I -f- jk = f -f- - D, H D; -f- etc

ou plus simplement

De cette dernière équation symbolique on tire

5l2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et par conséquent

OU , ce qui revient au même , à cause des équations

x+\x =/ix+k)=e^^y, f{x+nh) = r. = ^^'y,

c'est-à-dîre

^n*U.^ = j -f. «AT + -^^ ^ A*J -h. . ,

OU, ce qui revient au même,

nin — I )

r« = j -f- «Aj H- -^ A»jr...4-A"7.

Nota, En indiquant par D^-w, D^m, D^tt les dérivées d'une fonction m = F (j:,y, z), prises par rapport à x , j", ^ . . . , la formule de Taylor , étendue au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes , pourra se mettre sous la forme

Nous verrons plus tard à combien d'heureuses transformations cette formule peut conduire, et quels immenses avantages on pourrait retirer de l'emploi habituel des notations D^, D^, D, ....

IfREMïÈRE NOTÉ. 5l3

•rf* ' I-

PREMIERE NOTE

«UR UNE MÉTHODE NOUVELLE DlNTERPOLATION ;

Par m. Cauchy.

Dans les applications de l'analyse à la Géométrie , à la Physique , à l'Astronomie , . . . deux sortes de questions se présentent à résoudre : il s'agit, i^ de trouver les lois générales des figures et des phénomènes , c'est-à-dire la forme générale des équations qui existent entre les diverses variables ; par exemple , entre les coordonnées des courbes et des surfaces, entre les vitesses, le temps, les espaces parcourus par les mobiles, etc.. ; 2° de fixer en nombres les valeurs des paramètres ou constantes arbitraires qui entrent dans l'expression de ces mêmes lois , c'est-à-dire les valeurs des coefficients inconnus que renferment les équations trouvées. Parmi les variables on distingue ordinairement, comme l'on sait , celles qui peuvent varier indépendamment les unes des autres , et que Ton nomme pour cette raison variables indépendantes, d'avec celles qui s'en déduisent par la résolution des diverses équations , et qui se nomment fonctions des variables indépendantes. Considérons en particulier une de T. I. ^33

3l4 CALCUL DIFFÉREUiXiEL.

ces fonctions , et supposons qu^elle se déduise des variables indépendantes par une équation ou formule qui renferme un certain nombre de coefficients. Un pareil nombre d'observations ou d'expériences , dont chacune fournira une valeur particulière de la fonction correspondante à un système particulier de valeurs des variables indépendantes , suffira pour la détermination numérique de tous ces coefficients •, et, cette détermination faite, on pourra obtenir sans difficulté de nouvelles valeurs de la fonction correspondantes à de nouveaux systèmes de valeurs des variables indépendantes , et résoudre ainsi ce qu'on appelle le problème de l'interpolation. Par exemple , si l'ordonnée d'une courbe se trouve exprimée en fonction de l'abscisse par une équation qui renferme trois paramètres , il suffira de connaître trois points de la courbe, c'est-à-dire trois valeurs particulières de l'ordonnée correspondantes à trois valeurs particulières de l'abscisse, pour déterminer les trois paramètres-, et, cette détermination effectuée, on pourra sans peine tracer la courbe par points en calculant les coordonnées d'un nonJ)re aussi grand que l'on voudra de nouveaux points situés sur les arcs de cette courbe compris entre les points donnés. Ainsi , envisagé dans toute son étendue, le problème de l'interpolation consiste à déterminer les coefficients ou constantes arbitraires que renferme l'expression des lois générales des figures ou des phénomènes , d'après un nombre au moins égal de points donnés, ou d'observations, ou d'expériences. Dans ime foule de questions les constantes arbitraires entrent au premier degré seulement dans les équations qui les renferment. C'est précisément ce qui arrive lorsqu'une fonction est développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes ou descendantes d'une variable indépendante, ou bien encore suivant les sinus ou cosinus des multiples d'un même arc. Alors il s'agit de

