OU

,dX

dîi dx

dît

ce que nous savions déjà.

3°. Pour mettre mieux en évidence la simplicité et la vérité du théorème d'Euler, procédons à posteriori. Supposons que Ton ait

JFdx=z — , on en tirera F = - ^- H ^- ,

et Ton aura bien ce qui devait être.

dP d'Q

. D'après ce que nous avons vu, lorsque la condition d'intégrabilité est remplie, l'équation qui donne la valeur

de l'expression I ' Fdx se réduit à

J'fdx = <p(xt , y,, y\ , ï\ ,-.,*o,/o, /o>— )•

Concevons actuellement que, sans changer la fonction de x que représente j- ? on différçntie les deux membres de cette dernière équation par rapport à xx qui est arbitraire : il viendra

et par conséquent, en supprimant les indices, on .voit qu'indépendamment de toute relation particulière entre y et x, F est la dérivée, par rapport à x, de la fonction <p, dans laquelle on considérerait les quantités relatives à la limite x0 comme des constantes, et où Ton supprimerait les indices de celles qui se rapportent à la limite x%\ on en conclura immédiatement que, pour effectuer l'intégration dans le cas où la condition d'intégrabilité sera remplie , il suffira de donner à la fonction y une forme particulière telle que Ton puisse, à l'aide d'un nombre convenable de paramètres ou de constantes arbitraires, disposer des valeurs extrêmes de cette fonction et de ses n — i premières dérivées relatives à une des limites de l'intégration. L'intégrale ne se trouvera dépendre que de ces valeurs extrêmes et de celles qui se rapportent à l'autre limite , lesquelles devront être considérées comme des constantes^ et, en remplaçant les premières par x, jr7 y y . . . , jrC»-1) 9 on aura l'intégrale cherchée*

Exemples :

F = ix -+- jr* H- ixy y' -4- xy" •+- x%y" — y' \

posons

y = a -h bx -+- ex*, d'où

F==axH-(a4-^4-rxaf4-2^-h^-f-cx»)(6-H2€x)--^

il faudra intégrer cette expression entre les limites x0, x%\ or

f*l2xdx = *J — *J,

J'(a -h bx -h cr1)*^ = xx(a+bxt 4- c^)*— Xo(fl 4- àxo+cxl)*

— I xix (b -+- 2cr) (a -f- bx -h cx*)dx ; J x0

en ajoutant et remarquant que l'intégrale

/l2x(b -+- t.cx) (a -+- bx -+- cx%)dx

disparaît, il vient, après quelques réductions,

x)— x\ — b(xx — XoJ+x^û -h 6*, -h cx\)*— x0(a-hbx0+cxl)*.

Il reste à introduire dans cette expression les valeurs extrêmes de y et de ses dérivées y\ y"\ or, on a

a -f- bxx -+- ex] = y\ , 6 = /, — a/Jx,;

en substituant , regardant comme constantes les valeurs initiales x0,y0, /0,/0, et changeant xuyu y\ ,y\ , enx, y^y^y") on aura définiti vementpour l'intégralecherchée,

x* H- *ra — *r' + **/" ■+■ C.

Au lieu de or1 + bx + c, on aurait pu employer toute autre fonction telle que le nombre de ses constantes permît de disposer arbitrairement dey et de ses deux premières dérivées. L'habitude du calcul indiquera , dans

TRENTB-CIWQUlèME LEÇOH. 559

chaque cas particulier, la fonction que Ton doit choisir pour rendre les intégrations plus faciles.

223. On déduit facilement de ce qui précède les conditions que la fonction F doit remplir pour être intégrable un certain nombre de fois, indépendamment de toute forme particulière attribuée à y. En effet, comme on a

JdxfFdx = x ffdx — fxFdx,

et que, par hypothèse, JYdx .est une différentielle exacte, la fonction F sera deux fois intégrable si Ton a

D7.xF — DxD^.xF -h DjD^.xF -h..== o.

