I II II II

(x — i)*(a:+i) ^ X -\- i ^x — I 2 (a: — i)** on trouvera

î[x) __r fz^ I

{x^Xi){x — X:,),,,{x^X„^ {{Z — Xi)){z — X:,).,.,[t — X„,)x—Z

p f(z) , f(xO'

(Z Xr){z 4ra)...((z X^))x Z (X^ X^){Xr—X3)..,{x^ X„) [x-

(•^2 *^i)y^} "^3/ •••^•^2 ^m) X——Xj, y'*'m X^j... \X/n X^ ly X' X^

QUARAISTE-UNIÈME LEÇON. /\gy

et par suite

{x — Xj){x — x,}(x — Xî}... (x— a:«,)

Cette dernière équation est la formule d'interpolation de Lagrange.

12*^. Reprenons l'ëquation f(x) = C- .

Si après avoir multiplié ses deux membres par x , on attribue à la variable x une valeur infinie, et si l'on désigne par jPla valeur correspondante du produit xf{x)^ on aura

,M = i Mm,

et en passant à la limite ,

Si la quantité F s'évanouit, on aura simplement

l am)) = o.

Cette dernière formule subsistera toutes les fois que dans la fraction rationneUe, désignée par f(x)^ la diflerence entre le degré du dénominateur et celui du numérateur sera supérieure à l'unité 5 alors, en effet, dans

le produit xf(x) = — ^, le degré du dénominateur est

encore plus grand que celui du numérateur, et ce produit s'évanouira par conséquent quand on fera a: = oo.

Si la quantité F était égale à l'unité, ce qui amait lieu

par exemple si dans la fraction rationnelle -j~\^ ^^ degré

du dénominateur surpassait d'une unité seulement le degré du numérateur, et si de plus les coefficients de la T. I. 32

plus haute puissance de x au numérateur et au dénominateur étaient égaux, on aurait

L (if m = '•

Exemple: f{x) = (-^— )(^^^) TJ^ZI^-); ou aura

iî^(.(/W)) =

la somme du second membre sera égale à o si n<Z,fn — i, et égale à Funité si n = m — i , ce qu'on savait déjà.

Principes élémentaires du calcul direct aux différencci flniet.

Soit y = f{pc) une fonction quelconque de la variable jr, et h un accroissement quelconque attribué à cette variable ; f{x + A) — f{x) est ce qu'on appelle la différence finie de la fonction j ; on désigne cette même différence par la notation Ay^, ou ^f{x) \ en sorte qu'on a, en supposant

Lorsqu'on suppose j' = x^ l'équation précédente devient

La différence finie de la variable x n'est donc autre cliose que l'accroissement h attribué à cette même variable.

Si l'on prend successivement pour j^ différentes fonctions de a:, on obtiendra pour A}'^ autant de valeurs correspondantes qui seront fonctions de x et de //. On trouvera, par exemple, en supposant

y=^ ax^ ^y = a{x-\-h) — ax=:ah^

y=z a' ^ Aj=:fl'+* — û* = (rt^ — i)«',

y = if' y ^x=z(f('+^) — e"'={e^— i)<^,

y = smax,..,Ayz=zsm(ax-{-an) — sinaxr=isin{ — jcos\ f4x H 1,

y =z\xy Ajzzr 1(j: -}- // ) — \x = 1 ( i H ].

500 CALCUL DIFF^.RENTIKL.

Enfin si Ton prend } = x"\ m désignant un nombre entier, on trouvera

Les différences finies des fonctions de fonctions , des fonctions composées, se déduiront avec la même facilité de l'équation (2). On peut même faire à ce sujet quelques remarques qu'il importe de retenir.

Soi eut d'abord

y =z au, u z= F(j:),

u désignant une fonction de la variable XjVA a Une quantité constante ; on aura

Soient, en second lieu ,

r = w -4- p-hiv-f- ...etc., w = F(a7), v = F(x), w'=r/(x)...,

iij t', w désignant diverses fonctions de la variable x, on trouvera

Aj = ¥{x -\- h) -+- F{x -h h) -\- f(x -h h) -h ...

— Y{x) — F(x) — f(x) — ...=r A« -f- Ap + AW -4- ...

Enfin si l'on suppose

jr z= au -\- bi> -\- cw ~\- . . . ,

2/, t^, w désignant des fonctions de la variable x^ et a^ bj c des quantités constantes , on trouvera encore de la même manière

Aj =: a^u -\- bàv H- eMv -f- . . . .

