CONDITION DE CONVERGENCE

DE LA SÉRIE QUI DOKKERAlT LE DÉVELOPPEMENT DE LÀ PLUS PETITE RACINE DE l'ÉQUATION^ = OrCOSJ^.

Si ce volume , dont j'aurais voulu faire l'expression complète de la science actuelle , n'avait pas crû au-delà de toutes mes prévisions , j'aurais placé ici une exposition simple et facile de deux des plus importants travaux de M. Cauchy , ayant pour objet la résolution des équations littérales ou numériques de tous les degrés , et des équations transcendantes. Forcé de m'arrêter, je donnerai seulement un exemple de la résolution des équations transcendantes ^ cette application est d'autant plus nécessaire, qu'elle complétera une des plus belles théories exposées dans ces leçons.

Nous avons dit que la plus petite racine j-^ de l'équation j^ = X cos y sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x pour tout module inférieur au plus petit de ceux qui répondent aux équations simultanées:

/ ces/ •" , — ^= — sin^,

ces/ X

SaS CALCUL DIÏ-FÉRteNTtEL.

dont la seconde peut être réduite à cot j^ = — J^? ou petit être remplacée par la formule

cosj -h ^^^ sin / := Oé

Quand on développe sin y et cosy, cette dernière formule devient

Or si Ton nomine Y le module de la variable réelle ou imaginaire y^ le module du polynôme qui précède ne pourra pas surpasser la somme des modules de ses divers termes, savoir

D'où il résulte que l'équation cotj^ = — y n'admettra point de racines réelles ou imaginaires dont les modules soient inférieurs à la racine positive unique de l'équation

ou , ce qui revient au même , de l'équation

qu'on peut encore présenter sous l'une ou l'autre des deux formes

D'ailleurs cette racine, supérieure à l'unité, en vertu de

la formule

DEUXIÈME WOTE. t)29

sera , en vertu de la formule

inférieure à la racine positive de l'équation

c''est-à-dire au nombre V — +2k i.a = 1,2100. . . ^ et si Ton pose dans l'équation 2Y— 1( Y+i)+l(Y — 1)= o, Y = 1,2 + i, i sera renfermé entre les limites — 0,2 et 0,1. Gela posé, en considérant 1,2 comme une première valeur approchée de la racine positive Y de cette dernière équation , on obtiendra facilement , par l'emploi de la formule de Taylor, de nouvelles valeurs de plus en plus approchées. En effet, désignons par F (Y) le premier membre de cette équation , par a la valeur approchée de la racine Y , et par a + 1 sa valeur exacte , on aura

F(Y) =r ¥(a -+- 0 = F («)-h iF'(fl -+- Oi);

6 indiquant un nombre inférieur à l'unité , et les valeurs

deF'(Y), FXa + 61) estant

Dès-lors l'équation F (Y) = o donnera

/ = -il=i^-Ml!F(«),

et comme on aura encore

/i = i,2, ¥(a)=z2a — \( j^ 2^4 — l(ii) = 0,002 io5,

Kii vertu de cette dernière équation , noii-seulemenl i négatif, mais de pin» sa valeur numérique sera inférii au produit