Supposons que dans l'équation

les coefficients A,, As, A8,. . . , A„ soient des nombres, X restant une fonction quelconque de la variable indépendante or, et cherchons son intégrale générale. On peut y parvenir par diverses méthodes que nous allons exposer successivement.

ire Méthode. Réduction de l'équation différentielle de Tordre n à un système de n équations linéaires du premier ordre. Si Ton fait

Dxr = y, Y>sy' = r",.. ,

l'équation proposée deviendra

Dxr(»-0 -+- AtD,/("-») -f- AaDxj'n-3) 4-...

-f- K-xX' •+• K.r = X,

et Ton aura à intégrer n équations simultanées du premier ordre; or, si Ton multiplie respectivement les/i — i premières équations par des coefficients indéterniinés0(n~i\ 6(B~,,,..#, 0", ff et qu'on les ajoute à la dernière, il viendra

D^yt"-') -h b'y\*-*) -+- G"j("-3) -+-. . ,-f. Q(*-*)y 4- $(*-»)/] -H (A, — '/)j(-0 -h (A, — V')y- "H-. . .

TREWTE-SBPTIEME LEÇON. 585

ou, en posant

/= r(^')4.fi';M + 0V(^,+---+*(M)r'+*(l,~1).r> A, — 0' = *, Aa — 1T=W, A3 — 6" = W",..., ' A^, — 0("-O =06(»-»), A,= M»—), Dxf H- 6/ = X, rff -4- Qtdx = Xdx.

.De celle dernière équation , on tire , en intégrant ,

t = *-**(C-h fXe**dx), OU

=re?-C*(C+/X***<ir).

D'ailleurs, en posant 0 = — r, les équations qui déterminent ff9 0", 0",. • .-, 0("-,>, eîn-1} donnent, par des substitutions successives,

P t = An, -h An 3r-+- A 4 r» -K..-+- A,rM 4- r— *,

o SÀ.+ W+ AM/*-H.. . + Alr"-IH-rl».

Cette dernière équation , que Ton déduit de l'équation différentielle propesée , en remplaçant respectivement les dérivées D;js D^J,. • -, D]j, Dxj, par r", r"-1,. . ., r*9 r; jr = D°xj par r° = i • X par zéro, donnera pour r, n valeurs , et, par suite , pour fl', 0", . . . , fif"-1) , n systèmes de valeurs. De ces n systèmes de valeurs résulteront n intégrales de l'équation

dt -h Btdx == Xdx.

En représentant par r,, r„ r,, . . . , /•„ les n valeurs de r,

%K"',) les m systèmes de valeurs correspondantes des cœffi-

586 CALCUL IHTÉOE1L.

cients ?, 9", . . • , 6(n 1), les n intégrales seront

= ^»*(C' -f- fTLe~r**dx),

La valeur de ^, tirée de ces n équations du premier degré, renfermera n constantes arbitraires, et sera l'intégrale générale de l'équation proposée.

La formule x = — r — , — - ; — > quenous avons

Z ±a0bxc%. . .g^hn^ 7X

déjà rappelée plusieurs fois, et qui donne la valeur de Tune quelconque des inconnues déterminées par un système de n équations du premier degré, montre immédiatement que la valeur de y , ou l'intégrale cherchée , sera composée de n termes proportionnels aux seconds membres des équations, et sera par conséquent de la forme

X = ^'(C'+f Xe-r*xdx) -f- Aa er>x(C -4-/X«r~"' '*rdx) + ...

X,, At, . . . , Xn désignant n constantes, fonctions des coefficients 6',, 6*, . . . , e*;-1),

Comme les équations qui donnent y, /',•••? %X(n~l> sont du premier degré , les valeurs dey, y, . . . , J{n~l) doivent être absolument de même forme que celle de y : cette seule considération fournit un moyen facile de calculer les coefficients lf, X,,..., i„.

Remarquons, pour plus de simplicité, que la valeur de y peut s'écrire comme il suit :

y = za*~(C -+- f\e-"dx),

le signe S indiquant qu'on doit faire la somme des n termes correspondants aux n racines de F équation en r. Cela posé, en différentiant, on trouvera

y = X>j*r*(C H- fXe~"dx) -+- 2AX;

et puisque y' doit être de même forme que y, on aura nécessairement

y' = ZA/*"(C H- jT^erndx), ZAX = o, et, par suite, ïa = o;

en différentiant une seconde fois , on aura

y" = 2ArV*(C -f- fXtTr*dx) -+- SArX = o,

y" =. sat-^*(C -h JHe-ndx)y .

2ArX = O, 2 A/" = O.

En continuant ainsi , on trouverait successivement

ym = 2ArV' (C 4- fX*-r*dx), 2Ar* = o,

j(»-0 =r 2Ar— ^'{C 4- fXerr*dx:)y ZAr"-* = o, jO = ZArV (C -h fTLe-+*dx) 4- 2Ar»-"X.

Si maintenant on substitue dans l'équation proposée , à la place de y et de ses dérivées, leurs valeurs , il viendra

2A^*(C-h/X<r-r*dx)(Aa 4- A,.1r+A„.1r,+...+ A.r— '+/•■)

-f-2Ar--"X=X.

