Appliquons ces principes à quelques exemples

i°. dx+ (axx + btjr)dt =Tf^, dy+ (<*,*-+- b%y)dt z=Tadr, multiplions la seconde équation par 0, , ajoutons et posons

at -h a A = *, *. -+- M. = 89, f il viendra

dx -h M/ -h H* -h *.r>* = (T, -h *.T.)dr, d'où l'on tirera, en intégrant,

0 est d'ailleurs donné par l'équation dé second degré (at — 6) (A, — 0) = atbt9 qui fournira les deux valeurs 0', 0", et par suite deux intégrales

Si les deux racines ff, 0" étaient égalée, on n'aurait qu'une seule intégrale , mais on lui joindrait l'équation

que l'on obtient en différentiant l'intégrale unique par rapport à 0*, et C considéré comme fonction de 0'.

On pourrait aussi , en mettant l'intégrale unique sous la forme

x + Cy = ç(t),

en tirer la valeur de x, x = <p(t) — Gy , pour la substituer dans la première des équations données

dx -f- (atx -f- bty)dt = 1xdt, qui deviendra

dy - b-ï^£ydt = g[T, + «*« + •(')]*-

Or, cette dernière équation est linéaire et s'intégrera immédiatement,

Exemples : Les deux équations

%dx -+- gdy + (44-r -f- foy)dt = tdt, Zdx + 7^ H- (34^ -+- 38j)A = *Wf,

ont pour intégrales

les deux racines ff= 6, 0" = i sopt inégales. Les deux équations

t^dx -h Qdf -+- (il* -h 3l/)i& =. Jdt, 3dx -+- idy -h ( &: -h a4r)A = «•'#*,

donnent , au contraire , ff = 0" = 4 ? et ont pour intégrales

x-a5tf 36C

Pour les deux équations

4</x -4- grfjr + (îx+ 3ijr)dlr = <?*<&, 3rf» -h 7<r -4- ( * -4- !»4r)<* = 3</f,

0'=s4+^ — i, 0" = 4 — ^— î sont imaginaires; les intégrales générales seront données par l'équation

(i-*-V/;T)rH-tr

[(cosr-ï/^ïsinr)(4-h7V/HÎ)r fc'cosftfr-tV-i fi5' s -3(5-f9l/^ï/ fe*'costdt+\/^i Ù'sm $dt\hC^ C

on a d'ailleurs

sinfcfc =

/**, *j. ^'(Scosf -4- sint) /• *■•"•■* = - — ïe — • r

e"(58inf — cos

g4>(4«in^ — co»

TKBNTE-CINQU1ÈME LEÇON. 547

Intégration d'une équation différentielle, d'ordre quelconque, à déni Yariables. — Principes généraux. — Conditions d'intégrabilité d'une semblable équation.

247. On appelle équation différentielle de Tordre n, k deux variables , l'équation qui , avec les variables , renferme leurs dérivées jusqu'à celles de Tordre n inclusivement. La forme générale de ces équations est, en supposant qu'il n'y ait qu'une seule variable dépendante ,

ou, en résolvant par rapport à -j—,

dx*

En joignant à cette équation les n — i relations connues

df=/dx, d/^fdx, d/'=ydx9...9 dy(»->)=x<»-*)dx,

on aura un système de n équations différentielles simultanées du premier ordre

dyz=y'dx, d/ = S'dx,..., <//«-») = jr(""°*,

En intégrant ce système d'équations par les méthodes que nous avons indiquées , on obtiendra les valeurs des y, y,..., y"-f> en fonction de n constantes arbitraires}

la valeur ainsi obtenue pour y,

jr = * (*, C,, C„ C3,..., Q,

sera l'intégrale générale de l'équation différentielle proposée; on en tirera

j' =*'(*, CIf C„...), /" = *"(*, c., C,,..), ..,

318. Il est facile de prouver que l'intégrale générale renfermera , en réalité , n constantes , c'est-à-dire toutes les constantes que renfermaient les intégrales des équations simultanées. En effet, si l'une de ces constantes, Ct par exemple , manquait dans la valeur de/, elle manquerait aussi dans les valeurs dey, y,ty(n""1) , et , par conséquent, elle ne ferait pas partie des intégrales générales des équations simultanées, ce qui est contre l'hypothèse. En supposant qu'on donne les valeurs yOJ jr'oJ /0,..., y(g~ g\ de y et de ses n — i premières dérivées, correspondantes à x0, on pourrait déterminer exactement , ou par approximation, en fonction de ces valeurs initiales, les intégrales des équations simultanées, et, par suite, l'intégrale générale de l'équation différentielle de l'ordre n; on en conclura que, dans cette dernière intégrale, on peut regarder les constantes arbitraires comme étant les valeurs initiales de la fonction cherchée y et de ses dérivées. De plus, comme les équations simultanées n'admettent qu'un seul système d'intégrales générales, il en sera de même de l'équation différentielle de l'ordre /i. D résulte de ce qui précède, i° que l'intégrale générale d'une équation différentielle de l'ordre n renferme nécessairement n constantes arbitraires; a° que toute équation entre x et y qui satisfait à une équation différentielle de l'ordre n, en est l'intégrale générale quand elle renferme n constantes arbitraires.