Les divers systèmes d'intégrales singulières de ces

mêmes équations simultanées fourniront les intégrales singulières de l'équation de Tordre n. Comme pour ces équations simultanées, les fonctions Ft, F„... (n° 201), sont précisément la fonction y et ses dérivées j'', y*,.**» Jr(n~~1)> que nous supposons finies et continues, elles ne pourront devenir infinies ou indéterminées, et par conséquent les intégrales singulières , si elles existent , ne pourront être que les valeurs de y qui rendront infinie ou indéterminée la fonction f [xr y, ,/',•••, Jr(n~1,L ou ses dérivées par rapport hy9 j'',....

Nous avons vu que, dans certains cas, les solutions singulières des équations simultanées étaient plus étendues que les intégrales générales, qu'elles pouvaient renfermer un plus grand nombre de constantes , et même des fonctions arbitraires^ il n'en sera pas ainsi d'une équation différentielle de Tordre n. En effet, d'après ce que nous venons de dire , les intégrales singulières de ces équations devront toutes satisfaire à une équation de la forme

<*>!>> r, r',--., x^iy\

ou

c'est-à-dire qu'elles seront une solution particulière ou singulière d'une équation différentielle de Tordre n — i, et ne pourront, par conséquent, renfermer plus de constantes que n'en comporte l'intégrale d'une équation différentielle de Tordre n — i .

En poursuivant ce raisonnement, on descendra, de degré en degré, jusqu'à l'équation différentielle du premier ordre dont l'intégrale renferme au plus une constante, et il sera démontré que les solutions singulières de Téqua-

55û CALCUL IJKTÉGEAL.

don différentielle de Tordre n, ou ne renferment pas de constantes arbitraires, ou en renferment moins de ».

320. Il résulte de ce qui précède, que dans le cas où la fonction f reste finie et continue, ainsi que ses dérivées par rapport à y, y\ /V'-r il existe une fonction y de x qui vérifie l'équation différentielle de Tordre n,

et, de plus, prenne, ainsi que ses dérivées, pour x=x0, des valeurs déterminées yQ7 y'o9 j^,... Mais on peut se proposer un autre problème : on peut rechercher les caractères auxquels on reconnaîtra que la fonction

est la dérivée exacte d'une certaine fonction primitive, ou, ce qui revient au même, quelles sont les conditions d'intégrabilité de cette fonction. Euler a le premier résolu ce problème^ le premier il a démontré, par des considérations tirées du calcul des variations, ce théorème remarquable : pour que la fonction

soit une différentielle exacte, il est nécessaire et il suffit qu'en posant M = DXF, N = DrF, P = Dt,F,..., ou

d¥ = Mdx -f- Nrfr -f- Vdy' -+. Qdy" -f- Rd/* -h...,

on ait N — DXP + DXQ — DXR + . . . = o, ou D,F — DxDyF 4- D;D rfi — . . . = o.

Lcxell, Lagrange et Poisson semblent avoir ignoré qu'Etaler avait établi non-seulement que cette condition était nécessaire , mais encore qu'elle était suffisante , et ils ont essayé d'y suppléer. La démonstration de Lagrange suppose Temploi de séries très-compliquées et dont rien ne

TREWTE-CINCjUIÈMfe LEÇOX. 55 î

prouve la convergence. La formule de Poisson souflre des exceptions nombreuses qur enlèvent, à la méthode, la généralité qu'il lui attribuait. M. Bertrand, aspirant ingénieur des Mines, vient de publier, sur les conditions d'intégrabilité, un Mémoire remarquable qui fait partie du XXVmme cahier du Journal de r École Polytechnique. Après avoir relevé Terreur historique dp Lagrange et de Poisson, et modifié, de manière à la mettre à l'abri de toute objection, la démonstration qu'Euler avait déduite du calcul des variations, M. Bertrand établit, par un procédé simple et ingénieux, la formule de Poisson.

M. Bine t, qui avait remarqué les inconvénients de cette formule, est parvenu à les éviter en établissant, à l'aide d'une méthode qui repose, en partie, sur le procédé employé par M. Bertrand, une formulo nouvelle qui renferme celle de Poisson, quand cette denyère n'est pas en défaut.

Dans la fonction F ou F£r, y, y\ 7",..., y(n)], faisons y = u + aj>, u et v étant des fonctions indéterminées de x9 dont nous pourrons disposer plus tard, et a une nouvelle variable indépendante de x, nous aurons y = u' -h *p' , y" = u" -+- «f" , . . . , x(n) = n{H) -+• «»f*\

F = /\«) = F [x, h -+- *>> a' -h «/,..., *C«) -+- «PC»)]. En différentiant par rapporta ce, et désignant, pour abréger, par F(a*>), F(af'),:.. les dérivées de F, prises par rapport àu + aj', w'-f-aV,..., on aura

df(a) = rf«[*F'H -h</F'(«|/) +...]■

011 intégrera cette équation depuis a = o, et l'on aura

Si, dans cette dernière équation, après avoir fait «= i> on remarque que

CALCUL IHTfoftAL.

on trouvera

+ J,rf«^F'H + »'F'(«f,)+...+ p(-)F(«fW)].

L'exactitude de cette formule suppose seulement que les fonctions

F (*,«,«',...), F'(«*)f F'K)f...fF(«pi-)..-restent finies et continues, par rapport k a, entre les limites o et i : or, on pourra toujours satisfaire à ces conditions en choisissant convenablement la fonction u. Si maintenant on multiplie par /far, et qu'on intégre, on trouvera

= fdx F (*f */, «',. ..) +f**f l{i" l>FV) + »' FV'i ■+■•■•] = |rf*F(x, //, a7,...) -hjldmjdjF[vV H -h i»'F'(«r') +...], D'ailleurs, l'intégration par parties donne /^'F' (*•>') = f<*>F' («p') = pF'(«p '; — / «te D, F' (op'), /<tep"F' (-«»•) = v T(ctu ") — u Dx F(«p ") -h f "te DJ F'(«r "}, ïdxi>"F'{«t> "')= p" F' (*p '") — * ' D, F' («p ")

-h p Di F* («* ") — /«te DiF' («**;,

En substituant, on trouvera

j'dxF(x,u + i>, u'-hi/,...)=J<Lc¥(x, u, «',...)

+^A[P'(^)-D/(i/)+D;FK!M.]

-+-*>' /'fr/« [F (««/')— Dx F (op* )-+-...]+"" / Xr/«[F'(«^)— ...]

TEENTE-CIUQUIÈME LEÇON. 5S3

La fonction sous le signe fvdx, savoir,

fFrH-DJcr(^)-HDiF,(«//)-..]ï n'est antre que la fonction '

?'(/) - D,P(j') + DIP(jr'j -. . .±DÎr ( jO),

dans laquelle on aurait substitué u + a%> à la place dey. Si donc la fonction proposée est telle que Ton ait identiquement, quel que aoit y y

il en résultera que la partie sous le signe Jvdx sera nulle : l'équation précédente ne renfermera plus d'intégration à effectuer relativement i x, et l'intégrale fdxF(x, u + v> u ■+■ *V..)t ou, ce qui revient au même, en mettant pour m sa valeur y — w, l'intégrale y«&rF[x,^,j/,...,j{n)],se trouvera exprimée par de simples quadratures, c est-à-dire au moyen d'intégrales définies prises depuis a = o, jusqu'à a = i .