Exemple : i" Soit

cette fonction devient infinie pour j? = i , mais le produit

conserve une valeur finie. Le résidu de la fonction f{pc)j

correspondant à a? = i, sera dès-lors f(i) ou — -7- — = i .

Le résidu de cette même fonction, correspondant à a: = — I , s'obtiendra en formant le produit

{x^ i)f{x) = J^^, et faisant x = -s- i ,

ce qui donnera

2"* Exemple : - f(x) =

COSJF

Cette fonction devient infinie pour x = -: mais le pro-

AT

duit , qui prend la forme indéterminée |-, conserve

néanmoins pour x = - une valeur finie que Ton obtient

cos^

en prenant la dérivée dq. numérateur et du dénominateur. Cette valeur finie et égale à l'unité est le résidu de la

fonction correspondant à x = -,

cosx ^ 2

3"^ Exemple :

JC* — I

/W = (xT7)^'

488 CALCUL DIFFÉREATIEL.

on a

et — 2 est le résîdu de cette fonction relatif à x = — i . 4. Lorsqu'une fonction f{x) devient infinie pour une série de valeurs particulières Xi , Xj , Xs, . . . x^», on peut prendre le résidu, ou successivement par rapport à toutes les racines , ou parti eUement par rapport à quelques^ unes seulement. On appelle résidu intégral de la fonction fipc) la somme des résidus de cette fonction relatifs aux diverses racines réelles et imaginaires de l'écpiation

r;^=o. L'extraction des résidus est l'opération par laquelle

on les déduit de la fonction proposée. On indique cette extraction à l'aide de la lettre initiale o, qui sera considérée comme une nouvelle caractéristique analogue aux caractéristiques d, y*, 2 ; et pour exprimer le résidu intégral de f{x) , on place la lettre o devant la fonction cut lourée de doubles parenthèses , ainsi qu'il suit :

Poui' indiquer le résidu , par rapport à une valeur particulière X = Xi^ on remplacera la fonction f(x) par la fonction identique

{x—x,)f{x) ^^ (x — x,Yf{x)

{x JCi) [x JC,)'" '

et l'on mettra entre deux parenthèses, sous le signe o, la

différence (.r — x^)ovl (x — x^)'"^ placée au dénominateur \ le résidu sera donc indiqué par l'une des notations

Pour indiquer le résidu pris par rapport à certaines valeurs particulières x^^ x^^ x^^. . , ^ on se servirait de la notation

y (^ ~ ^') (^ ~ ^') (^ ~ ^3)/Gy)

^ (( {x^ ^,) (x — x^) {x — jra) ))

Lorsque la fonction f(x) se présentera sous la forme

fractionnaire f(x) = ^X-r-^ et que nous voudrons indi-

quer la somme des résidus relatifs aux racines de l'équation xi*^) = ^7 nous écrirons

appliquant ainsi les doubles parenthèses à la fonction ;f(.r). Au contraire, la notation

représentera la somme des résidus de f(x) relatifs aux

seules racines de l'équation — 7-r = o, et l'on aura identiquement

6 ii/ix))) ^ ((^-^ jj i. ^^-^ 4- 6-^(^.

De même, si l'on suppose x(p^) = ^Wl^W ? ^^^ deux notations

exprimeront, la première la somme des résidus correspondants aux racines de l'équation 'k(x)=o^ et la seconde la somme des résidus qui correspondent aux racines de

4gO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

réquatioii fJt(x) = o-, en sorte qu'on aura généralement

De même encore , si l'on suppose (f(x) = y{x)xs(x) , ou obtiendra les équations

^ £((y(x)))^(:r) ^ /yW((^(x)))

5. Si la fonction y^(^) est la somme ou la diflférence de plusieurs fonctions f(â?), xC^)* ^^ ^^ évident, d'après la définition même du résidu et du résidu intégral, que le résidu intégral de la somme de ces fonctions sera égal à la sonmie de leurs résidus intégrauit ; on aura donc

l. ((^(x)±:>;(^)±etc.)) ^ l({(p{x)))±: l.({xi^)))±. . . etc.

6. Si la fonction f(oo) est le produit d'une autre fonction F(x) par un facteur constant «, on aura aussi

Cette dernière équation est un cas particulier de celle que nous avons établie plus haut ,

équation qui correspond à l'équation différentielle

d.ui> = udv -\- i>du.

7. Soit, de plus, fÇx^ z) une fonction des deux variables indépendantes x, s, et supposons que l'équation

QUARAWTE-UMIÈME LEÇON. 49*

-jr, T = o , résolue par rapport à x , fournisse des racines

indépendantes de la variable z \ si l'on clésigne par x^ l'une de ces racines , il est clair que le résidu de la fonction dérivée — ^ ^ , correspondant à a? = iPi , ne différera pas de la dérivée relative à z du résidu de la fonction f{x^ z)\ car ces deux quantités se réduiront l'une et

l'autre au coefficient du rapport — dans le développement

de l'expression f{x^-^ e , z -f- e'), suivant les puissances ascendantes des accroissements s, s\

En effet, pour avoir le résidu de la fonction f{x^ z), correspondant à a? = ari , il faut poser x=x^+z Ql prendre dans le développement ie f{x^ +£7 -2), le coefficient de - \ puis, pour avoir la différentielle de ce résidu,

il faut , dans ce coefficient de - , changer z en z -f- e', développer et prendre le coefficient de e' qui sera évidemment le coefficient de — dans le développement de

f{xi -ht, 2 -f-e').

De même , pour avoir le résidu de la différentielle , il faut d'abord dans f{x^ z) changer z en z -{- e', prendre le coefficient de s', y changer x en x, + e, et développer : le coefficient de - sera le résidu cherché et sera aussi

le coefficient de -dansledéveloppementdey(a:|-|-£7'2+s )?

donc, etc.

