CALCUL

équations

• , Dx M -h «i

qui sont respectivement de Tordre m et de Tordre n. De plus, d'après la manière dont les valeurs des quantités at, a„ . . ., an sont formées, il est évident qu'elles ne dépendent que des n premiers coefficients des deux équations données, ce qui complète la démonstration du théorème de M. Libri. Il résulte de là une simplification remarquable : En effet , si dans les deux équations simultanées ces n premiers coefficients sont constants , l'équation Dji* -+-...= o aura aussi tous ses coefficients constants et pourra, comme nous le verrons plus tard, être immédiatement intégrée , ce qui réduira T équation de Tordre n +wà une équation de Tordre m.

235. Pour donner encore un exemple de T abaissement des équations linéaires, supposons qu'on nous donne les deux équations simultanées

Dix + A,D,r -f- Aa r = A3z, Dis -h A,Dxs -h Aaz = A3^;

il est clair qu'en éliminant z entre ces deux équations, on aura une équation différentielle linéaire du quatrième ordre, qui sera de la forme

Dix ■+- atD\x -+- a%Vlx -+- «iDx/ + *4 = 0;

si Ton éliminait j'entre ces mêmes équations, on aurait précisément la même équation en z

D*xz -\- atDlz -h a*Dlz -4- *3D,s -f- aA = o;

d'où il résulte que les quatre intégrales particulières dont la somme forme la valeur complète dey, sont les mêmes que celles dont se compose la valeur de z. Mais si Ton fait z = y dans les deux équations données , on aura les

deux équations

Dir -f- A.D^j -+- (A, — A3)/= o, Di* -h A,D,« -4- (A, — A3> = o,

qui serviront à connaître deux des quatre intégrales particulières que nous cherchons. Quand nous aurons trouvé les deux intégrales particulières de la première de ces équations, nous nous en servirons pour réduire au second ordre l'équation du quatrième ordre en y, et Ton voit que les deux intégrales particulières de cette équation réduite au second ordre auront entre elles un rapport exprimé par l'équation

Djx -h A,D,z -f- A,z = Aizy

et ce rapport servira pour trouver directement ces deux intégrales à l'aide d'une équation linéaire du premier ordre.

IntégraUon*de l'équation linéaire de Tordre n à coefficients contient*, avec ou sans dernier ternie variable.