Lorsque pour convertir le premier membre 4e l'équation
Mdx 4- R<fy 4- Vdz = o
en une différentielle exacte, il suffit de la multiplier par un facteur connu e, ou, en d'autres termes, lorsqu'on ^ identiquement
v (Mdx 4- Xdy 4- Pflfe) = rf«, l'équation proposée peut se mettre sous la forme- du = oK
4<)2 CALCUL 1NTÉGEAL.
et Ton y satisfait soit en prenant du = o, u = C, toit en prenant - = o. L'équation u = C est l'intégrale générale, et les valeurs de z en x, jr, tirées de l'équation I = o, seront des intégrales particulières ou singulières
Mais v ÇMdx +Nrfp -+- Vdz) ne peut pas être une différentielle exacte sans que Ton ait
D7.pM = DX.»>N, D,.pN = D7.«>P Dx.pP = D,.*M,
ou , en développant 9
•>(D7M — D,N) = ND.p — MD7c, p(DaN — D7P) = PD7f — ND.p, p(DxP — D,M) = MD,p — PD,*.
Si Ton multiplie la première de ces équations par P, la seconde par M , la troisième par N , et qu'on les ajoute , f disparaîtra et l'on arrivera à l'équation de condition
(a) P( DXN — D7M) H- N(D,M — DXP) -h M(D,P — DJ0=o,
qui devra nécessairement être vérifiée pour que le facteur qui rend le premier membre intégrable existe réellement.
195. Réciproquement, si cette condition est vérifiée, l'équation proposée sera réellement intégrable , en ce sens que son intégration sera ramenée à l'intégration d'une équation à deux variables. En eflet, mettons l'équation Mdx + Ndy + Vdz = o sous la forme
dz = — -dy — -dx,
et remarquons que si l'on connaissait la valeur de z en Xj y et qu'on la substituât dans les fonctions M, N, P ,
IVf N
— ~<7x, — •■p^K? seraient identiquement les dérivées
partielles de z , par rapport à x et à y. Donc , si l'on cherche d'abord la fonction la plus générale de z, qui satisfasse i la condition que sa dérivée par rapport à y
soit — -rf^, or étant considérée comme une constante,
la valeur cherchée de z sera renfermée dans celle que Ton aura ainsi déterminée , et il ne restera plus qu'à assu-
jettir cette dernière à l'autre condition d'avoir — —
pour dérivée partielle , par rapport à x, ou de vérifier l'équation proposée. Il faut donc chercher d'abord l'intégrale de l'équation
dz = — - djr, ou dz -+■ -dy = o.
Cette intégrale existe dans le cas où , comme nous le supposons, les fonctions M, N, P sont continues. Cela posé,
appelons y le facteur qui rendrait dz -+- - dy une différentielle exacte, iv la fonction qui a pour différentielle l dz -+- - dy)y> et JC une fonction de x. L'intégrale cher-
N chée de l'équation dz -f- - dy = o, sera w = %; et il
faudra déterminer ^ de telle sorte , que l'équation
dw dw dw d%
— dx+—djr+ — dz — -f^dx = o,
dx dy * dz dx
ou , ce qui revient au même ,
/, N , \ dw dz ,
soit identique avec l'équation proposée, multipliée, si Ton veut, par un certain facteur, par exemple, par 5.
4p4 CALCUL HtafcCfeàL.
Or, la comparaison des deux équations
(dz + -dy+-dxjt = o,
donne
dz dw M
Cette dernière équation sera évidemment intégrable, et il en sera par conséquent de même de la proposée si, en y substituant pour z sa valeur tirée de l'équation w = £, y disparaît; alors, en effet, cette équation ne renfermera plus que deux variables x et x« Donc la condition d'intégrabilité de la proposée se réduit à ce que la différentielle , par rapport àj, de l'expression -j- — ç— -, dans
laquelle on considère y comme une fonction de z , déterminée par l'équation if = j£, soit identiquement nulle,
de sorte que Ton ait D^f — — y— } = o. Or, en développant cette équation de condition , on trouve
dxdy ' dxdzdy ^V'P"1" 'P'<(r/
p W + a 5rJ""o;
mais en vertu des équations
( dz + p4rjf = o, «» = *,
dont la première est une différentielle exacte, et la seconde l'intégrale de la première , on a
dw N
dw
rfs __ N
dy P
ifr — ""P"
ffy" '/*
TREHTE-DBUTIEMB LEÇON. 49$
, d*w ^ N N dp N
d0UC ^=D«P=p%+'D*P>
d*w ffc____N dp dç^Ttdp N
dxdz'dy" Pdx' dy — pdï+(f>'pm
En substituant ces valeurs, l'équation de condition deviendra
^ N ^ M N M M- N D*P"~D'P+PDfP~PD'P = °' ou P(DJS — D7M) -4- N(D,M — D,P) +M(D;P — DJV).
Or, c'est l'équation de condition déjà trouvée (a). Donc, en effet, lorsqu'elle est satisfaite, l'équation
VLdx -h TUdjr -+- Pcfc = o
est intégrable. Son intégration se ramène à l'intégration successive de deux équations à deux variables.
196. En remarquant que les trois variables x,jr, z, étant liées entre elles par une équation unique , deux seulement, x%jr, doivent être considérées comme indépendantes, l'équation de condition (a) pourra prendre tour à tour les formes suivantes :
dT M dt N
dy P dxP*
MrfN
MrfP — PdhL P<*N — MP
dz
dy dx
Pdz
1 Kdy ' Mrfr ~0'
dM
rfN
dP dU dH dP
Pdz Kdy Mdx
496 calcul nrafemAL.
et en posant
ï 4j> k dp m di d* dâ d*
l /y dy d* dx dz dx dy
AM -h BN + CP = o.
Appliquons cette méthode à quelques exemples. Exemples. i°. jrfr — xdy — — é& = o, M= 7, N = -*, P = - £;
la condition (a) est satisfaite. Supposant x constant , dx = o, on aura
*•' </y dz x — xdy — — dz=z o, — .r — =0, U = v:
différentiant et comparant à la proposée divisée par j, on trouvera
y*dx = 0, x = C-f
l'intégrale de la proposée est donc
2°. (y*-+-yz)dx+(xz-+-z*)dy-{-(y* — xy)dz=zo, M=y* -Hjz, N = »4-*% P = ra — *T>
l'équation de condition est satisfaite. Regardant z comme constant, on a à intégrer
(y* -h yi)d* ■+■ (*» 4- **)<*> = °>
ou
ou
dx
dy
dx
<iy
dy
z(x + z) zy z{y ■+■ z)
TRENTE-DEUXIEME LEÇON. 5o5
quation proposée exprime alors une propriété commune à une infinité de courbes à double courbure représentées par ces deux équations.
Exemples :
i ". [z(z — a) 4- y [jr — b))dx — (x -- c){ytfy -h «/») = o; M =•(*.— a)+ 7(7— *), x\= — 7(«— c),
L'équation de condition (a) n'est pas satisfaite ; en faisant y = z y on trouvera
r équation proposée sera donc vérifiée par l'ensemble des deux équations
2°. 7«te -4- (z — x)djr H- (a: — z)dz = o ;
la condition (a) n'est pas satisfaite, on a <p = i, w = s — v; la proposée sera vérifiée par le système
3°. 1/équation
zdx -h jc^7 -+- 7*& = o
est vérifiée par les deux équations réunies
3°. dx(ay — bz) -4- dy (cz — ax) -\-dz(bx — cy) = o ;
M = ay — bzy N = cz — ax% P = bx — cy% A = 2c, B = 2&, C=2*r, AM-f-BNH-CP = o;
regardant z comme constante , il viendra dx
cz — ax ay — bz en différentiant
dy 1 ay — bz
a cz — ax
dx(ay — bz) -\-dy(cz — ax) -+- dz (bx — cy)
\cz-è*Y "" **'
et comparant avec la proposée
dx = o, x, = C,
l'intégrale cherchée est donc
ajr~~ = Cy ou ay -h Cax — (b -H Ce) z = o; cz — ax v '
si on la mettait sous la forme mx + ny + pz = o , on
devrait avoir me + nb + P& = o. Le facteur 7 r-
rend le premier membre une différentielle exacte d% -,il
en serait de même des facteurs 7 f— r-, 7; r, etc.
