An a(*; -h 2*,*a H- •?) 4- A,-, (*, +«,) + An =o

ou

-h Afl a (*> -h *,)a 4- K-i("* 4- *,) 4- A„ = o.

Cette dernière équation prouve que ai-\-at est, en même temps que a,, racine de l'équation f(r) = o; donc, si l'on désigne par r, une seconde racine de cette dernière équation , on aura

*t 4- a, = rx -+- «, = ra, aa = ra

Généralement, si l'on nomme rt, r5, . . . , r„ les » racines de l'équation /(r) = o, et «2, a',,..., a*"-1) les « — i

racines de l'.équation

*!p -+- Ba«»-* H -h B,*, + B„ = o,

on aura

* t = r, — r„ *7 = rj — r„

On prouverait de la même manière, que les n — a valeurs de a8 seront données par les équations

ou, en substituant pour a*, a',, a" , . . . leurs valeurs trouvées précédemment,

(«-3) «3=rj— r„ «s = r4 — /•„. .., *3 = /•„—/•,.

En continuant ainsi , on trouvera successivement les valeurs de a4, a\ , . . . , a», a,, . . . , a„, qui seront données par les équations

«4 = r4 — rj, «4 = r5 — r3|. . . ,

«5 ='"5— ^4» *'% =r6— '"s,..., «■ =/«— rM.

H est donc démontré que «*, «,, «4, . . . , an sont bien les différences r, — r,, r, — rf , . . . , rn — r„, des racines de l'équation / (r = o) ; on aura , dès lors,

puis, en éliminant ul9 wt,..., **„, et ajoutant une constante arbitraire à chaque intégrale , on trouvera

l) ] + C'fer*-r>dxfAr*-r>dx..J(fr*-r*-*>dT

représentant par Çu CÈf , . M C„ les combinaisons des

onstantes C\ CM, . . « , 0n\ dans l'état primitif où se trou-

ît ces constantes avant le développement des intégrales

multiples qu'elles affectent , avec les racines rlf rfl. . ., r„

de l'équation auxiliaire, après ces développements , on

trouvera, dans le cas où toutes les racines seront inégales,

+ Cx<?* -f- Caer<* -h CtS** -h. ..4- CS**.

La substitution des intégrales multiples aux intégrales simples ne souffre aucune difficulté , il suffira , pour cela ,

d'observer, i° que l'équation évidente

r/sT — fXe~r"dxl = <£r--r'—x)tùcfXe-r~xdx

L rm — rm— i J

donne, quand on intègre les deux membres, a0 que Ton a

-/X*-'— *dx;

Àry-'*>

En employant plusieurs fois ces équations, et posant

on retrouverait la valeur connue de y, ,

TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. 5g5

238. 3me Méthode. Par le passage de l'équation sans second membre, à l'équation avec second membre. Considérons les deux équations

DmMX + A, Va"xr -K..+ A^.D,/ -+- k*jr =X,

D> 4-A,!);-^ +... -f-A^D^z H- A,* =ro,

et supposons qu'on satisfasse à la seconde équation par les n valeurs ,

z = z19 z=zz%y « = Z3,..., z=zH; on y satisfera encore par

Ci, Cf,. . ., Cn étant des constantes arbitraires, et par la somme

z = Cz, -h Cte, 4- C3*î -*-...-+- G.**,

qui sera son intégrale générale.

Cela posé, je dis qu'il sera toujours possible de déterminer n fonctions ui9 iit, . . . , u„ de x, de telle manière que la somme

y = a.z, -h a,*, H- «3^3 -*-. . .-+- "«*» = Xo2

satisfasse à l'équation avec second membre. En effet, nous avons, en différentiant une première fois,

DgX = 2sD,a -f- ZuDsz, ou, simplement ,

si Ton pose

ZzDxk = o.

En différentiant une seconde fois , on aura

Djjr = SaDi «4-2J D,sD,k,

G4LCUL INTÉGRAL-

simplement, Ton fait

in faisant ainsi successivement

S DΫD,u = o, S DMV* = o, . . . , xOÇ-tzDsU = o,

dérivées de jry jusqu'à Tordre n — i inclusivement T iiiëes par les équations

. jr = 2uD,z = ux D,ï, -h w, D, *, -h ... H- "«D,*», ,y =XuDls = a.Diz, H-HaDis, -4-. ..-+-«■ Djx,,