PREMIÈRE NOTE* 5l5

déterminer les coefficients de ceux des termes de la série que l'on ne peut négliger sans avoir à craindre qu'il en résulte une erreur sensible dans les valeurs de la fonction. Dans le petit nombre de formules qui ont été proposées pour cet objet , on doit distinguer une formule tirée du calcul des différences finies , mais applicable seulement au cas où les diverses valeurs de la variable indépendante sont équidifférentes entre elles, et la formule de Lagrange applicable, quelles que soient ces valeurs, à des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable indépendante. Toutefois cette dernière formule elle-même se complique de plus en plus à mesure que l'on veut conserver dans le développement de la fonction eii série un plus grand nombre de termes ^ et ce qu'il y a de plus fâcheux , c'est que les valeurs approchées des divers ordres correspondantes aux divers cas où l'on conserverait dans la série un seul terme, puis deux termes, puis trois termes, . . . s'obtiennent par des calculs à peu près indépendants les uns des autres , en sorte que chaque nouvelle approximation, loin d'être rendue facile par celles qui la précèdent, demande au contraire plus de temps et de travail. Frappé de ces inconvénients, et conduit par mes recherches sur la dispersion de la lumière à m'occuper de nouveau du problème de l'interpolation, j'ai eu le bonheur de rencontrer pour la solution de ce problème une nouvelle méthode qui , sous le double rapport de la certitude des résultats et de la facilité avec laquelle on les obtient, me parait avoir sur les autres formules des avantages tellement incontestables, que je ne doute guère qu'elle ne soit bientôt d'un usage général parmi les personnes adonnées à la culture des sciences physiques et mathématiques.

Pour donner une idée de cette formule, je suppose qu'une fonction de x, représentée parj^, soit développa-

5l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ble en une série convergente ordonnée suivant les puis-^ sances ascendantes ou descendantes de x , ou bien encore suivant les sinus ou cosinus des arcs multiples de x, on même , pltts généralement ^ suivant d'autres fonctions de X que je représenterai par

en sorte qu^on ait

(l) ' y = au -h bv -h cw -h , . . y

a, 6, c,... désignant des coefficients constants. Qs^agit de savoir, i^ combien de termes on doit conserver dans le second membre de Técpiation (i) pour obtenir une valeur dey suffisamment approchée, dont la différence avec la valeur exacte soit insensible et comparable aux erreurs que comportent les observations ; 2^ de fixer en nombres les coefficients des termes conservés, ou, ce qui revient au même , de trouver la valeur approchée dont nous venons de parler. Les données du problème sont un nombre suffisamment grand de valeurs dey représentées par

et correspondantes à un pareil nombre n de valeurs de x représentées par ^, , Xf^.^.x^^ par conséquent aussi à un pareil nombre de valeurs de chacune des fonctions M, i', IV, . . . valeurs que je représenterai de même par

pour la fonction w, par

pour la fonction p», etc. Ainsi, pour résoudre le problème , on aura entre les coefficients inconnus a, i, c,...

{^HÊMIÈRE NOTE, Sl^

les n éq[uations du premier degré

ji = aui -+- ^Ci 4- cw'i -f-. . ,, j, = fltt, H- 6p, 4- ctv. H- . . . ,

Xn = «"n 4- ^«'n 4" C^n 4" . - ,

qui , si Ton désigne par i l'un quelconque des nombres entiers

se trouveront toutes comprises dans la formule générale

yi = aui 4- bvi 4- cwi 4t...

On effectuera la première approximation en négligeant les coefficients J, c, . . . , ou, ce qui revient au même, en réduisant la série à son premier terme. Alors la valeur générale approchée de y sera

et, pour déterminer le coefficients, on aura le système des équations

Les diverses valeurs de a , que l'on peut déduire de ces équations considérées chacune à part , ou combinées entre elles, seraient toutes précisément égales si les valeurs particulières de y, que nous supposons données par l'observation, étaient rigoureusement exactes. Mais il n'en est pas ainsi dans la pratique, où les observations comportent des erreurs renfermées entre certaines limites ; et alors il importe de combiner entre elles ces équations de manière que 5 dans les cas les plus défavorables, l'influence exercée sur la valeur du coefficient a par les erreurs commises sur les valeurs de j^,, y,, . . . , j^„, soit la moindre possible. Or, les diverses combinaisons que Ton

5l8 CALCUL mFFÉKENTIEL.