(ay — bxf (bx — cy)*
4°. dx(y*+yz+z*) -t-dy(z*-hzx+x*)+dz(x*+xy+y*)z=o; M=yi-hyz-hz19 N = z' +-zx-hx>, P = xa -hxv-4-/1, A =2*-|-;r — .r — 27=2(3 — y), B= (2x4-/ — y — 2z)=2(x — s),
AM-f-BN4-CP=2(z5— ^J + af*3 — «'j+af^- x3) = o.
Regardant z comme constant, il viendra
dx dy
r' -h zx -h *' r* 4- *>" + «'
TRENTE-DEUXIÈME LEÇON. 5oj
tandis que le côté opposé à l'angle M est précisément l'accroissement Ar de la longueur r, et Ton aura évidemment
'' Ar , X Ax , Y Ar , Z te cosM = — = ±ît — ±=-— ±« -, as R A.f R is R aj
et en passant à la limite ,
Xdx -f- Xdy 4- Z<fe = ± Rrfr.
Telle est la forme très-simple qu'on peut donner au trinôme du premier membre ; on en conclura immédiatement que ce trinôme sera une différentielle exacte s'il existe un système de surfaces qui coupent à angles droits les directions déterminées par l'équation
cos« cosC cosy
et si en chaque point la quantité
est une fonction de la distance r.
M. J. Bertrand, qui ignorait sans doute ce que M. Cauchy avait écrit à ce sujet et ce qu'il avait enseigné dans ses Leçons, a repris cette transformation dans le Journal de T École Polytechnique : il démontre que le trinôme Xdx + Ydy + ZdLz ne sera une différentielle exacte qu'autant que la quantité V^X* + Y* -f- Zf sera en raison inverse de la distance de deux surfaces orthogonales consécutives. Dans quelques circonstances particulières, cet énoncé sera peut-être d'un emploi plus facile.
498. Lorsque dans l'équation différentielle à trois variables, les différentielles rfr, dy, dz seront élevées à des puissances supérieures , on devra la regarder comme impossible toutes les fois qu'elle ne sera pas décomposahlc
L'intégrale cherchée sera donc
xy-hzx-hyz C
mi
*/ + «+/«= C(JT -+-/-+-«).
On voit immédiatement qu'en di flférenti an t l'équation
jy + « + ^ = f
on retrouve la proposée, dont le premier membre devient, par conséquent, une différentielle exacte quand on le multiplie par un des deux facteurs
(x -h y -\- «)•' (xy -f- zx -h yz)*
Cet exemple montre qu'il est quelquefois assez difficile de calculer la fonction ](;on y serait arrivé plus tôt en procédant comme il suit: de l'équation
xy -f- zx -f- yz izx -+- zx -\-yz — xy on tire
i 2za -f- zx -hyz — xy
xy -f- zx -f- yz
xy -{-zx -\- yz
*"""•<?' -+■ *-r-f- js"
et. en diflTérentiant , pour comparer avec la «proposée.
, __ xjr -f- gJ? -H *r __ c
TRENTE-DEUXIÈME LEÇON. 5oi
xds,
5". ^(«•—jrM-*1)— z*dy+zdz(y— *)~\ (y%— *a)=o;
C = — yy, AM -I- BN 4- CP = o.
En posant </z == o, on aura
dx (x% — 7* -+- a') — *a4r =o;
on satisfait à cette équation en faisant y = x. Cherchons
s* si l'intégrale générale pourrait être r = x H — ; en dif?
férentiant et comparant , on trouvera
du - — = dx;
*■ multipliant par e ?", intégrant et substituant pour u sa valeur
il viendra
Il reste à différentier cette dernière équation pour l'identifier avec la proposée ; on aura , de cette manière ,
. idz r — t*
dx -h — T I e z x*dx
— ITT **& z%dy+>z%dx 2x*dz — 7xzdx~] t
A l'aide de l'intégration par partie , on réduira l'intégrale définie du premier membre, dans laquelle on considère z.
5oa CALCUL I1IT*MAX.
comme constant *, on a , en effet,
I e x*dx = — \e xz*
En substituant, on aura définitivement à comparer à l'équation proposée la suivante
— ir/ , dz zdz \ v«&
e • <ix — x-H )+ —
ou
ou, enfin,
^[&(r--jF»-.») + ^^-«&(r-.Jr)-.^(r.-*-)]
«fe — ^
Il résultera de cette comparaison que Ton devra avoir
**Z — zd* = o, et par conséquent
z = Cz.
TRENTE-DEUXIÈME LEÇON. 5o3
L'intégrale cherchée sera donc
Euler remarque avec raison que tant que l'intégration n'est pas effectuée , cette intégrale générale reste ambiguë et indéterminée, parce que la constante résultant de l'in-
tégrale indéfinie Je * dx, dans laquelle z est considéré comme constant, doit être une fonction de z. On peut heureusement faire disparaître cette ambiguïté en divisant les deux membres de Tin tégrale trouvée par z et
posant - = u ; elle devient alors
'Va + C = e"
L'intégration qu'il reste à effectuer est relative à une seule variable et n'amènera qu'une simple constante arbitraire qui s'ajoutera à C. Pour éviter l'ambiguïté dont nous venons de parler , arrivés à l'équation
nous aurions pu l'écrire immédiatement sous la forme
et puisque l'intégrale reste la même, que z soit constant ou variable, ou aurait pu différentier immédiatement, par rapport à tontes les variables ar, j, *, pour comparer
donc
CALCUL IWTiQRALé
jr H u
ou
Xd* — *d%
xdz — x*da = zd%,
xM
l'intégrale de l'équation proposée sera donc
TflEHTE-TROISjÈME LEÇON. 5l3
De l'intégration d'un système de n équations simultanéet du premier ordre, à n -f- 1 différentielles, ou à n dériTéee.
901. Nous avons fait voir comment on pouvait, dans tous les cas , intégrer, soit exactement, soit par approximation, l'équation différentielle du premier ordre et du premier degré
dy = /(*, x)dx.