Si Tou prend pour y un polynôme entier du degré w, ou si Ton fit

y =z ax"" -h hx''""^ -h . . . . . . -h /-^ H- /,

QIAK.VIVTE-DETTXIÈME LEÇON. 5o ï

on aura

D'ailleurs A.,r", A. a:""*, . . . Ar sont des fonelions rationnelles de x et de A, dont une seulement, savoir, A.jc*, est par rapport à x du degré n — i , les autres étant d'un degré inférieur. La différence finie d'un polynôme en x du degré n est donc un nouveau polynôme en x du degré n — i . Revenons maintenant à l'équation générale

lorsque l'on considère l'accroissement de la variable x comme une quantité constante, la valeur de A^ déterminée par cette équation est une nouvelle fonction de x. La dif-^ férence finie de cette nouvelle fonction, savoir A. A^, est ce qu'on appelle la différence finie du second ordre de la fonction j- •, on la désigne, pour abréger, par A*j^. De même, la différence finie de A^y est ce qu'on appelle la difféi'ence finie du troisième ordre de là fonction j^; on la désigne, pour abréger, par Ay , et ainsi de suite. En général, lorsqu'on a pris II fois de suite la diflérence finie de la fonction r, le résultat est ce qu'on appelle la différence finie du j^ième Qj.(ire (Je J^ fonction j)^, et s'indique par la notation

A'y. On a donc ^y = A.\j, \^/ = A. \V = ^AAj et a"/ = à.^'^^y.

Les différences finies des divers ordres d'une fonction y s'obtiennent avec la même facilité que la différence finie du premier ordre, et peuvent quelquefois s'exprimer d'une manière très simple. Supposons par exemple j^=a'. En prenant plusieurs fois de suite les différences finies des deux membres de l'équation précédente, on trouvera

5o2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, en général,

Cette dernière formule sera souvent employée dans ce qui va ^vre.

Supposons en second lieu y :=:au\ u désignait une fonction de a:, et a une quantité constante, on trouvera successivement

^y = aà'*u.

De même, si Ton avait ^ = m + v» -f- iv, on en conclur rait généralement .

Ay = A"i« H- ^"v 4- Vw,

et Téquation

y 1^ au -\- bf^ -^ cw -i- etc.

entraînerait également la si^ vante,

Il ne sera pas inutile de fixer un moment notre attention sur les différences finies des fonctions rationnelles et entières de la variable x.

Soit n le degré d'une semblable fonction , et

cette fonction elle-même. Sa différence finie du premier ordre, en vertu de ce qui a été dit plus haut, sera un polynôme en X du degré n — i . Par la même raison , sa différence finie du second ordre sera un polynôme en x du degré n — 2 etc. Enfin , la différence finie de Tordre n sera un polynôme du degré zéro, c'est-à-dire une quantité constante.

La différence finie de Tordre n étant constante, toute

QUAHANTE-DEUXlÈMfi LKÇON. 5o3

diirérence (înie d'un ordre supérieur sera évidemment nulle. Ainsi les différences iinies d'un polynôme du degré n s'évanouissent lorsqu'elles sont d'un ordre supérieur à ce degré. Ce résultat subsiste évidemment dans le cas même oii le polynôme se réduirait à un seul terme. On trouvera , par exemple ,

A^+'.ar" = O,. . A"+*.a:" :i= G, etc.

La différence linie de l'ordre n d'un polynôme du degré n étant une quantité constante, on peut ôtre curieux de connaître la valeur de cette même quantité. Soil tlonc

Si l'on prend n fois de suite les diflërences finies des deux membres de l'équation précédente , on aura

Reste maintenant à déterminer la valeur de A".x"^ or on a déjà trouvé

.^.x" = /i^r"~' H--. h^jf'-^ -i-etc.

Si l'on prend n — i fois de suite la différence finie des deux membres de la formule précédente , en ayant égard aux équations

A"-«.^-* =r o, \'*-\jf*-^ = O, . . \" 'a; =z o,

on obtiendra la suivante ou, ce qui revient au même,

5o4 CALCUL DIFFÉREfdTIEL*

On trouvera de la même manière

AX =r \ .h.

En multipliant respectivement ces diverses équations Tune par Fautre , et supprimant dans le résultat les facteurs communs , on trouvera

A".ar» =2 1 .2. 3.*. .(/i — i)/iA'».

Cette valeur de A".x", substituée dans la formule A'y = a A".x" , fera connaître la valeur de A'y dans le cas où l'on suppose j^ = ax"^ + AjC"~'... + etc., et Ton aura pour cette même valeur :

aV = 1.2.3... nah^\ Supposons maintenant généralement

Si Ton prend plusieurs fois de suite les différences finies des deux membres de Téquation précédente . on en conclura successivement,

—f{x -h ih) — if(x -f- h) +/(x), ^^y=l^,f[x-^Q.h)--'?,^.f{x-\'h)-\-^,f(x)

=f[x + Zh) — 3/{x -h zh)-h 3f(x -h h) -/{x),

et ainsi de suite.