Le premier terme du premier membre est identiquement nul, puisque la somme S s'étend aux seules racines de l'équation

A„ -h An-Xr 4- A^r* 4-... 4- A»r"-« 4- r» = o.

i a donc, pour déterminer les coefficient* X,, X,,..., A», s n équations du premier degré

5A = o, 2Ar = o,..., SAr"~a = o, SAr*-1 = i,

u bien

A,r, H- A,/-, -+- A3rs -+-... -h A*/-,, = o,

A,r«;-*-f- A,r^2-+- A3r"-a-4-...-f- Xnr?r* = o, A.r^'-f- A.rp'-f- A3 r^-1 -4- . . . + A.^— = i.

La formule symbolique

qui donne la valeur générale de Tune des inconnues déterminées par n équations du premier degré , se réduit, dans le cas particulier où Ton a kQ = o, kt = o,...,

donne , par conséquent ,

, et

{n — r2)(rt — n)...(rt — r„)

(r. ~ r,)(ra — ^)...(r, — /•„)

Si Ton représente par f(r) le premier membre de l'équation

/■ -h Atr«-' -h Aar«-> + ,..-+- AM r -h AB = o,

on aura

f(n = (r—riïr-r%)...(r—mrm),

(/•-r,) (r-r3)...(r-rn) /(r)

TlEXf TE-SEPTIEME LEÇON. &f$9

et, par suite, en faisant r=r1,'et remarquant que la vraie valeur de la fraction f{ > ' qui , pour r= rt, devient ~,

est le rapport des dérivées 777-7* on trouvera

on trouverait de même

"fW -f'(rm)>

la valeur générale de y est donc , en comprenant -ttjs dans la constante C,

Si X = o, c'est-à-dire si l'équation différentielle donnée n'a pas de second membre , son intégrale générale est simplement

y = Cxcr>* -h Cter** + C3^»x-h...-t- Cg/** = *Cer*.

D est facile de voir que cette valeur de y, contenant n constantes arbitraires, vérifie réellement l'équation

d"j +A.D, j -HA.D^V-*-- ..+ A„-xD,;4-A.r=o.

L'expression y = 2 Cerx donne , en effet ,

D, y = iCreT*, Vly = ZCrV», . . . , V^y = 2Cr"<?" ;

et Ton a , en substituant ,

SCe" (r» -f- A, r«-' -+- A.r— » -h . . . -t-A^r 4- A*) = o,

CALCUL IMTÉGlUL.

[nation est identiquement satisfaite, puisque du premier membre s'étend aux seules racines i equaiion auxiliaire

/(r) = /■» -H A.i-" « + A,r»~* -+---4- ïï*-*r +A, = o.

237. 2m" Méthode. Par rabaissement progressif de ordre de 1 équation proposée.

Dans l'équation

0^4-AtD" V-+-AaD""V"+---*-AMD,^4-AJI<r=Xj

sons y = éx%xfuxdX) at représentant une constante indéterminée, et ut une fonction indéterminée de x. On trouvera , en différentiant n fois , ou , en recourant & une

rmule connue ,

Dxj = <?*'*(*,/«,*&-+- «,},

Dix = ^K/^ + î-^+Ditf,,

D}j> = e*ix(a]fuxdx -h 3«;«, -h 3**0,11,-1- Dl««)*

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée et divisant par e*,x, on trouvera

■W. + Awaî -hA^-î -+-...H- A,*?-' -h «n%)Juxdx

-(AM t H-2A„-a«f - I A„a -h 3A„3«, ■+-...- /î(/i

Or, puisque a, est une quantité constante indéterminée ,

TRBHTE-SBPTIEME LBÇON. 5<)I

on pourra la choisir de manière à rendre nul le coefficient de f uxdx\ il suffit, pour cela, que «t soit racine de l'équation

f(r) = r" H- Axr*~* -+- A,rM -h . . .4- A*,r -+- A, = o.

Alors, pour déterminer iit, on aura l'équation linéaire de l'ordre (n — i)

D" '«, -h BJ)] \i, + . . -h B^.D^a, 4- B,^, = X*-*,*, dans laquelle

B, = À,-, -f- *ÀM«f -h 3A„3«Î -+•- . .-h /i^T"1, B,, = A„a + 3A^3«, -f- . • . -h ^""l^.— ,

Si Ton fait maintenant ut = e*»*y utdx, et qu'on opère de la même manière , on trouvera que si Ton prend pour a, une des racines de l'équation

r*-« -h Bar—» -h .+ BM r -+• B* = o,

la détermination de ut dépendra de l'équation linéaire de l'ordre n — a,

dans laquelle on fait, pour abréger,

C, = B,-,, -+- aB^,*, -4- 3B^3«a, -+-... H- (* — i)«?-% (*, = B,,a H- 3B»3 *t -H ... ;

on fera encore

et,£en continuant ainsi, on parviendra à faire disparaître, un à un, les termes de l'équation proposée , en abaissant son degré d'une unité a chaque opération, de telle sorte

qu'en faisant Un^t = e**xfundx, on arrivera à l'équation

Avant de remonter à la valeur de y% remarquons que les racines a*, as,. . ., <xn sont égales, respectivement , aui différences r, — r,, rt — r», r4 — rt, . . . , rK — rn„ des n racines de l'équation auxiliaire

En effet, multiplions l'expression

«T1 4- B>mn~' -4- ... 4- B^x a, -+- B.

par at, ajoutons-la à l'équation

«;'-+. Af«7— + A1«^+...+ AB 1«1 -f-An = o,

et substituons aux coefficients Bj, B8,. . ., Bn,, BR leurs valeurs, il viendra

-h ncL"-lA2 -+-

-~^nr< + ...*;]+...