Supposons maintenant qu'on donne n équations différentielles du premier ordre entre n + i variables tf x, y, z9 . . . , v9 et leurs n -f- i différentielles dt, dx,
dy, dz,..., dvy ou les n dérivées — , —-, -tv-m T-^*
forme générale de ces équations serait
htdt -f- Mtdx -f- N,rfr + Pt* -H. • . •+■ Ri^ = o,
mais on peut, dans tous les cas, les ramener, par une simple élimination, à la forme
<£r = F,(/,x, /,*,..., v)dt, <fc = F,(/, x,jr, *,..., p)dt,...9
dp s F„(f, *, jr , *, . . . , i>)dtt
et il s'agit de prouver qu'il existe réellement un système de valeurs x = f , (*), z = ft (*)* • • • ? ^ = t (0 » T" T. n. 33
5l4 CALCUL iNTiOEAL.
jouissent de la double propriété de vérifier les équations proposées, et de prendre pour t = 1 0 des valeurs déterminées x0, yoy z0J . . . , f0. Or il est facile de démontrer l'existence de ces valeurs dans le cas où les fonctions Ft , Ft, Ft, . . . , FB restent finies et continues ainsi que leurs dérivées par rapport à x, y, z, . • ., v9 D^Fj, D^Ft,..M DJF,, DxF,, . . . , DJFt , etc. Pour y parvenir, il suffit de • procéder comme dans la vingt-sixième leçon et de calculer n quantités X, Y, Z, . . . , V, à l'aide des équations
art — jr0=(/, — f0)Ft(f0, x0,..., vQ), xt — xt =(la — f,)F,(fl9 x„...,*i),.
X — *„,=(T — ^.JF.f^.,, *■„..., ".,), Ti— J« = (*i — A»)Fa(f0,x0,...,P0), ?-, — .r, =(*,—*,) Fa(rf, *„...,*,),
Y — r--, = (T — f^jF,^,, *—,,..., *.,),
car les quantités X, Y, Z, . . . , V, tirées des équations qui précèdent, jouissent des trois propriétés suivantes : I. Elles sont des fonctions continues des constantes xQ , foi • • • > *\» en ce sens que , pour des valeurs déterminées de ces constantes, elles prennent une valeur unique et déterminée , et que les variations qu'elles subissent quand on fait croître ou décroître les constantes d'une quantité très-petite , sont elles-mêmes très-petites. H. Les quantités X, Y, Z, . . . , V, convergent à mesure que les éléments de la différence T — tQ diminuent indéfiniment vers des limites finies
/i(* j 'o » -Jo > • • • • ' oj> Jt V * » ^» > xo > • • • » Vo)f /«( *> *o> •*€>» • • • > •y, •
in. Les valeurs x, rv •? ^ des quantités X, Y,..., V, correspondantes à T = t , c'est-à-dire les quantités
vérifient les équations différentielles proposées, et se réduisent ,pour t = (0, aux constantes ou valeurs initiales
TRENTE-TROISIÈME LEÇON. 5lS
des variables, xQ, jov.,, *>0. Mettons tour à tour en évidence ces propriétés remarquables.
902. Ire Propriété. Les quantités X,ï, Z,..., V, sont des fonctions continues des constantes x0, yw z0, . . . Donnons à ces constantes des accroissements très-petits ao9 6o> 7ov) que nous pourrons mettre sous la forme
tf0=p0COSA0, £„ = poCOS^o, y0 = PoCOSr0,...,
en assujettissant le module pQ et les angles ou paramètres A0, fx0, vov.. à vérifier les équations de condition
Les accroissements des quantités xm, ym, zm9..., X, Y, Z,..., pourront être représentés par des expressions de même forme
PmCOSA,,, PmCOS/C», PnCOSvM,...,
f>„COSA„, pncos^, p.cosr.,
Comme on a, d'ailleurs,
en cbangeant x0, j0, *<„•••> *n ^o + *o> J^o + 6«>* *o 4- 7o> on aura
*«+i "h Pm+i COSA^, — *« — pm COSA„
= ('«+« — '«) F. ('«> *« + ft» <***« -K . . ), et, en faisant
*>*£« = F, (tm JP.-f- P..COSA., /„ -4-^cos/i. -f- . . • )
P«+, COSA.+, = p. [COSA,, -f- f. (f.+ 1 — tm)].
En posant
ft^«=F,(r-f *«+p.iCOSA.,...)— F, (*«,,*«,...), p.£p=Fj(. .),
5l6 CALCUL IHTÉGRAL,
on trouvera de même
f>«+« COSF.T+, = p«[cosvm -+- £*('■+, — A»)], et en carrant , ajoutant, et ayant égard à l'équation
COS'Am -h CO$*^-lH-C08*Fm-f-... = I,
-h ('«+, — t.) (5i -h *i -h . . .)]• Or, la valeur maximum (*) de la somme
fffCOSA* 4- 9*COSft, -H...
(*) En effet , si Ton a à la fois
cos *x -+-cosV -H eos **-*-... = i, u= a cos x -I- b cos/" -+- c cos* -4-... ,
on aura évidemment
a1 -+-&1 -+-c*-K..= (a cosx -h & cos^-f-ccoBr-h...)" -+-(aco8^ — fc C09x)'-+-(« cos* — c cosx)' -+-... -f-(£ cos* — ccosr)'-f- ..> «■ssa1-»- &' +c'+...- (acosr — & cosx;* — (a cos s — c cosx)* — ...
Donc la plus graiulc valeur numérique de a* sera a% ■+- P-hc*,... ; et la plus grande valeur du u, l/V -+- b* -t- c* -h . u d'ailleurs atteindra son maximum quand on aura
acosr — -àcosx = o, «cos* — ccosx = o, bcotc — ccosj-:= o,...,
ou
cosx cos.r cos s a b c "
Or, de ces dernières équations on tire
a cosx -H 6cos.r -hccosz-h.. . u
n* -4- b* -*- c* '•+-. . . ~~ rf-i-b* +c' Hh
k^cos *«t H- cos ' 6 -h cos *> -t- ". "" l/fl1 -*-&■ -h r ■-♦-... ~~ 17
et, par suite,
CTeat bien la valeur maximum trouvée directement.
tftBMTE-TIlOISlEME LEÇON. Si 7
est V^i-*- *£+••• i donc
pif, <P™[i-H a ('*+i-t*)V*l. + *m ~+ (^.-^(^H-^H-..-)], p«+, <A» [» H- (*.+, — tm)V^Vm H- *i + . . .].
Désignons par yt, Xt> +iv> ?t> X«> ^t»— le* dérivées des fonctions Ft, F„ Ftl..., prises par rapporta x9 jr9 z ,...5 on aura, en vertu d'une formule connue de calcul différentiel,
Pm t m =F,(ra, xw-f-pw cos A«,r«-I- p.cos^*,. ..) — F,(fcv *«,/«, .-) = P«cosa,i^, (fm,xw +0p«cosA», ^«-hOp«cos/h,,...) -+-p,cosp»;&I(...)-l-p«cosFw 4, (...)...
Le second membre de cette équation est évidemment une valeur moyenne de la somme
p^cosx,,^, x,/ +...)+ p»«»"«;ei('> **r»»f—)
-+-p«COSr^,(l, X, 7, *,...), qui est toujours plus petite que
donc , si entre certaines limites *0 et tQ + t , les dérivées ?i9 Xi' ^i» - * * restent continues et finies et ne dépassent pas une limite fixe 1 , on aura , en désignant par N le nombre de ces fonctions, Çi<Nl,$ on trouverait de même, en désignant par m, n,... les limites finies supérieures des fonctions dérivées,
?» #»,^a, .., *3,*3,43>--.> *i<Nm% Çi<Nn»; donc
*i + n2,. + {i + . <N(I» + m» + n« + . . .), et , par conséquent ,
5l8 CALCUL INTÉGRAL,
ou, en posant
en faisant tour à tour dans cette équation, m = o, m = i, m = a,..., m = », on trouvera
P«<Po[ i 4- K(f, —*.)], f, < p,[i -H K(f, — *,)],..., P»<p».,[i -+-K(T— *,)]>
et , en multipliant ,
fr<fc[H-K(rI-«.)][i4-K(/1-ri)]...[iH-K(T— *.,)]• On prouverait facilement que le produit du second membre est inférieur à l'exponentielle e ' '*', quantité finie, que nous pouvons représenterparL : donc p„<Lp0; donc le rapport de pn à pQ est réellement une quantité finie 5 donc X, Y, Z,..., qui d'ailleurs pour chaque valeur attribuée aux constantes x0, y0, zQ>.. . prennent une valeur unique et déterminée , croissent ou décroissent de quantités trèspetites pn cos X„, pncosfxn,..., quand on fait croître ou décroître o:0, j0, s0,..., de quantités très-petites p0 cosi0, PoCOSfj^,..., et sont, par conséquent, des fonctions continues de ces mêmes constantes.