En développant le premier membre, et ayant égard à la première équation de condition

D;F-D,D^F + DiD7.F +...=: o,

on trouvera , pour la seconde condition cherchée ,

D^F — aD.D^F -f- 3DîD^F 4-...= o.

En partant de l'équation

\dx fdx fedx = — JFdx — x fxFdx -+- - Tf*1***,

on trouverait de même que F sera trois fois intégrable si, en outre des deux équations déjà obtenues , on a identiquement

D,.F '— D,D,«F + — Dî IX,t F+... = o.

En général, la fonction F sera m fois intégrable si Ton a

^ « fm-f-i)iit...a^ ^ ^F-,.a.3...mD-D^°F

56o CALCUL INTÉGRAL.

Cette formule a été donnée d'abord par Lexell ; on en déduit toutes les conditions précédentes en donnant à m toutes les valeurs depuis o jusqu'à m et remarquant que jr<°) = y. On en conclut que les conditions qui expriment que la fonction F est n fois mtégrable, ou que F<£r" est une différentielle exacte de Tordre n9 sont au nombre de w. Il est de plus évident , d'après la manière dont nous y sommes parvenus , qu'elles ne sont pas seulement nécessaires, mais de plus suffisantes.

224. On étend sans difficulté ces raisonnements à une fonction différentielle d'un ordre quelconque, et d'un nombre quelconque de variables y, zf. . . ,

Remplaçons en effet, dans cette fonction,^ par ut +aMt, z par i/t + a^,,..., et désignons par/* (a) le résultat de cette substitution, en sorte que Ton ait

En différentiant d'abord par rapport à a , puis intégrant entre les limites a = o et a = 1 , on formera , comme cidessus, l'équation

+j*dm[t>tr (***)+ p\ F'KJ-h...] -+■ J'ldm[»%F' (*»,) + v'z *'(*»',) H- etc.. ].

En multipliant par <£r, intégrant par rapport a .r , entre les limites x0, x,, et réduisant à l'aide de l'intégration par parties , on décomposera le second membre en deux portions : l'une, ramenée à de simples quadratures, et qui dépendra uniquementdes valeurs extrêmes de jr,jp, j^',...,

*,*',...* mais nullement de Ja forme des fonctions f^ m,,...^ l'autre, formée d'intégrales doubles, dépens ; dantes de la forme des fonctions *>,, fSv> V3^ ser9L *

+J^d*ft>xdx[Y'{*s>%)- D,F'(«c/,) + DiF'K)-..]t

et qui devra nécessairement s'évanouir pour que / F(x)<ir soit une différentielle exacte ou soit immédiatement intégrable. Comme d'ailleurs les fonctions pt, *>t,... sont entièrement indépendantes les unes des autres, on devra avoir ■*•

F '(«*') - DxF'K) -4- DJF'(«p*) -...= o, F'(«,,) - DXF'K) 4- DiF'(«/t) -...= o,

ou , ce qui revient au même ,

F'OO - D,F'(r') 4- DiF'(r") -...= o, F'(i) - D,F'(»') -h D»F'(s") -...= O,

ou mieux encore

D7F — D,D,,F -+- DÎD/WF — ...= o, D,F — D,D„F -h DiD^F — ...= o.

225. Terminons par quelques remarques dues à Euler. En multipliant par dx le premier membre de l'équation de condition

D7F — D,D7,F -+- DJD^F — ... = o, que Ton peut écrire comme il suit

N — DXP -h DJQ — DJR -+- ... =o, et intégrant , il vient

Kd.r - P + DXQ - DiR -h Dî S — ttc = C,;