I, J-=2S«D, *=«fD, «r-hKaD, ^-h...-1-Kj), *.,

auront conservé la même forme que dans le cas où n, , i/f , . . . , w„ étaient des constantes. En différentiant une dernière fois , nous aurons

d]j = ZuDxz -f- 2D,«D* V

Si maintenant on substitue toutes ces valeurs dans l'équation avec second membre, il viendra

(D*s-f- À.D^'z-l- AtDx z4-...4-Al^lDxz4-An)-HSDxttD" * =

Or, le premier terme s'évanouit , car la somme désignée par 2 s'étend aux seules valeurs £t, 2f1.. ., sn, qui, toutes par hypothèse, vérifient l'équation sans second membre. Donc , la somme

y =z uxzt 4- a»*, -h. • .-h «rZ* vérifiera l'équation avec second membre , si , en outre des équations

XzDgu = o, 2D,sD,« = o,

XDizD,ii= o,..., XDJ-'zD** = o,

TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. 5g 7

ZD, *3D^*= X.

En faisant, pour plus de commodité ,

D,«, = ?,X , D,«, = ?,X , . . . , J)suH = p.X,

les équations qui précèdent pourront se mettre sous la forme

Si^i -h *» »% -f-...4-a«^ =0, z\ o, -+- z\ v% -+-. . .-f- *>. = o,

zi ?iH-*B *• + . • H- *„ ^ = 0,

et donneront les valeurs cherchées de *>t, i>», . . . , eA, qui, substituées dans les équations

DsuMz=vtX9 Dxi(, = e,X, . . • ,

fourniront, par une intégration facile, les valeurs suivantes de Ui, wt,. . .,

«i = C, -\-fvtXdx, aa = C, -f- fvJLdx,,. . . , w» = d-hyV«X<ir;

l'intégrale générale de l'équation avec second membre sera donc

y = z, (Ct -f- fvtXdx) -f-. . .-H «.(G, -h /^Xrfr)

= Xz(C+fvlUx).

Ce que nous venons de dire s'applique même au cas où les coefficients A0, AH. . ., An seraient des fonctions de or, puisque jusqu'ici nous n'avons fait aucune restriction. Revenons' au cas où ces coefficients sont constants. Il est évident qu'alors on satisfait à l'équation sans second

598 CALCUL IHTÉGRAL.

membre par les valeurs suivantes,

rt, r„ . . . , /•„ étant les n racines de l'équation auxiliaire r- 4- À.r*-» -h A,r«-» -+-. . . -4- A^.r-f- A, == o,

et la valeur générale de jz, ou l'intégrale générale de Ter quation sans second membre , sera

z = Cx zx H- C,zt -f-. . . -h Cs*.

Dans la même' hypothèse, si Ton fait

les équations que donnent ^, r,, . . . , i/n, deviendront

a, -4- A, 4-...-+- a* =0, A, r, 4- A, ra 4- . . . -h K rm =0,

A, r^-'-f- aa r'~l-l -f- Aw r'J-^ O,

et l'intégrale générale de l'équation avec second membre sera

y = ^.'(C, -h *lfXtr*i*dx) + er*Ct + *%fXe-+*dx) -*- ....

C'est précisément la \aleur de y trouvée par les méthodes précédentes.

239. Si Ton connaissait seulement n — 1 intégrales particulières zu z„. . ., zn__x de l'équation différentielle privée de second membre, l'expression

ne serait pas l'intégrale complète de cette équation ; cependant on peut encore concevoir que l'intégrale générale de l'équation avec second membre soit représentée par cette même expression , à la condition que les m — 1 quantités Ci, C„... seront non plus des constantes, mais des fonctions uu i/f,. . ., h„i dex convenablement choisies. Supposons, pour fixer les idées, que l'équation

TRBOTE-SIPT1ÈMB LEÇON. S99

donnée soit seulement du quatrième ordre,

Dir -h A.Djfj + A,Djj -+- A3D,j -h A4j =X,

il faudra prouver que l'expression y = uizi+uizt+u%z% peut devenir son intégrale générale ; comme la condition que cette fonction satisfasse à la proposée n'établit qu'une seule équation entre les trois quantités uiy ut, u% , on peut les assujettir à deux autres conditions arbitraires ; on peut en disposer , par exemple , de telle sorte que les dérivées» première et seconde D,jr, Dljr conservent la forme qu'elles ont quand uu uÈ9 u8 sont constants: on arrive, de cette manière , à trois équations qu'on peut écrire, pour abréger, comme il suit,

2zDxa = o, 2toszDx* = o, X(*Di« -h A,DX2)D*« = o,

le signe S s'étendant aux trois valeurs particulières ztJ zl9 s8, et aux trois quantités ul9 iis, m8.

