Cxe~* 4- C,e» — x

Telle est l'intégrale générale cherchée.

L'expression générale dey, sous la forme qui s'est présentée d'abord , renferme n intégrations successives qu'il est facile , dans tous les cas , de réduire à des intégral^* simples. Posons , en effet ,

«»fr =«"«> «« — rr =<*•«-> • • • r? — =««■»

5j* CALCUL INTÉGRAL.

on aura

y = U, jduH fdu^ {du*-.*. . jdui Jdu> ldut , et, par suite , en intégrant par parties, y = U, jdum idu^t. . . JdiiJutUt — |m«« J

= Uf fcfo„ Jdu^... fduA uJ «*«!— Ju*duA— fuidf uzut — Jtfa<foi

et ainsi de suite.

229. Quatrième propriété. Si l'on connaît m intégrales particulières de l'équation différentielle linéaire sans second membre, on pourra toujours ramener l'intégration de l'équation avec second membre à l'intégration d'une nouvelle équation linéaire de l'ordre n — m.

Démonstration. Soient Ul5 U„ ..., Um les m intégrales particulières données : en posant y = Utfvdx et substituant dans l'équation différentielle avec second membre, le coefficient de J vdx s'évanouira, et cette équation avec second membre sera remplacée par la suivante d'ordre n — 1 ,

(3) d""1" 4- B.D" "% -+-...■+■ B„,Dxp •+- ».,••= X,

et ? comme nous l'avons prouvé , des m intégrales particulières U,, Uj,. . ., Um, on déduira m — 1 intégrales

particulières V, = Dx Hj , V, = D, g, . . . , V„, = D, -^

de l'équation (3) sans second membre

D* V-f-B^r*'' -K.H- B^Ap -4- Bn xv = o. En faisant d'ailleurs dans l'équation (3) v = \\f wdx.

on la ramènera à une nouvelle équation d'ordre »r-a, (4) lC%w + C, d7" «* +— + Q.-.3 D,w + C—%w = X,

et Ton connaîtra m — 2 intégrales W, ==Dx=p, ,

▼ 1 y Wm t = D, -~^ , de l'équation sans second membre

D, w+CD, «'4-... + C^D,«> + CIM«' = o...,

que l'on ramènera à l'ordre n — 3 à l'aide de Wt ou de U, qui sert à calculer Wt.

En continuant de la sorte , on verra que chacune des intégrales particulières données UH Ut, . . . , Uw sert à réduire d'une unité l'ordre de l'équation différentielle proposée, et que, par conséquent, cette équation peut être ramenée à une équation de l'ordre n — m.

230. Cinquième propriété. Si Y1? Y„. . ., Yn sont n intégrales particulières de l'équation sans second membre, et yt une intégrale particulière de l'équation avec second membre, les intégrales générales des équations avec ou sans second membre seront respectivement

y = ClYl + C,Ya H- C3Y3 -h... H- CY» + /„ Y = C.Y, + C.Y, + C3Y3 4-...+ C.Y„.

Démonstration. En effet, i°il est évident, dans l'hypothèse admise , que les valeurs y, Y vérifieront respectivement les équations avec ou sans second membre; a° ces valeurs renferment n constantes arbitraires ; donc ce sont les intégrales générales cherchées.

Remarquons, toutefois, quej^, Y ne seront les intégrales générales qu'autant que les n constantes étant réellement distinctes, on pourra en disposer de manière à faire prendre , pour x = x07 à la fonction y et à ses n—i

574 CALCUL WTÉOR1X.

premières dérivées, des valeurs arbitraires données jw yo, . . . , y£~~l)* Si l'une des intégrales particulières était liée avec une ou plusieurs des autres par une équation complètement déterminée , si Ton avait , par exemple,

Y3 = aY, -h *Y„

la somme Y deviendra

Y = (C, -4- aCi)yx 4- (C. 4- b&)y% -h. ..H- Cr^

ou

Y = CYt -4- C'Y, 4- C4Y4 -+-. . .4- C.Y.,

et ne renfermera plus que n — 1 constantes arbitraire:.

234. M. Libri a poursuivi, avec quelque bonbeur, l'analogie remarquable qui existe entre les équations différentielles linéaires et les équations algébriques ordinaires, analogie que le théorème de Lagrange mettait déjà en évidence, en démontrant qu'on peut abaisser Tordre d'une équation linéaire d'un nombre d'unités marqué par le nombre des intégrales particulières données , comme on peut diminuer le degré d'une équation algébrique d'autant d'unités que l'on connaît de racines. Les propositions suivantes feront mieux ressortir cette analogie.

Sixième propriété. Une équation différentielle, linéaire au moins dans ses deux premiers termes, peut se réduire à une autre équation de même ordre sans second terme.