T. ii. 36

Von en conclut que Ndx est une différentielle exacte même temps que F//x. Multipliant de nouveau par àx ntégrant t on aura

jdJflldx — ?) "+- Q — D.R-+-DÎS— ...=Cx+C,;

donc, dx( flidx — P] est encore une différentielle exacte. Il en sera de même de

<**[/( /ïW* — *)«** + Q], e

dx j /<**[( f N<** - i\â* 4- Q] — Rj , . . .;

donc, si F désignant une fonction de x, yy y' \ y ",..., y{n)> l'expression Fdx est immédiatement intégrable, en

F = Mrfr H- Nrfj -h P<*r' -h QdTj" -h R<fym -+-...,

V — j)ldx=P, Q-|m = Ç, R — Ççdx=R,...,

les expressions N*£r, P<4r, Qdb:, Rdxf. . ., seront ellesmêmes immédiatement intégrables , ou seront des différentielles exactes indépendamment de la forme de y . La manière dont nous sommes arrivés à cette conclusion prouve , de plus , que réciproquement , si ces diverses expressions sont des différentielles exactes, il en sera de même de \?dx\ et comme on a d'ailleurs

on en conclura facilement que si Y dx est une différentielle exacte, il en sera de même de

<ZrDrF, cUT)*F, r/xDjF,

TRENTE-CUrQUlÈMB UÇOH. 563

Le nombre des fonctions P, Q, R,... étant égal au nombre qui indique l'ordre de l'équation différentielle, les fonctions P, Q, R qui en dérivent, devront, après un certain nombre de dérivations, s'évanouir ou devenir des fonctions de la seule variable x.

*^*../M,-rt£+4±,

d'où

^ xy" x*y" x xy"*

—(i+y'*f 3/l/i + /' y"(i+y")î ™ x"y" + * xy""

(^+4■r/•)^^'-^■r,, Zyy'S/i+y7' 3y\Si+y'* 3yy'fV'ï+~:

te *f *>r" ^xyTTyr xy-*

on trouvera

fi*.-iagt /f-.=az^2, /^--'(yf

il = R — f Ç<ir = o

priétés générales et intégration des équations linéaires de Tordre * i coefficients variables ou constants > avec ou sans second membre.

226. L'équation différentielle linéaire de Tordre n est celle dans laquelle la variable indépendante y etsesdéri-

entrent au premier degré, et ne sont pas multipliées l'une par l'autre. La forme générale de cette équation est

(i) D^-f-À.D, r-hA,Dx r.H-An tD,/4-AJl^=:X...y

Ai, A2v.., A„, X étant des fonctions de la seule variable x. On ne sait pas intégrer généralement celte équation , mais on a pu mettre en évidence plusieurs propriétés remarquables qui rendent plus accessible le problème de son intégration.

Première propriété. L'intégration de l'équation différentielle de l'ordre n avec second membre X, peut toujours être ramenée à l'intégration de cette même équation sans second membre

D^j + À.D, jr+A2D, rH-...4-A.lDxr-t-A(,<r=:o. Démonstration. Faisons y = ux j % vxdx, ut et p, étant

deux fonctions indéterminées de x ; comme on a , en vertu d'une formule connue,

I. . u» = vDs u -+- — Dx «D,i>H s *DX uDx v -H . . ..4- i*D,p,

on aura généralement

t= I>, «« Pi^r +wD, m^, ^ s - Dx ii, Dx «», -K . .4- w, D, •»,

et, en substituant dans l'équation (i), pour y et ses dérivées leurs valeurs , on trouvera

[D.tf.+À.D" '«,4-A.D, J «,+...+ A^D,*. +A,«,J

-h£/f| Dx Ipi4-B,D^ \-*-...4-Bji 1D,pi4-Bmi>sJ=ï=X,

fit , B„..., B,,.! étant des fonctions déterminées de x et de ut. Cela posé, si Ton sait intégrer l'équation linéaire sans second membre , on pourra choisir ut de manière à satisfaire à l'équation