Si Ton fait , pour plus de commodité ,

et en général

QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON. 5o5

les équations précédentes deviendront

^y = ji — r»

aV = 73 — 37-, + Stx — 7-

On trouvera de même , en général ,

^y = Xn — -7h-« -+- - • ^7n-a- "^ «7i ± 7'

Pour démontrer rigoureusement cette formule, on commencera par observer que la valeur de A'y , obtenue par des calculs semblables à ceux qui précèdent , est nécessairement une fonction linéaire des quantités /? ^i ? 7'« ?•• •J'n't puis on déterminera cette même fonction à Taide du théorème suivant.

Théorème i*"^. Pour déterminer une fonction linéaire des quantités j^,j^, jJK»' • • • JK»? ^^ suffit de calculer la valeur particulière que reçoit cette fonction dans le cas où Ton suppose y =a'; de remplacer, dans cette valeur particulière, a' par Tunité , a* parj^ ; de développer le résultat obtenu suivant les puissances ascendantes de^, et de substituer dans le développement

7i à jr\

yn à j",

c'est-à-dire de remplacer les exposants par des indices. Démonstration. Soit eu eflbt

5o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la fonction linéaire dont il s'agit, A, B, C, etc., désignant des quantités constantes. Si Ton fait y = a', on trouvera

y-y =. fï*+*\ etc.,

et par suite la fonction u obtiendra la valeur particulière qui suit

«'(A 4- Bfl* -h Cûf»^ -+-...)>

et pour en déduire la fonction proposée elle-même, il suffira évidemment de poser a' = i , a* = j", et de remplacer les exposants de la lettre j par des indices, la variable j^=y*(j:)étant censée correspondre à Tindice o, ou, en d'autres termes, les deux expressions jr^ et y étant considérées comme synonymes.

Au moyen du théorème qu'on vient d'établir , on déterminera facilement la valeur de Ay- en fonction de

Xf y ^9 y^^' • • •> y a'

En efiet, £s!^y devant être une fonction linéaire de ces mêmes quantités, on pourra déduire sa valeur générale de la videur particidière correspondante h. y =z a^ ; or, en supposant j^ = a', on a déjà trouvé

Si dans le second membre de cette équation on remplace a^ par l'unité , et a^ pary , on obtiendra la formule symbolique

Si Ton développe le second membre de cette formule suivant les puissances ascendantes de j", et que Ton remplace dans ce développement les exposants par des indices ely^ par 7, on trouvera, pour la valeur générale de A"/,

^ y — Jn J'n -1 4- ' ^ J«- 2 q= nr^ ± y .

Nous venonsd'exprimer A'y en fonction de y^ ^, , j^,. • • On peut réciproquement exprimer y^ en fonction de y, Ay^ ^"y? etc. On y parvient de la manière suivante : On tire de Téquation

ou, si l'on fait j^ = f{x)^

Cette dernière équation subsiste , queDe que soit la fonction fipc). Si l'on y met successivement à la place def(x)

/(x-hh), /(ar-h2A), /(x-hnh),

on obtiendra les suivantes :

f{x 4- 3/») =/(jc -h 2À) -f- A./ (a: -f- ^A) ,

f{x -f- nh) =if[x'^{n — i) À] -h ^.f[x 4, (« — i) À], ou, ce qui revient au même ,

yn = yn-t 4- A7„

Si dans la première des équations précédentes on remet pour j^i sa valeur y + Ay^ on trouvera

jr^ z=jr^ 4- ATx =r ^ -l- Ajr 4- A/ -f- ^*y = y -+■ ^àx -\- A*^. pemème, si l'on remet cette valeur de j^j dans l'équation

73 = ra 4- AJ»,

on trouvera

y3=y^-i-^y2=y -1- ^aj 4- \^r 4- ^r 4- 2AM^4- A\r

= j H- 3aj^ 4- 3a^j4- aV-

5o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En conlinuant de même on trouvera généralement

Pour démontrer rigoureusement cette formule , on commencera par observer que la valeur deyn obtenue par des calculs semblables à ceux qui précèdent est nécessaire^ ment une fonction linéaire des quanti tésj^, Ay, A*y, Ay-^ puis l'on déterminera cette même fonction à l'aide du théorème suivant :

Théorème 2"*®. Pour déterminer complètement une fonction linéaire des quantités j^, Ay, A'y, etc. , il suffit de calculer la valeur particulière que reçoit cette fonction dans le cas où l'on posej^ = «', de remplacer dans cette valeur particulière a' par y^ a^ par i + A, de développer le résultat obtenu suivant les puissances ascendantes de A, et de substituer dans ce développement, à chaque produit de la forme A" Xj^^ la difierence finie A"j.