203. IIe Propriété. A mesure que les éléments de la différence T — tQ diminuent indéfiniment, X, Y, Z,... convergent vers des limites finies
J 1 ( * > toi xoy foi *o> • • • J y f\ ( T , t0 , XQ y jroi Zuy . . . J.
En effet, quand on suppose ces éléments réduits à un seul qui est cette différence elle-même , on a simplement
Y =j-0-f-(T — f0)Fa(f0» JToj/o»- ..)»•••• Lorsqu'au contraire la différence T — t0 est partagée eq
TRENTE-TROISIÈME LEÇON. 5lO,
n éléments tt — tQ1 t% — fi,..., T — f„i , on a
X — *0=(',— °;)FI(f0,x0,^0,...)-h(/,— fjF,^, *„r„...)+-i
et parce que le second membre est évidemment compris entre les limites — (T — fQ)A , + (T — f0)A, À étant la plus grande des valeurs de Ft(f, or, y, *,.••) entre les limites *0, T, il s'ensuivra que X sera compris entre les limites x0 — A(T — f0), x0 + A (T — /0); on prouvera de la même manière que Y, Z,... sont comprises entre les limites yQ zp B(T — f0), zQ zp C (T — f0),..., B, C désignant les valeurs maximum des fonctions
Il en résulte immédiatement que toutes les valeurs que prennent, entre les limites t0 etT, les fonctions F^F,,..., sont des valeurs particulières des expressions
F.f/.-MfT — fD), xo±0tA(T — io)9 ro±6aB(T— /0)...], F,[f.-M(T — f0), *.±M(T— *.), /0±fcB(T-r,)...],
dans lesquelles 0, 0t, 0t, ...représentent des nombres compris entre o et i . On a d'ailleurs évidemment
F.fc-MCT— to), xo±0tA(T—to), ro±û2B(T— r0)...]
~~ " Ft(/0» «^oj J'oj *OV J == '» »
£t désignant une quantité qui s'évanouit avec la différence T — f0;et, puisque les différences X — x0, Y— j-ov.. sont égales au produit de T — 10 par une valeur moyenne des fonctions Ft, Ffv.., on aura
X = x0 -+- (T— f0)F, (t0, x0, y0, . . .)+ (T — /0)iIf
Y =^0-h(T— f0)Fa(f0, x0,^0,.. .)+(T — /0)it-K..,
et l'on en conclura que l'effet de la division de l'intervalle T — t0 en n éléments tt — *0, tt — ft,..., a pour effet d'ajouter aux valeurs de X, Y, Z,..., des termes
(T — Oi«, (T — f.)ta,...,
5aO CALCUL ISTÉGâAL.
dans lesquels les coefficients s t, e„... s'évanouissent euxmêmes avec la différence T — tQ. Supposons maintenant qu'on divise à leur tour les intervalles tt — tOJ tt — tt9... en de nouveaux éléments, et ne considérons d'abord que l'élément tt — 10 -, les quantités xl9 yu zu . . '. , x„ jru *i, . . . , subiront des variations analogues à celles qu'éprouvaient Y, Z, . . . dans la division de l'intervalle T — t0» et deviendront
En posant
chacun des nombres e', e#, . • • pourra être représenté par une expression de la forme p cosX',.** On en conclura que la somme des accroissements de xuyu 3t,... sera inférieure au produit p (ft — /0), p étant un nombre qui, ainsi que e', e"v.., s'évanouit avec *t — *0, et Ton prouverait, eu raisonnant comme nous l'avons déjà fait , que la subdivision de l'élément tx — t0 ferait varier X d'une quantité inférieure à l'expression Upê (/t — *<>)>••• La subdivision des éléments t% — *t, *s — /f5... fera de même croître ou décroître X de quantités inférieures aux expressions U p" (tt — 1 1), L"p" (tt — *, ), . . . , dans lesquelles les coefficients p*, p", . . . s'évanouissent avec les différences U — 'i, t% — ?,,... Dès lors, la variation totale que la subdivision de tous les éléments tx — ?0, tt — fi9... fait subir à X , et par conséquent aussi à Y, Z,..., sera une expression de la forme
p étant une moyenne entre les coefficients p, p\ jOr,..., et s'évanouissant avec les éléments de la subdivision. Donc on n'altère pas sensiblement les valeurs de X, Y,
TRKHTB-TROISIÈME LEÇON. 5a I
Z,... correspondantes à un mode de division dans lequel les éléments de la différence T — l0 ont des valeurs numériques très-petites, si Ton passe à un second mode dans lequel chacun de ces éléments se trouve subdivisé en plusieurs autres. On étendra facilement cette conclusion au cas où les éléments du second mode de division ne seraient plus des subdivisions du premier, et il restera démontré par là que, lorsque les éléments de la différence T — t0 sont très-petits , le mode de division n'a qu'une influence insensible ; et que, par conséquent , si Ton fait décroître indéfiniment les valeurs numériques de ces éléments en augmentant leur nombre, les quantités X, Y, Z,. . . convergerontversdes limites fixes/i (T, f0, xwy0% *<>'•••)> f% (T, /0, x0, jov.,)v.., dépendantes uniquement de la forme des fonctions Ft, F,,..., et des constantes T, f0,
204. IIIe Propriété. Si dans les valeurs de X, Y, Z,... on remplace T par t, on obtiendra des fonctions x, j-, z,..., de/,
* =/i('j 'o, *<>, roi— )> y =/.(', 'o, *o> jo, ..)• • • > qui, pour t = £0, se réduiront à xQ9 y0J *<,,... et vérifieront les équations différentielles, proposées. En effet, nous avons trouvé
X — x0 = (T — t0)Ft(e0, x0, jo,...) -h (T — fo)«i, Y — /„ = (T — OF,(/0, *o, 7o,...) -h (T — /0)i»,
et l'on en conclura, en changeant T en t} et faisant
De plus, le raisonnement qui nous a conduit aux valeurs précédentes des différences
5aa calcul ihtéokal.
nous aurait donné l'équation suivante :
X — *» = (T— tm)Ft(U,xm> ym,...)+(T— tm)S9 T — r»=(T — rm)F,(/«1x»,r«,...) + (T — <Ji#,
dans laquelle tm désigne une valeur de t comprise entre *o €t *o + f. Or, si dans ces équations on (ait
/„ = /, T=*-M, x = îx(t), 7=^(1),...,
on aura
*. = f,(')> X=ff(/H-A),
et il viendra
fi(r-HA)-f1W = *FI[r,ffi(i),fa(Of...l+«#*.
f,(* H- A)- f,(*) = AF,[f, f, (0, f,(f),. . .]+■**.
et si , après avoir divisé par h , on passe à la limite , on trouvera
t\{t)di = dït(t)=djr = F,(r, x, r , s, ...),. . -,
et ces dernières équations expriment évidemment que les fonctions
x= fI(r) = /1(f, *„/„...),;=: fiW=/i(^*ottro>-)»
vérifient les équations différentielles proposées.