D^if.-t- A,DX u.+A^D, K.-K..-+- A„1DJta1-f-AllaI=:o,

ce qui fera disparaître le coefficient de f vtdx et ramènera immédiatement l'intégration de l'équation d'ordre n avec second membre à l'intégration d'une équation de même forme , mais de l'ordre n — i . Dans cette nouvelle équation, on fera vt = utfvtdx^ et l'on n'aura plus à intégrer qu'une équation de l'ordre n — i sans second membre , avec une équation de l'ordre n — a. avec second membre. Par une série de substitutions semblables, on abaissera de plus en plus l'ordre de l'équation différentielle proposée jusqu'à ce qu'on l'ait réduit à l'unité. Donc, lorsqu'on sait intégrer l'équation linéaire d'ordre n sans second membre , Pijitégratioh de l'équation avec

566 CALCUL IlfTÉG&AL.

second membre se trouve elle-même ramenée à l'intégration toujours possible d'une équation différentielle linéaire du premier ordre, et peut par conséquent être réalisée.

227. Deuxième propriété. L'intégrale générale de l'équation différentielle linéaire de Tordre n, avec second membre, se déduit, au moyen d'une intégrale multiple, des intégrales de n équations différentielles linéaires sans second membre.

Pour fixer les idées et rendre la démonstration plus sensible, considérons en particulier une équation du troisième ordre

Di r + A,D;/+ A,DX y -h A3 y = X; faisons y = ut f Vt rfr , nous en tirerons

D, y = Dx ut j e,<*r -h utvlt

Dir ^DJrUt f vxdx 4-2DT«l«'I + «,Dxc,)

Di y = Di ux Çvtdx ■+- 3 Di a.f. -h 3DX «, D.v. -+- u, Di •»,.

Substituant ces valeurs et celle de y dans l'équation proposée , et posant , pour abréger,

3Dia, •+ 2A, D,ii, + A2tf, = Ba«, , 3 Dxm, -+- A,ifT = Ba, on aura , (Di a, -h A, Di*, -f- A^D,!*, -♦- Ai) f *,dx

-htti(D>, + B1D,»l-f-B,<',) = X,

et si l'on choisit pour w, une des intégrales particulières de l'équation

Di ut -h A,Di*/f -4- AaDx«,-h As«t = o,

* TREHTE-SIXIEME LEÇOIf. 067

il viendra

Faisons de nouveau Vi = i/f f v%dx , ut et v% étant deux nouvelles fonctions de x; en substituant, et posant

on aura

(Dia.+B, D^ii, 4- B.w,) K <ix-+- wa (Dx *>a -f- C, p,) = - »

«/ Mi

et si Ton choisit pour ut une des intégrales particulières de l'équation Blut + Bj D,m, + B, u, = o , il viendra

Dxf>a 4- C,?, =

Faisons enfin *>, = u%fv*dx\ en substituant, il viendra

( D, 1/3 4- C, ttj) / <'3<** 4- «3 «'3 = »

J ux ux

et en prenant pour u3 l'intégrale de l'équation linéaire du premier ordre Dxu% •+- Ci ut = o, on aura

En remontant de proche, on déterminera tour a tour vt , *>t , et par suite jry qui sera donné par l'équation

y = m, I u2dx I uidx I

17 J J J utu2

Xdx — > «3

dans laquelle ul9 ut, m8 sont les intégrales d'équations sans seconds membres.

En généralisant ce que nous venons de dire, et appelant toujours m,, m„ !#*,•-•' "n les intégralesdes n équations sans seconds membres que l'on obtient par les sub-

CAJXVL INTÉGRAL.

uons successives, od aurait pour l'intégrale générale ■f [ualïon différentielle linéaire de Tordre n ,

r = at \ uxdx t u i dx , . » / u^dx t — ■

Î28. Troisième propriété . L'intégrale générale de !*équa- >n différentielle linéaire avec second membre se déduit 1 moyen d'une intégrale multiple des n intégrales par* ulières Ut, Uf , . . . , Un de l'équation sans second membre.