peut faire des équations (a) pour en tirer une nouvelle équation du premier degi*é , par rapport à a , fournissent toutes des valeurs de a comprises dan§ la formule général^

que Fou obtient en ajoutant membre à membre les équa-. tions (2) après les avoir respectivement multipliées par des facteurs constants Xr, , /c, . . . . /r„. Il y a plus ; conmie la valeur de a déterminée par cette équation ne varie pas. quand on fait varier simultanément les facteurs ft , , ft,, . . . , ivi dans le même rapport, il est clair que parmi ces facteurs, le plus grand (abstraction faite du signe) peut toujours être censé réduit à Tunité. Remarquons enfin que , si l'on nomme

les erreurs respectivement commises dans les observations sur les valeurs de

X ï ^ X 2 > • • • j Xn >

la formule précédente fournira pour a une valeur approchée , dont la différence avec la véritable sera

^i gi 4- ^ata -h . . . -f- kntji

k,u^ -h A'^Uj -h. . . -hKu„'

U faut maintenant choisir h^^ k^^ . . ., A„ de telle sorte que , dans les cas les plus défavorables , la valeur numérique de cette différence soit la moindre possible. Représentons par

la somme des diverses valeurs numériques de m, , c'est-àdire ce que devient le polynôme

UtZszu^nz . . . ZlZ Un

PREMIÈRE NOTE. 5 II

quand on y dispose de chaque signe dé itianièi^e à rendre chaque terme positif. Représentons par Se^ non la somme des valeurs numériques e, , Cg, . . . , e„ , mais ce que devient la somme Sm, quand oh y remplace chaque valeùh de i/, parla valeur correspondante de e,-. Si l'on réduit à + i ou à — I chacun des coefficients fei, ^2 ? . . . , fc„, en choisissant les signes de nianière que , dans le dénominateur de la fraction

kjU^ -h k^u^ 4- ... -H knU„

tous les termes soient positifs, cette fraction sei-a réduite à

Sa,

et elle offrira une valeur numérique tout au plus égale

au rapport

Sa,'

si Ton désigne par E la somme des valeurs numériques de g,, ou, ce qui revient au même, la valeur numérique de Se,- dans le cas le plus défavorable. D'autre part, en attribuant à /C|, Aj . . . , A„ des valeurs inhales dont la plus grande f abstraction faite des signes) soit Funité, on obtiendra pour dénominateur de la fraction une quantité dont la valeur numérique sera évidemment inférieure à Sm, , tandis que la valeur numérique du numérateur pourra s'élever jusqu'à la limite E; ce qui arrivera effectivement si les erreurs s,, 63,..., e„, sont toutes nulles, à l'exception de celle qui sera multipliée par un facteur égal , au signe près, à l'unité. Il en résulte que la phiîs grande erreur à craindsc sur la valeur de a déterminée par la formule

a zzr ■ r

sera la moindre possible si Ton pose généralement

^. = ±1, en choisissant les signes de manière que dans le polynomç

tous les termes soient positifs. .Alors cette formula dpn-? nera

Syi étant ce que devient la scmune Sui quand on y rem* place chaque valeur de ix, par la valeur correspondante de ji^ et l'équation^ = au deviendra

Si l'on fait pour abréger

on aura simplement

Si l'on supposait généralement m = i , réquationj^= aa, réduite à

exprimerait que la valeur de y est constante ] et comme on aurait alors

* ~ SOI ~ « ' la formule y = ocSyi donnerait

n Donc alors on devrait prendre pour valeur approchée de

PREMIERE NOTE

y la moyenne arithmétique entre les valeurs observées \ et la plus grande erreur à craindre serait plus petite pour cette valeur approchée que pour toute autre. Cette pro-i priété des moyennes arithmétiques, jointe à la facilité avec laquelle on les calcule, justifie complètement Tusage où Ton est de leur accorder la préférence dans l'évaluation des constantes arbitraires qui peuvent être déterminées directement par l'observation.

Soit maintenant ùky le reste qui doit compléter la va-*

leur approchée de y fournie par Téquation

en sorte qu'on ait

X = »Sxi -+- A^.

Posons de même

ç — »Svi -f- ap, w z= «S«v,- 4- àiVy etc.

On tirera de Iji formule yi = au^ + ôm, + cw, + etc. , ^

SjTi = aSui -+- bSvi -h cSwi -f- etc.;

puis de cette dernière , multipliée par a , et soustraite de l'équation y = «u + bu+ bw + etc. ,

(3) Ay := 6ap 4- càfv -+- etc.