205. Lors donc qu'entre les limites t0 et tQ -f- r, les fonctions Ft, Ft, . . . , ainsi que leurs dérivées par rapport à x, jr9 z,. . ., restent finies et continues, il existe des fonctions x, yy z,... de t et des constantes f0, x0< yoy ^ovî SF* vérifient les équations différentielles proposées et prennent pour t = t0 les valeurs initiales données x0, y0, *0v- Mais il peut arriver qu'entre les limites t0 et tQ + t, les fonctions F, , F,,..., et leurs dérivées, ne soient finies et continues que pour des valeurs
de x, y, z , . . . , comprises entre des limites déterminées
xQ et 4P0 dbfl, jo et Xo ± £, *o et z0±c^ ... :
or les propriétés que nous venonsd'énoncer pourront continuer de subsister, même dans ce cas, pourvu qu'en appelant A , B, C,... les limites des valeurs absolues des fonctions F,, F,,..., Fn, on choisisse T de manière à satisfaire aux inégalités
T-*oO, A(T-r0)0, B(T-f0)<*,....
Alors, en effet, la valeur dexiy déterminée par l'équation
•Ti = *o-t-('i— ^F^Xo./o, Zoy. ..),
comprise entre les limites x0 ± A(tt — f0), sera comprise , à plus forte raison , entre les limites x0 zh a , et il en sera de même de a:,, jr8,..., xn i, X. Les quantités^, /ivj-i) Y-, zi9 s,,..., zn u Z,... seront aussi respectivement comprises entre les limites y0±b9 z0±c,.... Déplus, si, en désignant par a0, 60, y0,... les accroissements des valeurs initiales ar0, y0J z0,..., on assujettit T à vérifier les inégalités
les nouveUes valeurs de xiy j^,...* xn9jrnJ...9 déterminées par les équations
*i = *o -+- *0 -+- (f, — r0)Fs(/0,«o + ao>. •)••••» *,=..., r, =/0-f-^o 4-(f, — f„)Fa(f0, x0-f-«0,.. ), r. =...,
seront elles-mêmes comprises entre les limites x0±a, jr0 ± t.... Donc puisque toutes les valeurs de x, y, z9... que Ton considère dans les théorèmes dont il s'agit sont renfermées entre les limites x0 ± a, j'G ± £,..., les fono tionsFl9Fs,..., ainsi que leurs dérivées, resteront finieset continues pour toute valeur de t plus petite que t0+r. Or c'est la condition nécessaire et suffisante pour que les
5*4 CALCUL IHTÉGE^L.
propriétés énoncées continuent de subsister. Donc alon encore on pourra calculer exactement» ou par approximation, les quantités /i(T9 *0, xov..), /i(T, 1^, «o,...), et, par suite, les valeurs /i (*, r0, ar0,. . .),... de x9 y% x, propres à vérifier les équations différentielles proposées.
906. Supposons que les valeurs x = o, y = o,..., vérifient les équations proposées , on aura nécessairement, dans cette hypothèse,
c'est-à-dire que les fonctions Ft, F,,... s'évanouiront pour x = o, y = o, z = o,..., quel que soit t. Alors aussi, en faisant x0 = o, j^0 = o, zQ = o, . . . dans les équations qui donnent les valeurs de X, Y, Z,..., on trouvera
et par conséquent
x = lim. X = o, y = lira. Y = o,.,., si les fonctions Fl9 F,,... sont continues et finies, ainsi que leurs dérivées par rapport kx, jr, z9.... Nous avons vu en effet que , dans ce cas, les quantités X, Y, Z étaient elles-mêmes des fonctions continues des constantes x0, Jo» z<y> •• • • Donc , sous la seule condition que les fonctions Ft, F„... sont continues et toujours finies, on déduira les valeurs x = o, y = o,... des intégrales générales en donnant aux constantes arbitraires x0, yoy *0,... les valeurs particulières xQ = o , y0 = o, . . . , ce qui démontre que x = o, y = o,... sont des intégrales particulières du système d'équations différentielles proposé. 207. Reprenons les équations
ou simplement
dont l'ensemble satisfait aux équations différentielles - proposées , et forme ce que nous pouvons appeler un système d'intégrales générales de ces mêmes équations. Il sera impossible d'éliminer entre ces intégrales les constantes x0, j0,... et d'arriver à une relation de la forme ?(*» xt y-i *>•••) indépendante de ces constantes; car, en faisant t := f0, on aurait
x = *OJ y = yoy..., et, par suite,
ce qui est absurde, puisque les constantes f0, x0,... sont entièrement arbitraires. Si l'on faisait
x0 = Cj , y0 = ct , . • . 9 le système d'intégrales générales deviendrait
X =: f\\fî CIf G,,..., Cn) = O,
Jf = J*(ti Wi £aj»»«» Ci) = °>«'»t
et il sera toujours possible de le ramener à la forme Ct=zuS9 C, = «,,..., Cnt=um,
uu ii|,..., an étant des fonctions des seules variables £, x, y,... En effet, supposons que de l'une des équations
x=/i(f, C,,C, ,...), y =zji(ty Ct, Ca,... ),...,
on tille la valeur de Ct , pour la substituer dans toutes les autres : on arrivera nécessairement de cette manière à n — i équations renfermant n — i constantes, car, sfil y avait moins àen — i constantes, on pourrait les éliminer et arriver à une relation de la forme
ce que nous avons démontré impossible.
De même, si, entre les n — i équations restantes , on
5a6 CALCUL INTÉGRAL.
élimine C%, il restera nécessairement n — a équation avec n — a constantes. En continuant ainsi, on arrivera à une dernière équation renfermant une seule constante Cn, et qui donnera C„ =5 U», un étant une fonction des seules variables t, a:, j%..., et, en remontant de proche en proche , on aura
donc le système d'intégrales générales des équations différentielles proposées peut réellement être mis sous la forme
«1 = C., «, = C2, «3 = C3,..., u* = di
Cl5 C,,... désignant des constantes arbitraires.
Réciproquement , si Ton tire de ces dernières équations les valeurs de x, y, £>•'•? eUes vérifieront les équations différentielles proposées , et de plus , ces valeurs de x. j, s,.,, ne pourront satisfaire à aucune équation de condition indépendante des constantes arbitraires Ci9 Ct,...., car si en effet elles pouvaient satisfaire à une équation de la forme
il s'ensuivrait que cette dernière ne serait qu'une combinaison des équations
Ux ^= L>x , ua :=^ C2 9 . . . y
et pourrait être substituée à l'une d'entre elles. On arriverait donc aux mêmes valeurs de a:, y, z,..., soit qu'on les déduise du système ut = Cu ut = Ct,... de n équations renfermant n constantes distinctes , soit qu'on les détermine à l'aide de n — 1 équations renfermant n — 1 constantes auxquelles on joindrait l'équation
*(*> •r» /»•••) = °- Or cette conclusion est évidemment absurde, car les
premières valeurs de x, y, z,... renfermeront n constantes , tandis que les secondes n'en renfermeront que n — i . Il est donc vrai que l'ensemble des équations
forme un système d'intégrales générales des équations proposées, parce qu'il jouit delà double propriété de renfermer n constantes arbitraires, et de fournir des valeurs de #, y, z,... qui vérifient les équations données , sans satisfaire à aucune équation indépendante des constantes. Pour montrer combien cette dernière restriction est essentielle, considérons le système suivant d'équations différentielles
(* — t)dx = (x — y)dt, (z — t)dy = (x — y) de, dz = (x — y -f- i)dt:
on. y satisfait immédiatement en faisant x =y, z = t , ou, ce qui revient au même , en posant
* = *Mt y = *Wt * = '»
quelle que soit d'ailleurs la fonction y, qui demeure entièrement indéterminée et peut renfermer antant de constantes arbitraires que l'on voudra-, mais l'ensemble de ces trois équations ne forme pas un système d'intégrales ' générales des équations différentielles proposées , précisément parce qu'il établit entre les variables des relations indépendantes des constantes arbitraires. Cherchons les intégrales générales ; en retranchant la seconde équation de la première , on trouve
dx — dy = o, d'où x = y -+- Cx. Cette valeur, substituée dans la troisième, donne dz = (Ct + i)dr, z = (CE + i)r -f- C„
5a8 CALCUL INTÉGRAL.