Pour le prouver, il suffit de montrer qu'on peut, tous les cas, substituer aux n intégrales particulières 19 uS)Us,...,ttn, qui appartiennent à /»• équations difféentes, les n intégrales Ut , = i#t, U, , U8,..., Un de la seule équation

D^-hA.D" lu-\-A2T>x ," + ". + Afl ID,«-hA»« = o,

qui est F équation proposée sans second membre.

Raisonnons encore, pour plus de simplicité, sup-Péquation différentielle linéaire du troisième ordre. Multiplions l'équation Dx m, + AtDlui -f- A,Dxm1 + À,u1 = o par f utdx, et ajoutons à ce produit l'équation

après y avoir substitué pour B,, B, leurs valeurs, ou aura

Di w, / ntcLc H- 3 Dxtt, i/a -+- 3DX ux Dx u2 -+- w, Di ut

H- À, f Di u, j u^dx -fîDxtt, u2 -4- u, Dx wa J -f AJDxM, / u^dx-\-ulu1 J-hA5Wi //*,<£r = o.

Or, il est aisé de voir que les polynômes qui composent le*

TEBHTErSIXIÈME LEÇON. 569

différents termes du premier membre sont, abstraction faîte des coefficients A, , A», At ,1e produit ut/utdx^ et ses dérivées première , seconde, troisième, de sorte que l'équation qui précède peut se mettre sous la forme très-simple

I>J •«, Ju%dx -+- A.Di.a, futdx -+- AaD,.u, f u2dx -h A&, L%dx = o ,

et l'on en conclut que si l'une des intégrales de l'équation sans second membre

est Uj = U„ Uj f ut dx sera une seconde intégrale de cette même équation ; et, en appelant cette seconde intégrale U, , on aura '

U, = U, / Utdx, et par suite ut = Dx ^r :

uM d'ailleurs est une intégrale de l'équation

Diw.-hB.D^tta -hB.m, = o.

Si l'on désigne par u\ une seconde intégrale de cette même équation, on prouverait, en raisonnant comme nous venons de le faire, que U5 = U, f u,dx serait une troisième intégrale de l'équation sans second membre , et Ton aurait

donc, si Ut, Ut, U» sont les trois intégrales de l'équation sans second membre

Diw -f- AxD7xu -*- A,Dxi* -f- AiU = o,

les intégrales de l'équation

DJ ut 4- B, Dx «, H- B, u2 = o

seront O, — , Dx— •

Remarquons enfin que l'équation D* m, + Ct u% sa û

t, à Tégard de l'équation Dxut + B, D^ ut + Bt ut =o,

> que cette dernière équation était par rapport à

te -+- A , Dî u H- Às D, u + A, « = o. On aura donc

Aussi

*, par conséquent ,

j68 intégrales ul9 ut sont donc exprimées au moyen des intégrales Ut, Ut, Us de la seule équation

Djftt -h A,Dli* -H AaDxa -h A3K = o.

En substituant à uft, uf, ms leurs valeurs dans F équation qui donne la valeur de y ou l'intégrale de l'équation différentielle proposée , on trouve

D*tf,

Il est évident que ces raisonnements s'étendent d'euxmêmes à une équation d'ordre quelconque. En appelant U19 Ut? Us?* • •• Un les /) intégrales de l'équation sans second membre

d'u-hA,^ 'k+A,d" *«-H...-hAB 1D,ii-hAlla=o,

les intégrales w„ w5, i/4,. . . , un des équations qu'on en déduira par les substitutions successives y = uxJ e,d!r,

TREHTE-SIXIEME LEÇON. 87!

m, = ut J v^dx, seront

D*u;' "-tût- Dxû;

et la valeur générale de cette intégrale sera

Appliquons cette formule à l'équatiou D'xy — y = x : l'équation Dxu — u = o a les deux intégrales particulières Ut = er, U, = e~" } donc

, en posant = Ct,