Cette remarque pouvant s'étendre aux diverses racines

de l'équation j-. -. = o que Ton suppose indépendantes

de la variable ^, on en conclura

c'est-à-dire que le résidu intégral de la différentielle esl égal à la différentielle du résidu intégral.

Nous conclurons plus tard de ce théorème que l'intégrale du résidu est égale au résidu de l'intégrale.

8. Ce que nous venons de dire sur les principes du calcul des résidus suffit. Il reste à faire connaître une de sçs principales applications.

Application à la transformation d'une fonction qui devient infinie pour certaines valeurs, et à la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

En supposant que la fonction f {oc) devienne infinie pour X = x^^ mais de teUe sorte que le produit {x — oCxYf{oc) = ^{pc) conserve ume valeur finie , nous avons trouvé

^. 1.2.3. ..(w-i)fC'»-')(a7,)^i. 2.3.. ./n ^' ^ ^^ Posons

^^L ___. f («) [jo, -\-0{x — X,)] = (p[x),

(p(jc) aura généralement pour x^=Xi une valeur finie

~^ — , et par conséquent, en retranchant de la fonc-

tion f{oc) la somme

{X-X,)"" I {X-X,Y" 1 .2 (JF-JT,)'"-» "* I.2.3...(w-l) {X—X,) '

QUAKANTE-UNIEME LEÇON. 49^

on obtieudra udc nouvelle fonction ^(j?), qui ne deviendra plus infinie pour a: = x, •, or cette somme de fractions peut, à Taide du calcul des résidus, se mettre sous une forme très simple.

En effet, on a évidemment, d'après ce que nous avons dit sur les résidus et la manière de les calculer,

d'où l'on tire , en posant m — i = w , x= z^

fC")(^0 C f(z)

Si , dans cette dernière équation , on fait tour à tour on trouvera

nfil / __£(!)__ f(--)(x.) r i{z)

Dès lors l'équation

devient

^^-) = iF^^^--^^i^)

Ôt'-x.)-' <^(((a-x.)3)) - x-x. <^ (((» - X.)-)) ) En faisant entrer sous le signe o, qui se rapporte à z, les quantités ^-J:^^, (^ZZ^^j^t ' • • • ^'o» ?«"» «"egar-

494 CALCf'L DIFFÉRENTIEL.

der comme constantes , réduisant au même dënomiuateiàr et observant que le résidu de la somme est égal à la somme des résidus , on obtiendra successÎTement

Le second des résidus du premier membre , ou le résidu de la fonction

[x — j:,) *" (z — ^Tx) "* (x — z) {x — x^'^{x — £) '

relatif à z = Xi , est évidemment nul , puisque cette fonction ne devient pas infinie pour z ^ Xx\ on a donc plus simplement

ou , en mettant pour i{z) sa valeur f{z)(^z — Xi)™ ,

Il résulte de cette dernière équation que, pour déduire de la fonction y*(a:), qui devient infinie lorsqu'on suppose j: = x, , une autre fonction qui conserve dans la même hypothèse une valeur finie , il sufiit de retrancher de f{x) une somme de fractions rationnelles équivalentes à l'expression O ( -^^^^^7"^ \N^ c'est-à-dire au résidu de la * \x — z)[{z—Xj))

fonction , . relatif à z = x^.

QtARANTE-UNlÈME LEÇON; 49$

9. Concevons maintenant que l'on veuille déduire de la fonction f{pc) une autre fonction qui ne devienne infinie pour aucune des racines Xi , Xj, ... j:„ de l'équation

f(x) = 00 , TT— N = o, il suffira évidemment de retrancher

de f(x) la somme des résidus de la fonction — ^-^ cdr-

respondant aux valeurs z ■=.Xx', z ^ x^^,,, qui peuvenl rendre cette fonction infinie, ou le résidu intégral de

cette fonction représenté par la notation o *, donc

si Ton pose

/(.,)£ (mu y(.),

la fonction (p {pc) conservera une valeur finie pour toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de la variable x. On pourra donc toujours décomposer une fonction donnée en deux parties, dont Fuine soit la somme de fractions rationnelles, et dont l'autre ne devienne jamais infinie.

10. Dans le cas particulier où f{x) désigne une fraction rationnelle, la fonction ç(x), qui est ce qu'on obtient quand delà fonction donnée on retranche une série de fractions rationnelles, ne peut être qu'ime fraction de même espèce, mais qui ne puisse jamais devenir infinie, ou dont le dénominateur ne puisse jamais s'évanouir. Dès-loi^ le dénominateui" de (f{x) doit être constant, et o{x) ne peut être qu'une fonction entière de x.

De plus, si dans la fraction rationnelle f(x^ = J^, <le ^ *^ ^ '' Y(x)

degré du dénominateur surpasse le degré du numérateur,

cette fonction s'évanouira pour des valeurs infinies de x^

ainsi que l'expression C^ . Il devra donc en être

aussi de même de la fonction entière y(x). Mais une

fonction entière qui s'évanouit pour a: == 00 doit être identiquement nulle. On aura donc, dans cette hypotlièse,

à Taide de cette formule, on pourra décomposer, dans tous les cas possibles , la fraction ïrationneUe fipc) en fractions simples.

\\, Exemples. 1^ f(x) = — -,

' -^ ^ ^ (.r--i)*(jF-M)

on aura

•^(*) = *^(4?-^)(((z-.)«))(2 + .) "^<^(;r-«)(*-i)»((z+.))- Pour calculer le premier résidu, il faut multiplier la fonction sous le signe o P^r (^ — i)"^ différentier, et faire z = i * On trouve de cette manière

on trouve plus facilement encore

C l II

on aura donc