d'où
z — t = Ctt -+- C,,
et par conséquent , en substituant dans la seconde équation, pour z — f , x — y , leurs valeurs,
(Ctt -h C>)df = Cxdty dy = Caf^ftt.
r = /(C,r 4- C,) 4- Cj, et , par suite ,
x = 1(C,* •+• Ca) -h C, -f- Ci :
or l'ensemble des trois équations
x = \{Ctt + Ca) -+- C, •+• Ci, y = I(C«f 4- co + g,
ou , ce qui revient au même , en résolvant par rapport à Cm Ct<i Cs,... , des trois équations
Cl = x — jrf Ct=z — (x — r + i)x, C3=r — \(z — f),
forme un système d'intégrales générales, précisément parce qu'il renferme trois constantes arbitraires, et qu'on n'en peut tirer aucune équation indépendante de ces constantes.
208. Revenons au cas général, et cherchons si un même ensemble d'équations différentielles données peut admettre plusieurs systèmes d'intégrales générales. Supposons que, par une méthode quelconque, nous soyons arrivés au système suivant
h, = C,, u% = C%f «3 = Cs,..., um = Ci; on en tirera
dut = o = Ltdt -f- M,rfr -h N,<fy -»-•••,
dut = o = L2dt -+- M,rfr -4- IMj -+-...,.
TREBTE-TROI8IEMB LEÇON. 02g
OU
^. dx ^ dr t,+ M* + ■*+... =o,
et, en substituant pour -z-f j2-,..., leurs valeurs tiréesdes
équations différentielles proposées, il viendra
Lt -h MfF,(f, *,.r, *,...)-*- N,Fa(>, x9jr, *,...)-*-... = o,, L, -H M^F^f, x,y, ...) -h... = o.
Ces équations sont nécessairement identiques, ou se réduisent à o = o, car, sans cela, elles établiraient entre les variables des relations indépendantes des constantes, ce qui ne peut être, puisque, par hypothèse, l'ensemble des équations ux = Cu ut = Ct,..., forme un système d'intégrales générales des équations données. Cela posé , toutes les valeurs de x, j, z,..., qui vérifieront les équations différentielles proposées, devront évidemment rendre identiques les équations
MM[dx— Fi(t,x,x, *,...)]-+-N,|>(r— F.frx,^ *,...)]+ etc. =0f MJ>fe— ¥x{t,x,y , *,...)] -HNJrfr— ¥t(t9xfXi »,...)]-+- etc. =o,
à moins qu'elles ne rendent infinis un ou plusieurs des coefficients M19 Nl9..., Mt, Nt,..., ces dernières équations se réduisent d'ailleurs à
LÈdi -h Mtdx -f- N.dT/ -K..= dug = o, L%dt -h VL%dx -+- Nt<(r -+-...= du% = o,.
en vertu des équations identiques
L.-t-M.F,^,*,^, «,...) -+-N, F, (r,*,.r,«,..4)-^ etc. ==o...;
donc, à moins qu'elles ne rendent infinies ou indéterminées, et par conséquent discontinues, quelques-unes des
53o CALCUL INTÉGRAL.
quantités
L, - — , M, - —, Nt - — ,..., du* du* du*
toutes les valeurs de x* y* z,..., qui satisferont aux équations différentielles données, vérifieront aussi les relations
dut = o, du2 = o,..., ou h, = Ctl m, = C„....
Donc, puisque l'ensemble de ces équations détermine complètement les valeurs de x* y. «,..., en fonction de * et des n constantes , il est le seul système d'intégrales générales des équations proposées.
209. Les systèmes de valeurs de x* y. &,-••, que l'on obtient en rendant infinies ou indéterminées les quantités L, M, N, . . . , ou quelques-unes d'entre elles , et qui vérifient les équations proposées sans qu'on puisse les déduire des équations
ut = C, m, = C2,. ..,
sont ce qu'on appelle des intégrales singulières. Il est évident qu'elles ne seront jamais renfermées , comme cas particuliers, dans les intégrales obtenues par la méthode générale que nous avons exposée , puisque cette méthode suppose essentiellement que les fonctions Ft, Flv... ainsi que leurs dérivées par rapport à x* y, z, etc., sont finies et continues, ce qui n'aurait pas lieu si les quantités L, M, N,..., ou quelques-unes d'entre elles, étaient infinies ou indéterminées.
bclaircissons ce qui précède par un exemple. Le système d'équations différentielles
% — t)dx = (a: — y)dt , (z — t)dy =r (x — y)dt, dz -- (x — y ■+- \)dt,
TRENTB-TROISIÈME LEÇON. 53 1
a , comme nous l'avons vu, pour intégrales générales Cf =jr— yy C, = z — (* — 7 -h i)/, Cs=r — 1 (*— t): on a, par conséquent, dans ce cas,
L, = o, M, = i, N, = — i, P, = o, L, = y — x — ■ • M, = — ■ f , Na = f , P, = i ,
L* = -, M3 = o, N3 = i > Ps = -;
deux de ces quantités seulement, L„ P8, peuvent devenir infinies, et le seront réellement si Ton a z = t : comme d'ailleurs l'hypothèse z = t donne ar = jr, et que l'ensemble de ce* deux équations vérifie les équations proposées sans que la première puisse se déduire des intégrales générales, en donnant aux constantes Ct^C%yC%1 des valeurs particulières, cet ensemble ne peut être qu'une solution singulière.
Nous avons vu que les valeurs particulières x = o, y =o,..., formaient un système d'intégrales particulières toutes les fois que les fonctions Ft, F,,..., étant finies et continues, ainsi que leurs dérivées , on avait, quel que soit f,
elles ne pourront donc être des solutions singulières qu'autant que les conditions
M, = cd, M, = £,...,• W, = oo, N, = £,...,
ou du moins quelques-unes d'entre elles, seront vérifiées. 240. Supposons que les valeurs
x = * (r), y = *(r), * = 4(*),.-. forment un système d'intégrales singulières des équations
dœ = F,(/f *,/,...), dy = F,(f, or, y9. ..),...,
5$* CALCUL IWTÉGBAL.
et posons
les équations £ = o, yj = o seront des intégrales singulières des nouvelles équations obtenues par cette substitution et qui sont :
p'Qdg -f- dt = F^/^W -h f,*(f) -*- ,...],
X'{t)dt+ dn = F,[f,*(r) -h ?,*(*) -h f...]