Soient d'ailleurs a, , Ay, , A^^, , Aw, , . . . ce que deviennent les valeurs de a , Ay , Ai^ , Aw, . . . tirées des équations qui précèdent, quand on y remplace x par Xi , { étantl'undes nombres entiers i, 2,...7ï. Si les valeurs de

AJ,, AJ,,..., A^n

sont très petites, et comparables aux erreurs que comportent les observations, il sera inutile de procéder à une seconde approximation , et Ton pourra s'en tenir à la valeur approchée de y fournie par l'équation / = ocSyi. Si

522 CALCUL DIFFÉREJUTIEL.

le contrafire a lieu, il suffira, pour obtenir une approximation nouvelle , d'opérer sur la formule (3) , comme dans la première approximation Ton a opéré sur la for-, mule j^ ::sz au + bv^ ^ cw -{■' etc.

Cela posé, désignons par

la somme des valeurs numériques de A^, \ et par

S'aj,, S'A«'i,etc.,

les polynômes dans lesquels se change la somme Sùku^ quand on y remplace chaque valeur de A^^ par la valeur correspondante de ùkji ou de Aw,,. . .; soit enfin

S'ap, *

si Ton peut, sans erreur sensible, négliger dans la série (i) le coefficient c du troisième terme et ceux des tenh^ suivants , on devra prendre pour valeur approchée de ù^y

Soit A'j^ le reste du second ordre qui doit compléter cette valeur approchée , et faisons en conséquence

Posons de même

Ajv z= CS'^Wi -f- A*w, etc. :

on tirera successivement de la formule (3)

^Jri =z bM^i -h c^Wi -h etc., S'aj, = bS'M^i -h cS^^Wi -f- etc. ;

puis cette dernière , multipliée par S et retranchée de l'équation Ajr = bAi^ + cAw + etc.,

à^jr =: cA*(V -f- etc.

PREMIERE NOTE. 5 23

Soient d'ailleurs 6,, A*j^,, A'w,, . . ., ce que déviennent les valeurs de 6 , A*y, A'iv, . . . , tirées des équations qui précèdent, quand on y remplace xpar a:,, z étant l'un des nombres entiers i, 2, . . .?z. Si les valeurs de

sont très petites et comparables aux erreurs que comportent les observations, il sera inutile de procéder aune nouvelle approximation , et l'on pourra s'en tenir à la valeur approchée de, Aj^ fournie par l'équation Aj'=6S'Ay',-. Si le contraire a lieu, il suiBra, pour obtenir une troisième approximation , d'opérer sur la formule qui donné A'j^, comme on a opéré dans la première approximation sur la formule (i). En continuant de la sorte , on obtiendra la règle suivante :

L'inconnue jy, fonction de la variable x, étant supposée développable en une série convergente

(I) . au -h ^f -h cw -j-...,

où M , V, IV, . . . , représentent des fonctions données de la piême variable , si l'on connaît n valeurs particulières de y correspondantes à n valeurs particulières

Xi J y X 2 , • • • J X

de X, si d'ailleurs on nomme /l'un quelconque des nombres entiers 1,2,....,/}, et j^,- , m,- , p»,- , . . . . , ce que deviennent j^, II, V, . .'. , quand on y remplaèe x par Xiy al^d', pour obtenir la valeur générale de y avec u!&e àp-^. proximation suffisante, on déterminera d'abord le coefficient a à l'aide de la formule

(II) u = etSui,

dans laquelle Sui désigne la somme des valeurs numé-, riques de 1/, , et la différence du premier ordre A^ a l'aide

de la formule

(in) y = -S/,- -h A/.

Si les valeurs particulières de Ay, représentées par Aj^, , Ay 1 , . . . , Ay„ , sont comparables aux erreurs d*observation , on pourra négliger ùky et réduire la valeur approchée dey à

Dans le cas contraire, on déterminera G à Taide des formules

(IV) P = «Sp,- 4- AP, ap = CS'ap,-,

S' Ai', étant la somme des valeurs numériques de Ap', , et la différence du second ordre ^y à Taide de la formule

(V) AJ = CS'A^ -+- A*J.