Démonstration. En faisant dans l'équation

D" y 4- A.d]-1 y 4- AaD* \y 4- ... -h A^, D, y + A./=X

y = i*f\ on aura une nouvelle équation d'ordre n dans laquelle le coefficient de D7"'a sera nDxv -f- A,p; et comme on peut toujours satisfaire à l'équation différentielle du premier ordre nDxt> 4- Ai v = o, on pourra ,

dans tous les cas, choisir e de manière à faire disparaître ce second terme.

Plus généralement : étant donnée une équation différentielle dont les m + i premiers termes sont linéaires , on pourra toujours faire disparaître le m+ iièm* terme à l'aide d'une équation linéaire de Tordre m.

232. Septième propriété. Lorsque deux des intégrales particulières de l'équation linéaire sans second membre ont entre elles une relation connue , on peut abaisser le degré de l'équation.

Démonstration. Supposons que les deux intégrales particulières yu yt soient liées entre elles par la relation jri = <f(jyOî on pourra, dans l'équation donnée, substituer <f(y) à y, et l'équation résultant de cette substitution servira à l'élimination de la dérivée de l'ordre w, de manière à n'avoir pour résultat qu'une équation linéaire différentielle de l'ordre n — i. Ainsi, par exemple, si l'on sait d'une manière quelconque que dans l'équation Dl y — y = o, les deux intégrales particulières^ etyf sont liées entre elles par l'équation

yt = — , on remplacera, dans l'équation Dly — y =o, Y*

y par -, ce qui donnera

Diy — - Vxy> -h y = o,

et en éliminant Dly entre ces deux équations, on trouvera

D,j* = v>, Dxr = ± y, y = Te**;

les deux intégrales particulières seront

yx = Cte>, y2 = Ct-'y

CALCUL mTÊCÎUL.

__.e générale sera

h Huitième propriété. Lorsqu'on connaît les inté-

aies particulière;! d'une équation linéaire sans second

membre, on peut toujours former les coefficients de cette

équation par des opérations analogues à celles qui servent

former les coefficients des équations algébriques en

onction symétrique des racines.

Démonstration, Appelons yu yu. . ., ym les « intégrales particulières de l'équation linéaire

V*tX + Àj£~V ■+■ A,D"~V -H . . .+ A^t D.j -f- Am = o, et y son intégrale générale, on aura

et si Ton pose y = yxfzdx , il viendra

j.d" ,z-h(/iDJt>r1-+-AI^I)Dx"VH---- %

-+(Dxyt H- Axd"~Vi -K..H- A^/^irrro;

ou bien , en remarquant que le coefficient de Jzdx est nul, et divisant par yu

d" Wb.d] ^+...4- Bn, z = o, et

«Dxj, -h \1yl = Btjrlt A, = Dx/X -f- Bf.

De plus , l1 équation en z a pour intégrales particulières

les n — i quantités Dx"^, Dx — , Dx — , et si l'on répète

Xi X* Xt sur cette équation l'opération que nous avons faite sur

THEKTE-SIXIBME 1EÇON. 5^7

l'équation donnée, on trouvera

on calculerait Ci, D,,. . ., comme on a calculé A,, B,, et comme, après n transformations, on parviendra nécessairement à une équation dans laquelle le coefficient du second terme sera égal à o , puisque le degré de l'équation différentielle diminue d'une unité à chaque opération, la série des termes An Bfl, Ci, . . . s'arrêtera, et Ton aura, en substituant,

(*-i)Dî£ D,£ At = Dx/t —

Pour appliquer cette formule à un exemple, supposons que Ton donne l'équation Dîy — m* y = o : les deux intégrales particulières sont^i = Cie*"*, y% = C%e"^* ; on a d'ailleurs n = 2; en substituant ces valeurs dans la formule qui précède , et nous arrêtant aux deux premiers termes , il viendra

= im — a/w = o.

At est donc nul, comme cela devait être, puisque l'équation donnée n'a pas de second terme.

578 CALCUL IHTéMAL.

On, pourrait obtenir, par une analyse semblable, tous les coefficients A,, At, . • . , A* en fonction des intégrales particulières y^ y%, . . . ,^R.

En général, étant données n fonctions de x, Ft(x), F« (x),. . .. Fn(x), on pourra déterminer les coefficients de l'équation différentielle linéaire de Tordre n qui aura pour intégrales particulières ces n fonctions; et il n'existera qu'une seule équation différentielle linéaire de Tordre n, qui satisfasse à cette condition , comme il n'y a qu'une équation algébrique d'un degré déterminé qui ait n racines données.