Démonstration. Soit

la fonction linéaire dont il s'agit. Sa valeur particulière correspondant au cas où l'on suppose j^ = a^ sera

Si , dans cette valeur particulière , on remplace a^ par ) , «^ par I 4- A, on obtiendra l'expression

(A + Ba H- CA^-f- ...)j = Aj -h BaX /H- Ca* X J..-

et si, dans cette dernière, on considère Ay, ^'T'î <^^^-' comme représentant, non les produits de A, A* par j, mais des diflérences finies du premier, du second ordre, etc., on retrouvera évidemment la fonction linéaire proposée.

Cherchons, à Taidc de ce théorème, la valeur générale de jn en fonction àv y, Ar, A^j . .. On trouvera d'abord,

QUAKANTE-ÙEUXÏÈME LfeÇON. Sop

en faisant j^ = a"^.

Si, dans le second membre de cette équation, on remplace a' parj^, a* par i + A, on obtiendra la formule symbolique

En développant cette dernière et substituant aux produits Aj^, ù?y les différences finies qui s'écrivent de la même manière, on trouvera

ce qu'il s'agissait de démontrer.

Dans la dernière leçon , nous avons démontré les deux . équations

y^ =f{x 4- «A) = r 4- - AT + ... -h - A»-*7 4- A" j ,

et nous avons remarqué que l'on pouvait présenter ces deux équations sous une forme symbolique en écrivant

A«^ = (r — l)% yn = (l -h a)V.

Nbus allons maintenant donner quelques applications de ces mêmes formules.

Si l'on suppose dans la première/ =: x", m étant un nombre entier inférieur àw, A'*.^:^ étant alors égal à zéro, on trouvera

(:p-f-«A)" — -[^-|-(«— i)A}".. zp -(x +A)'"±:j;'»=:o. Si Ton suppose au contraire j^ = jr", on aura, comme ou

5lO CALCUL DIFFÉRBKTIELV

Ta fait voir dans la dernière leçon ,

A^.ar" =r 1.2.3... /lA",

el par suite

[x 4- «A)" [.r-f-(/î — \)K^ ...±a:* = i .2.3. ..iiÀV

Si dans les formules précédentes on fait jt: = o , les deiix membres de chacune d^elles deviennent divisibles par A*" ou /i", et Ton en tirera

n^ (,!- i)--f--^ ^(« — aV" — etc. =o,

/î" (/i— i)»-!-- ^(/î— 2)« — etc. = I.2.3.../I.

I^a dernière de celles-ci sert à démontrer le théorème de Wilson , savoir, que le produit i .2.3 . . . tï , augmenté de l'unité 5 devient divisible par /î + i ? toutes les fois que w + I est un nombre premier. Ainsi , par exemple , le produit 1 .2.3.4 = 24, augmenté de Tunité, devient divisible par 5 . Le produit i.2.3.4'5.6 = 720 , augmenté de l'unité, devient divisible par 7.

La démonstration de ce théorème, fondée sur la série que je viens de rapporter, a été donnée par Lagrange dans les Mémoires de Berlin, et par Euler dans ses Opuscules analytiques. Ceux qui désireront en connaître les détails les trouveront dans la Théone des nombres de Legendre, à la tête de la seconde partie.

Je passe maintenant aux applications que Ton peut faire de la formule

f[x -h nh) —y-\ — ^y -h - ^ aV -}-

etc.

Si Ton suppose dans cette formule nh =/r, x = a:o et que l'on désigne respectivement par y^, , ZVy^o, A'j^, etc. , ce que deviennent/, Aj^, ^j^ etc. , en vertu de l'hypothèse

:t = Xy , Oïl aura

Si Ton fait dans cette dernière x^ + ^ = X , on trouvera

/(X)= ^„ + îlp ^» + (^ZlfîK^piZ:^ ^o + etc.

Toutefois, cette dernière équation suppose queX — Xo=k est un multiple de h.

En recourant à des équations du genre de celles que nous avons déjà nommées équations symboliques, on peut retrouver d'une manière très élégante et trè* simple les deux formules fondamentales du calcul aux différences finies. La notation D^, indiquera, comme nous l'avons déjà admis , que Ton prend la dérivée par rapport à a: , et les dérivées successives d'une fonction quelconque j^. de x seront représentées par les notations D^-j^, D^j-, . , , D^y. On aura dès-lors , en vertu de la formule de Taylor, •

r -{^ ^y = y^ - D,J H Di J H- . . . ,

ou , ce qui revient au même ,

(i 4- a)j =M -f--j-D,-4--j-^DÎ...V.

Cette équation symbolique subsiste quel que soit^, ce que l'on exprime en écrivant