Si les valeurs particulières de A*y, représentées par A'y,, A'yi , . . . , A*j^„ , sont comparables aux erreurs d'observation , on pourra négliger b?y et réduire en conséquence la valeur approchée dey à aSy,- + êS'Ay,.

Dans le cas contraire, on déterminera y par Içs formules

S"A*w, étant la somme des valeurs numériques de A'iv, , et la différence du troisième ordre ù^y par la formule

(VII) A»j = yS'V/f -f- A^etc.

Ainsi, en définitive, en supposantes coefficients a,6,y,^., déterminés par le système de ces équations, etc.^ onde-vra calculer les différences des divers ordres représentées par

ou plutôt leurs valeurs particulières correspondantes aux valeiH*s X, , 0:29 • • • ? «s^^ de Ja variable x^ jusqu'à ce que l'on parvienne à une différence dont les valeurs particu-

PREMIÈRE NOTE. SaS

libres soient comparables aux erreurs (inobservation. Alors il suffira d'égaler à zéro la valeur de cette différence tirée du système des équations (III) , (V), (Vil), . . . pour obtenir avec une approximation suffisante la valeur de y. Cette valeur générale sera donc

y = «Sj,, ou y = ctSxi-hQS'àfi, ou etc.,

suivant que l'on pourra, sans erreur sensible, réduire la série à son premier terme , ou à ses deux premiers termes. . . Donc , si Ton nomme m le nombre des termes conservés , le problème de Finterpolation sera résolu par la formule

X = «S/i -+- ^S'àj,- -h yS"A»7,- -+- etc.,

le second membre étant prolongé jusqu'au terme qui renferme A"*""'j^,.

n est bon d'observer que des formules précédentes on tire non-seulement

S»,= i ; SCi=o, S' ,=i; Sy, = o, S'y«==o, S'Vi= '^etc-j

mais encore

S^Pi =. b; SArtP>/ rrr o, SA'w', = O, S'A'cv, = O, etc. . . ,

et

S^Xi=o ; Sa»7,=o, S' a»/,=o, SaV«=o, S'aVi=^o, S*aV,==o,...

Ces dernières formules sont autant d'équations de condition auxquelles doivent satisfaire les valeurs particulières de a , ê^y^. . »j ainsi que celles des différences des divers ordres de m, *^, w, . . . , j^ ^ et il en résulte qu'on ne peut commettre dans le calcul de ces valeurs particulières aucune erreur de chiffres sans en être averti par Je seul fait que les équations de condition cessent d'être vérifiées.

En résumé, les avantages des nouvelles formules d'interpolation sont les suivants :

I®. Elles s'appliquent aux développements en séries, quelle que soit la loi suivant laquelle les différents termes

se déduisent les uns des autres , et quelles que soient les valeurs équidifférentes ou non de la variable indépendante^

2^. Les nouvelles formules sont d'une application très facile , surtout quand on emploie les logarithmes pour le calcul des rapports a , 6 , y , . • • ? et des produits de ces rapports par les sommes des diverses valeurs des fonctions ou de leurs différences. Alors, en effet, toutes les opérations se réduisent à des additions ou à des soustractions.

3^. A l'aide de ces formules les approximations successives s'exécutent avec une facilité de plus en plus grande, attendu que les différences des divers ordres vont gêné* ralement en diminuant ;

4°. Ces formules permettent d'introduire à la fois dans le calcul les nombres fournis par toutes le^ observations données , et d'augmenter ainsi l'exactitude des résultats en faisant concourir à ce but un très grand nombre d'expériences ^

5°. Elles offrent encore cet avantage, qu'à chaque approximation nouvelle, les valeurs qu'elles fournissent pour les coeflScients a , è , <?,... sont précisément celles pour lesquelles la plus grande erreur à craindre est la moindre possible ;

6°. Ces formules indiquent d'elles-mêmes le moment où le calcul doit s'arrêter, en fournissant alors des différences comparables aux erreurs d'obsçrvalion ;

7°. Enfin les quantités qu'elles déterminent satisfont à des équations de condition qui ne permettent pas de com* mettre la plus légère faute de calcul , sans que l'on s'en aperçoive presque immédiatement.

On trouvera dans les nouveaux Exercices de Mathématiques de nombreuses applications de ces formules d'interpolation.

DEUXIÈME NOTE. ^Zj