En retranchant de ces équations ce qu'elles deviennent quand on y fait £ = o, on trouvera
Or | = o, t? = o,..., ne seront des solutions singulières de ces dernières équations qu'autant que les coefficients de A, ou du moins quelques-uns d'entre eux, deviendront infinis ou indéterminés pour \ = o, n = o,..., ce qui n'aura lieu qu'autant que les fonctions
et leurs dérivées, deviendront elles-mêmes infinies et indéterminées ; donc, enfin, les valeurs
ne pourront former un système d'intégrales singulières des équations différentielles données, qu'autant qu'elles rendront infinies ou indéterminées, quelques-unes au moins des fonctions F1? F,,... et de leurs dérivées. Cette discontinuité est une condition indispensable, mais elle n'est pas suffisante , en ce sens que certaines valeurs qui rendront discontinues les fonctions Ft, Ft,..., et leurs dérivées , pourront n'être que des intégrales particulières , comme on l'a vu dans le cas d'une seule équation différentielle. Nous n'essayerons pas de préciser les carac-
F, = F, = 7-377* Fj = jt — jr -+. 1.
TREHTE-TftOISlÈME LBÇOH. 533
fcères distinctifs des intégrales singulières, ce problème est trop complexe et trop peu pratique dans le cas de plusieurs variables. Il sera plus facile, dans chaque cas particulier, de chercher si les intégrales dont la nature est encore inconnue, peuvent se déduire ou non de valeurs particulières attribuées aux constantes.
Exemples ; i°. Reprenons les équations différentielles
dx = X ~~ ^ dt% dr = * ~ * dt% dz = (x — y + ■)*»
En posant
F, = 00, ou F, = £,
on trouvera
ces équations satisfont aux équations proposées , et sont réellement des intégrales singulières, parce que, pour les déduire des intégrales générales, il faudrait nécessairement faire
Cx =0, C, = y, G = X,
ce qui est impossible.
2°. dx=yidty dy = Afc, F, =j*, Fa = xi;
ces fonctions ne peuvent devenir ni infinies, ni indéterminées, leurs dérivées sont \y ' î, £ # , et deviendront infinies pour x = o, y = o ; ces deux valeurs satisfont d'ailleurs aux équations différentielles données.
Cherchons les intégrales générales : on a d'abord, en éliminante,
x*dx = yîdy, d'où y*=x*+C9 >-*:=:(**— C$\
CALCUL IMTÊGRAL.
eur , substituée dans la première équation , donne * = £,
(je* 4- C()î ' •' ** (** -h€tY>
i tirera des deux équations
«/ *o(xï-|-Ct)ï
s valeurs de Ct, C§ en fonction des variables ; elles sont onc les intégrales générales des équations données. Cela osé, il est facile de voir quelles valeurs x = o, y = o, ont des intégrales singulières ; en effet, pour les déduire
les intégrales générales, il faudrait faire d'abord d = o,
ze qui donnerait
f* dx j
* = C,+ / — — Cz = 2*«,
et pour x = o, C% = £ , ce qui répugne à la nature de la constante arbitraire.
TtLtNTrrQVKTUïMK, HÇOK. 535
TRENTIMÎUATRIEME LEÇON.
Intégration des équations linéaires simultanées du premier ordre, et de quelques autres équations.
341. On appelle équations linéaires simultanées celles qui ne renferment les variables dépendantes x, jr, £,..., et leurs dérivées, qu'au premier degré seulement. La forme générale de ces équations est
dx
- -r-P1x-r-QI^H-Rl2+...=:T1,
^ + pa* + Q'.T -f-H,*-f-. .. = Ta,...,
*u *tv5 *»»•••» V*»***' V»>,,,> *i ,.#., !„,..., étant des fonctions de la seule variable indépendante t. On ne sait pas les intégrer en général, on n'y parvient que dans quelques cas particuliers.
Considérons, sous une forme un peu différente, Ifs deux équations
M.rfr -h N,4r + (P.* ■+■ Q.jM' = Ttdr, Mzdx -h N,4r + (P«* -f- Q,.r)<<r = T,**.-
Multiplions la seconde par 0, ajoutons-la à la première, et posons
M, -f- M,Ô = /w, N, -+- Na0 = *, P, -+- P,* = pf Qt 4- Q,0 = 7, T, + T,0 = T,
CALCUL ]i\TÉr.]UJ..
mdï -4* ndy -t~ px «h qy = T/fr,
r, si en posant
1 avait
dx -h — */p = <&, m
''.équation précédente se trouverait ramenée à ne plus être u'une équation linéaire à deux variables
mdu -+- pu = Tdr,
que nous avons déjà intégrée. L'équation de condition
sera satisfaite si Ton a
En substituant dans ces deux dernières équations, pour m, /*, p, 9, leurs valeurs, et éliminant entre elles 9, on aura la condition à laquelle les coefficients de l'équation proposée doivent satisfaire , pour qu'elle puisse être ramenée à une équation linéaire à deux variables. Si ces coefficients sont constants , la seconde équation sera immédiatement vérifiée , la première deviendra
M, j- Ma0 __ P, -f- P,0 N, -+-IW ■"Q.-f-Q.l'
TREMTB-QUATRIÈME LEÇON. HSy
et donnera pour 0 deux valeurs 0,, 0a , qui conduiront à deux équations linéaires
du -h £LU = 2i^, dk + ^« = — <&, mt /ii! m% in 2
que Ton intégrera immédiatement. En substituant dans, ces deux intégrales, a u, sa valeur x + - j, on obtiendra deux équations entre x, j^, et deux constantes arbitraires C,, Ci qui seront les intégrales générales cherchées. Ce que nous venons de dire suppose que les deux valeurs de 0 sont réelles et distinctes, nous examinerons plus tard le cas où ces valeurs seraient imaginaires ou égales.
212. Considérons maintenant le cas où Ton aurait à intégrer n équations linéaires à coefficients constants. On' peut toujours supposer que chacune de ces équations ne renferme qu'une seule dérivée , ou qu'elles sont de la forme
dx 4- (axx -h bxy 4- ctz + ...)dt =s Ttdt,
dy 4- (a^x 4- b%y 4- cxz -\-...)dt = Ttdt,
Multiplions la seconde par 0,, la troisième par (lv.M
ajoutons -les, et faisons
«« -l- «A ■+- *303 -+-...= 6, Ti -h 3»T, 4- 03T3 •+-.. .= T, il viendra
dx 4- Otdy 4- M* -+- . . .0* il':* 4-[(^i4-Ma^M3^...)/4-(cI4-c,ô,4-ciÔ34-...)z-|-...]^=Tdîr.
Or, cette dernière équation deviendra une équation linéaire à deux variables
du 4- Gudt =z Tdi,
et aura pour intégrale
Si Ton choisit 0,, 0„ 0|V.., de manière à satisfaire au équations
*« -4- M» -h Ms-h ... = 00,,
*i -+- C%0> -f- Csô3 + ... = ««3, . . . ,
qu'on peut écrire comme il suit
(*. - 0)0. ■+■ Ms -H ... =- *.,
Cj> ■+■ (*3 — 0)03 ■+■ ... =— <?«, • • • ,
la formule x = — -j- — -ï----\ que nous avons rappelée 2 ± a0b0c0... l rr
n° 407, montre immédiatement que le dénominateur
commun de 0„ 9t,... comprendra le terme irréductible
qui est du degré n — i , par rapport à 0 ; et, par conséquent , en substituant pour ces coefficients indéterminés 0f, 0*,... leurs valeurs dans la relation
«x -f- a%02 -h tf303 +...= 0,
on obtiendra une équation dans laquelle entrera le produit
(«. ~ *)(*. - 0)(c3 - 0)(d - 0),...,
qui sera du degré w, et donnera pour 0,n valeurs. À chacune des valeurs de 0 correspondra un système unique de valeurs de 0„ 03, 0*,.... Ces n systèmes substitués avec 0 dans l'intégrale obtenue, fourniront n intégrales avec n constantes arbitraires. On mettra facilement ces intégrales sous la forme ux = 6\ ut = (',..., et elles
formeront, par leur ensemble, les intégrales générales des équations différentielles proposées.
