^ z^^ les coordonnées variables de deux surfaces données; et soient i^^ =o, f^8 = o leurs équations respectives. Si les points (Xj, j-j, z,), (Xa , /s 9 -^2) •» se trouvent sur une même génératrice de la surface développable , les normales menées aux surfaces données par ces deux points seront perpendiculaires au plan qui touche la surface développable suivant la gé- T. I. 3i

liera tri ce dont il s'agit ; et Ton exprimera que ces normales sont non-seulement parallèles entre elles , mais encore perpendiculaires à la génératrice , en posant les trois équations comprises dans les formules

dv, dv^ dv^

dxi djTj dzj

dv^ dv^ dif^

, .dv^, dui . , dut

Si entre les forûiules qtii précèdent et les équations de la génératrice, savoir,

on élimine les six quantités a:,, j, , 2, , oc^^y^^Zi. on obtiendra en jc, y, z Téquation meure de la surface développable.

Si Ton se proposait seulement de trouver la courbe de contact de la surface développable avec l'une des deux surfaces données , par exemple avec la première , il suffirait de joindre à Féquation p», = o celle qui résulte de l'élimination des coordonnées j?, , 7,, z^ entre l'équation i'j = o et les formules

d\>^ dvi dçj

dxj djTy dzi

dv^ dv^ dv^ '

dx:, dy^ dz^

Exemple : Surface développable circonscrite h deux

TQUAUAKTIÈME LEÇON. 483

sphères ou à deux ellipsoïdes semblables , dont les axes sont parallèles.

Calcul pour deux sphères. Soient

les équations des deux sphères.

On aura

X^ «2^0 X^ """ Xo ^2 ^O

On en conclura

Xj jr, z, p

«t par suite

a:o^.-+-ror« + «o2i = p(p±po).

La dernière équation est celle d'un plan qui renferme la courbe de contact de la surface développable avec la première des sphères données.

/jB4 CALCt'L ntFFÉllKNïlEL,

qvârante-ujvieme leçon

Principes élémentairoR du calcul des résidus.

i . Lorsqu'une fonction fÇv) de la variable x ne devient pas infinie pour une valeur particulière Xi, on peut la développer suivant les puissances ascendantes en-* tières et positives de la différence x — jr, = e, et Ton trouve , en faisant usage de la formule de Taylor,

OU, ce qui revient au même,

jW-I