I.2.3...(/Z— Ij
Alors aussi le coefficient de la première puissance de X — X,, oude e, est la valeur que prend le cofficient différentiel ou la dérivée de la fonction f(x) , quand on y fait X = Xi.
Mais si la fonction fÇx) devient infinie pour x = x^ ou si a: 1 est une racine de l'équation f(x) = oo ,
-^ = 0, on ne peut plus faire usage du développement
qui précède, et l'on est forcé de lui en substituer mi autre,
lou jours oi'donnç suivant l^s puissances ascendantes de e , mais qui renferme des puissances négatives. Ce développement s'obtient très facilement en procédant comme il suit.
2. La valeur particulière Xi peut être une racine simple ou multiple de l'équation ^pr = o-, Xi sera une racine simple, et l'équation 7pr = osera dite n'avoir qu'une
seule racine égale à o^i , lorsque le produit (x — Xi) f(x) ne deviendra pas infini pour x^=.x^. On dit, au contraire, que Xx est une racine multiple de l'ordre m, m.
désignant un nombre entier, ou que l'équation ji—. = o
a m racines égales à a: i, lorsque le produit (a: — oCi)"^ f(x) obtient pour x = Xi une valeur finie différente de zéro. Posons, dans cette dernière hypothèse, qui renferme la première comme cas particulier,
[x — a:,Yf{x) = ï{x) , î'^f{x, -1- f) = f(x, H- j) ;
la fonction {(x) conservant une valeur finie pour x = Xi^ on pourra développer {(x^ -+- s) suivant les puissances ascendantes et positives de s , et l'on aura
f(..4-.)=f(x.)+.f'W+;if"(x.)- + E^^)-^S:~^ d'où l'on tire, en divisant par e'", et ayant égard à l'équation /(xi + e) = -^— - — ^
g i.2.3...(/w — i) 1.2. 3... m' Si m est égal à l'unité, ou si x est une racine simple de
réquatîon jr—. = o , cette équation devient
Dans tous les cas le cx)eflScient de -- est ce que M. Caucliy
a appelé le résidu de la fonction f{x)^ correspondant à la Yaleur particulière Xi de la variable x. Ce résidu sers^ donc, dans l'hypothèse d'une racine simple, i{pCx)\ dans
rhypothèse d'une racine multiple, 5 — .^ '^ i , et l'o»
pourra toujours le calculer , en formant la fonction
f(x) = (x — jrx)"/(a:),
que l'on dîfférentiera ensuite m — i fois, pour y faire x= Xi. f'^^^Çxi) est évidemment aussi ce que devient
fc
lorsqu'on y fait e = o. L'équation f(a:i+6) = £'"y*(xi+£) donne d'ailleurs
on aura donc
de sorte que le résidu de la fonction fix)-, relatif kx-=.x^^ est ce que devient l'expression
i.2.3...(/w — i) flfe*""'
lorsque, après la différentiation , 011 pose g = o.
QtlARÂKTE-liNlÈME LEÇOHi . 4^7