Si Ton veut que pour t = o, x, jr, z,... prennent les valeurs particulières x0, jrOJ £0>"*> on aura» pour déterminer les constantes Cu Ct,..., n équations que l'on déduira de l'intégrale générale en faisant t = r0, et donnant tour à tour à 0 ses n valeurs. Ces équations seront toutes de la forme
et la valeur générale de C sera
C = *e'°(x0 -h 62jr0 + 03*o -H. . .);
en mettant dans l'intégrale générale pour C sa valeur, elle deviendra
/('* *> r > • • . > 'o, *o, ro, • . . , *) = o,
et en appelant #, 0",..., 0("; les n valeurs de 0, le système des n intégrales générales des équations différentielles proposées sera
A'* *> .r>--> 'o, ^o, ro,.-., ô") = o, —
243. Mais ces n équations ne seront distinctes et ne formeront réellement un système d'intégrales générales qu'autant que les n valeurs de 0 seront réelles et inégales; voyons ce qui arriverait si elles étaient imaginaires ou égales. Supposons d'abord que deux seulement de ces valeurs 0' et 0" soient imaginaires, comme elles sont racines d'une même équation, elles seront conjuguées, et si l'on a
0' == OL -+- ci/^7, on aura
54o CALCUL IKTéGfcAL.
Dès lors , si la première des intégrales
f 1 1(*> x> Xf • • • > 'o, *o, X; • • • , *) = o
devient v + iv V — i = o , la seconde deviendra
et elles se réduiront ensemble aux deux équations f = o, iv = o ; en se confondant, elles se dédoublent , de sorte que leur ensemble formera encore deux équations. S'il y avait 4> 6, 8, . . . racines imaginaires, 2, 3, 4>- • • intégrales se dédoubleraient , et leur ensemble formerait toujours un système de n équations renfermant n valeurs ' initiales ou n constantes arbitraires.
Voyons maintenant ce qui arrivera si deux racines de l'équation qui donne 0, étaient égales entre elles. Comme le premier membre de l'intégrale générale
peut être représenté, pour abréger, par 9(6), on aura, en désignant par ff et 0" = ff + h deux des valeurs de 0,
et par conséquent (f(ff) = o, dans le cas où 0" devenant égal à ff , on aura h = o. Ainsi , lorsque deux racines sont égales entre elles, deux des intégrales se confondent
mais on voit alors apparaître une équation nouvelle
et l'on a toujours n équations. L'ensemble de ces n équations formera le système d'intégrales générales des équations différentielles proposées. Considérons une troisième racine 0* d'abord égale à ff -+- h : dans le cas où ff = ff\
ou aura à la fois
et par conséquent
*"(•' -+- th) = o.
Donc si 6" devient aussi égal à ffy c'est-à-dire si A = o, '4 on aura nécessairement <p" (9") = o. Trois des intégrales se confondent , mais on a deux équations nouvelles
On prouvera évidemment, en poursuivant ce raisonnement, que si m racines ff, 0",..., 6{m) sont égales, on aura m — i équations nouvelles
elles remplaceront les m — i intégrales qui se confondent avec la première , de sorte que Ton aura toujours n équations renfermant n valeurs initiales ou. n constantes arbitraires. Si dans l'intégrale
on ne mettait pas pour C sa valeur en fonction des données initiales et de 0, q/(d), ?"(6)9. • • seraient remplacés par
54a CALCUL IHTÉGIAL.
les quantités C, C, . . . , déterminées par les équati 0115
peuvent être regardées comme des constantes nouvelles dont le nombre sera précisément celui des racines qui deviendront égales à la première et qui conserveront au système d'intégrales sa généralité.
214. Un raisonnement bien simple montrera que la méthode que nous venons de développer embrasse le cas des racines égales. En effet, elle donne, dans toute hypothèse, au moins une des intégrales générales; de cette intégrale , on tirera la valeur d'une des variables Xj y, £,-.., pour, la substituer dans les équations différentielles données, que Ton réduira de la sorte à un système de n — i équations, ne renfermant plus que n — i variables. Si , pour ce système de n — i équations, les n — i valeurs de 0 sont inégales ou imaginaires, la méthode fournira les n — i intégrales qui restaient encore à trouver. Dans tous les cas, elle donnera au moins une seconde intégrale qui conduira à un système de n — a équations différentielles, etc. En continuant de la sorte, on obtiendrait évidemment, malgré l'égal i té des racines, un ensemble de n intégrales renfermant n constantes arbitraires.
215. On peut intégrer par une autre méthode les équations simultanées proposées
dx -h [axx -+- bxy -f- ctz -h. . ,)di = Tt<//,
djr -+- (aÀz -h b*x 4- c2z -*-. . .)eit = Ta<//,
Considérons d'abord le cas où, les seconds membres manquant, ces équations deviennent
rlr -f- (a,x -f- btr -h rtz -K -
. ,Wf = o,
r/> 4- (fi,* -f b7y •+- fi* -H . ,
TftEKTB-QUATRIBMB LïÇOW. 543
On remarque alors immédiatement que si plusieurs systèmes de valeurs de x, y, *,... satisfont séparément à ces équations, la somme de ces systèmes ou de plusieurs d'entre eux y satisfera aussi, et que , par conséquent, il suffira de trouver n systèmes renfermant chacun une constante arbitraire pour obtenir par leur addition les intégrales générales cherchées* Pour y parvenir, faisons
y = Cx, z = yx, . . . ,
les équations sans seconds membres deviendront
dx -f- x(ag -h bxC -4- cxy -+-. . .)di = o, Qdx -f- x(a% -h bJS -f- c%y -f-.,.)dif = O,...,
et ne pourront subsister qu'autant qu'en posant
at +- btC -h c,y -h ... = — «, on aura
** 4- b%C-h c%y -+- . /=— aC, a3 -h 63C -+- c& -+-...=— *y....
De ces n — i dernières équations, on tirera les valeurs de 6, y,..., qui, substituées dans la formule
at -4- btC -f- cty -+-...= — «,
donneront une équation en a du degré n. À chacune des racines au a, , . . . , otH de cette équation , correspondra un système de valeurs de 6, y,.».; x, d'ailleurs, sera donné par l'équation dx — axdt = o, d'où
— = itdt, \x — \C = «f,
et par suite
x = Ce**, y = C&?*', « = Cyi*',....
En substituant tour à tour dans Céfe équations pour *, ses n valeurs, on aura n systèmes d'équations satisfaisant tous aux équations différentielles proposées, et renfer-
mant chacun une constante; l'ensemble
formé de l'addition de ces n systèmes, sera le système des intégrales générales cherchées. Pour passer de ce cas plus simple à celui où les fonctions T,, Tt,... ne seront plus nulles, il suffit de substituer dans ces équations, aux constantes Ct, Ct,..., des fonctions de x tellement choisies qu'elles continuent de vérifier les équations avec leurs seconds membres. Or, si Ton différentie les valeurs de x9 y, *,... pour les substituer avec leurs différentielles
—,—-,— dans les équations données, et qu'on exprime qu'elles sont satisfaites, on trouvera
et ces n dernières équations donneront, en fonction de t , les valeurs de -j-^, -^, . . • , que Ton intégrera par de simples quadratures, etc.
