Réciproquement, si l'expression

F[x, r, rV -, r(m)h est intégrable , on devra avoir identiquement F'(r) - D^F'Cr') 4- DiF'O'")- . . . ±D>( j«) = o. Dans ce cas, en effet, l'intégrale /F (x,yyy\...>yin>)dx pourra être obtenue, et sera une certaine fonction y de x, y, y,...,)''""1), de sorte que Ton aura identiquement

D.*[*. r, r'.-, /— >] = F[x, r, ,v,. . , yt;>].

Substituons, avecLagrange, dans cette équation identique, y-{-6v à la place de yy 6 étant une variable indépendante de x, et m une fonction quelconque de x$ on aura

»**[*/ / ■+■ «•», y -+-^',..., jC— 0 -h C^<"-0]

si Ton différentie par rapport à 6, en remarquant que il viendra, en employant encore la notation abrégée,

I>x[^'(J^^)4-«/^(/4-:iO+•••^(•",)♦,(/•",)-^fr("",,)]

^F" (y-h C^)-h c/F'^'-hCO -h ...-4-^F (><■>+- C«*»>). Cette équation devant avoir lieu quel que soit 6, on pourra faire 6 =^ o, et Ton aura, quels que soient y et r?

Il résulte de cette dernière équation que l'expression

"F'Cr) -h ïF(/) -h. ..-hpOF'trO)

devra être une dérivée exacte quand F en sera une. Or si dans les équations qui donnaient f dx\>'¥'{asf), fdxvrF'(ai>'')y on substitue )',/,/,.,. à H-+*ay, u' + aiJ, iZ-f-a**", ...; puis

qu'on différentie par rapport à x , on trouvera

"' F' ( v' ) = D,[pF'(r')]- oDxF'(r'),

,'/F(rw) = Dx[/F'(r")~.D^F'(r-')]+PDiF(r^,

et l'équation (C) pourra se mettre sous la forme

<{F'tr) - D,F'(r') -t- D,F'(r") - . .± d;f(vc->)] = D*N'(r) +...]- DxU i= D,V.

U et V étant des fonctions déterminées* Le premier membre de cette dernière équation doit être, ainsi que le second , une différentielle exacte \ mais il ne peut Têtre, puisqu'il contient v sans renfermer sa dérivée, il faut donc que les deux membres de cette équation identique soient nuls à la fois, et Ton aura nécessairement

F'(r)-D,F(r')H-DiF(r")-... = o;

ou mieux Dr F — DrDr,F -+- DXD7.F =o.

La seule condition nécessaire et suffisante pour que lYxprcssion F(.r , y, y\ y\...)dx soit une différentiel)* •

TREUTB-CIUQUIÈME LEÇON. 555

exacte et immédiatement intégrable , est donc que l'on ait identiquement

*'Cr) - DxF'(jr') -+- niT'(y") -...= o.

De pins, quand cette condition est satisfaite, on a t fdx¥(x, y, y,...)=fdx¥(x, u, «',...)

I +v' /"<**[F'(«(>")-DXF'(«.'") +...]+...,

et l'intégration de l'expression F(x, y, y\ jr"9 . . .)dx est ramenée à de simples quadratures.

Si dans l'équation (À) on fait u = o, et par suite u = o, a" = o, . . . , il viendra

JW*, X, ï',r"*---)** = fr(*f Ot 0,0,... )Ar

+jr'j^[V'(y*)-*>.*l'(xm)+'--]*>

C'est la formule de Poisson, mais elle manque de généralité; elle devient inexacte quand F(x, o, o,...) devient infinie ou indéterminée, ce qui arrivera, par exemple, si Ton prend

et dans une infinité d'autres cas. Comme la formule de Poisson n'est au fond que la série par laquelle Lagrange

représente l'intégrale IFrfx, cette série sera elle-même

défectueuse si F(x,o,o,o) est infinie ou indéterminée. L'emploi de la fonction u fait éviter cet écueil en faisant disparaître la discontinuité des fonctions.

Exemples : i°. Si F est fonction des seules variables Xj y, on aura

dF = VLdx -+- PW/i

la condition d'intégrabilité se réduira à N = o. Vdx ne sera une différentielle exacte qu'autant que F ne renfermera point ^ , ce qui est évident à priori.

2°. Si F = M + Tfy' =^(Mrfx + Ndy), on aura

et Ton en conclura que Mdx + THdy sera une différentielle exacte quand on aura