Des deux premières équations on pourra tirer, par exemple, les valeurs de Dxw„ Dx«8 en fonction de Dxw,, pour les substituer dans la troisième ; on arrivera de cette manière , en posant Dxz/t = t , à une équation différentielle linéaire du premier ordre Dxt + pt = qy p et q étant des fonctions de x \ en l'intégrant , on aura la valeur de t et , par suite , celle de ux donnée par l'équation ut = G + Jtdx qui , comme on voit , contiendra deux constantes arbitraires. La valeur de ux , substituée dans les deux équations

conduira à celles de ut et de i/8, qui seront données par de simples quadratures avec deux nouvelles constantes; on aura donc l'intégrale de l'équation proposée avec quatre constantes arbitraires.

On voit aisément que le même raisonnement s'étend à une équation ^différentielle de l'ordre n , qu'on arri-

6oO CALCUL INTÉGRAL^

vera, dans tous les cas, à une équation linéaire du premier ordre qui donnera la valeur de la première fonction ux avec deux constantes arbitraires, et qu'on calculera ensuite , par de simples quadratures , les autres fonctions

Si Ton avait connu seulement n — a intégrales particulières de l'équation sans second membre, l'intégration de l'équation avec second membre aurait été ramenée à celle d'une équation du second ordre. Considérons toujours, pour plus de simplicité , l'équation de quatrième ordre

DiX -+- AsD»/ + A,Dij +A3D1; + AAy = X,

et supposons que l'expression y = C|Z, -+- Csz, vérifie l'équation sans second membre.

Il s'agit de montrer qu'en considérant Ct, Ct comme des fonctions uu u% de a:, cette même expression peut vérifier l'équation avec second membre. En outre, de l'équation qui exprimera que la valeur y = uxzx -\- utzt vérifie l'équation proposée , on ne pourra établir entre les quantités uXi u% qu'une relation nouvelle ; si nous admettons que la dérivée première Dxy conserve toujours la forme qu'elle avait quand ux et ut étaient deux constantes arbitraires , les fonctions uXy ut seront déterminées par les deux équations

A,D,iit-+- À.DX-+- A3DX-+- A', D,«a-h A'aD>,-+- A',D»if,:= X.

Si l'on substitue dans la seconde équation la valeur de Dxnl9 tirée de la première, et qu'on pose T>xux =. /, il est évident que t. se trouvera déterminé par une équation différentielle du second ordre

TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. 6oi

p, q, r étant des fonctions de x, on intégrera cette

équation, et, en remontant de la valeur de t à celle de t*l9

on trouvera

ut = C + ftdx;

cette valeur de utJ renfermant évidemment trois constantes arbitraires , servira, avec l'équation

«iDjtf, -h s,Dxm, = o,

à calculer la valeur de u% qui contiendra une quatrième constante , et Ton aura par conséquent , avec quatre constantes, l'intégrale générale de l'équation proposée.

En généralisant ce que nous venons de dire , on prouvera facilement que, si Ton connaît m intégrales particulières de l'équation sans second membre , la recherche de l'intégrale de l'équation avec second membre sera ramenée à l'intégration d'une équation de Tordre/» — m, et Ton retrouvera , de cette manière , un théorème que nous avons déjà démontré.

240. Remarquons, i° que dans la valeur obtenue, les n constantes Cu £„. . ., Cn entrent seulement dans la partie de cette valeur qui compose l'intégrale générale de l'équation sans second membre ; 2° qu'on peut , dans tous les cas , déterminer les n constantes par la condition que pour x = xQ , xQ étant une valeur quelconque dejr, la fonction y et ses n — i premières dérivées prennent des valeurs données^, /îv^n-i* Il suffit en effet, pour cela, de prendre les intégrales f Xe~VVir, fTLe~r*xdx,..,9 à partir de x=x0, cl d'assujettir la valeur suivante dey,

à vérifier les conditions énoncées. Cette valeur peut d'abord se mettre sous la forme

y = CtCiO*— *o) + Ca*«(*-*o)-K . .4- &*"■(*— x«),

car cette transformation consiste simplement à mettre en

CALCUL ÎNTÉCIUf..

mt dans chaque constante, un facteur cousmui

n^é^^i'o, . . , ; et si maintenant, après avoir cliûe-

sentie n — i fois, on exprime que y et se* dérivées

ennent les valeurs données jr9i yi,* « ♦, jr ti 011 9lir*

s i» équations suivantes :

-hCa -f,