On peut déterminer plus facilement les valeurs de A,, A8, . . . , A„ de la manière suivante. Si Ton élimine successivement ces n — 1 quantités entre les n équations

Vxyl -h A,DX /, 4-... -h K?i = o, Vxy* -4- A.D" Vi -K..-+" ABj, = o,

DMym -h A^, yn -4-... 4- A,/* = o,

en considérant les différentielles D^jr,, D;~"' j^,. . . comme des coefficients connus y on aura la valeur de At telle que nous Pavons déjà donnée. Pour en déduire la valeur de A, , il est clair qu'il suffit, dans l'expression de At, de changer Dr^i en Dnx-yx,J)^yt en DT^t,-» et réciproquement, sans changer aucun des termes qui contiennent d'autres différentielles , on obtiendrait , par des permutations analogues, les valeurs de At, A,,. . . . M. Libri fait observer que les quantités^,, jrÈJ. . ., y» forment une espèce particulière de fonctions symétriques; que non-seulement on peut permuter ces quantités entre elles , d'une manière quelconque , comme les racines des équations algébriques, dans la formation des coefficients At, At, . . . , mais qu'on peut encore écrire, au lieu

TREÏITB-SIXîfeME LEÇON. 579

de l'une quelconque yt de ces quantités, la somme du la différence d'un nombre quelconque d'entre elles, sans que la valeur des coefficients en soit altérée. Si , par exemple, pour l'équation Diy =zm*y, au lieu de faire j't = Cte"", y* = Cje-"", on posait yl = Ciemx—emx, y% = C,e"-mx, on trouverait encore At = o. Ce nouveau genre de fono tions paraît mériter l'attention des géomètres.

234. M. Libri avait encore énoncé, relativement aux équations linéaires, le théorème suivant : «Une équation linéaire à deux variables de l'ordre n étant donnée, si l'on connaît les coefficients d'une autre équation différentielle de l'ordre m, également linéaire, entre les mêmes variables , et qui doit exister en même temps que la première, on pourra toujours, à l'aide des coefficients de ces deux équations, et sans effectuer aucune intégration , former une troisième équation linéaire de l'ordre n — m, de telle manière que l'équation de l'ordre n sera décomposée en deux autres qui seront respectivement de l'ordre m et de l'ordre n — m, et à l'aide desquelles on pourra intégrer l'équation proposée. » On voit qu'il n'est plus nécessaire , comme dans le théorème de Lagrange , de connaître une ou plusieurs intégrales de l'équation proposée pour opérer une réduction : il suffit d'avoir deux équations simultanées pour que l'équation de Tordre le plus élevé puisse être réduite à deux autres équations plus simples. Cette réduction répond h la possibilité de partager une équation en deux autres lorsqu'on sait qu'elle a pour facteur un polynôme de forme donnée.

M. Liouville a publié le premier la démonstration de ce théorème fondamental. La voici telle qu'il l'a donnée dans les Comptes rendus des séances de F Académie des Sciences. Soit

580 CALCUL IÏCTÉGRÀL.

une équation différentielle linéaire de l'ordre m -+- ny et D,*-+-B,D, z -f- B,DX î+...= o

une autre équation différentielle linéaire de Tordre m, dont toutes les intégrales appartiennent en même temps à l'équation de Tordre m -+- w. La valeur générale de z renferme m constantes arbitraires, et celle de y doit en contenir m + n; cette dernière sera donc de la forme

y = * H- C + Cr, -h... 4- G,/,.

Cu Cti. . ., C„ étant des constantes arbitraires. Faisons maintenant

u = D*j ■+- B.D^V+BaD^ 'jr -+-

Si Ton met pour y sa valeur dans le second membre de cette équation, z disparaîtra de lui-même en vertu de T équation

D^+B.D, z-H-BaD, *+...= o:

le résultat de la substitution scia donc une fonction linéaire des constantes (?,, C,,. . ., Cn j par suite , m satisfera à une certaine équation différentielle linéaire du rihne ordre dans laquelle les constantes n'entreront plus. Représentons par

Dx u ■ -\- cx DT u -f- at Dx u -+-...= o

l'équation de Tordre n dont il s'agit. Je dis que Ton peut aisément déterminer les coefficients ai9 at, . . . .

Pour cela, j'observe qu'en différentiant la valeur de u plusieurs fois de suite, on obtient successivement les va-

leurs de DxW, D£ii,..., D^"V/, Djja, lesquelles sont de la forme

Dx<* = D, / + /,Dt x ■+"• Portant toutes ces valeurs dans l'équation

elle deviendra

i>rv + /.

-f- ax

De sorte qu'en comparant cette dernière équation à l'équation donnée #

m-+-n m-Hi— i

D, j-4-A.D, r-K..=o, on aura

/, -+- fli = A„ /, 4- AtA, -h *, = A,... .

On a donc ainsi m + n équations dont les n premières fournissent successivement et sans intégration les valeurs de a,, a,,. . ., a„. Le3 suivantes conduisent aux équations, de condition qui doivent être remplies pour que l'équation en y de Tordre m -f- n soit vérifiée quand on fait y = z , ou pour que les intégrales de l'équation d'ordre n soient communes à l'équation d'ordre m + n. En supposant ces équations de condition satisfaites , l'intégration de l'équation d'ordre m + n se trouve dépendre des deu^