tV, -h
* * ~f*^Mrm ^^"i »
ftrt
+ C,rl + .
.. + CrJ =yt,
Or, les valeurs déduites de ces n équations du premier degré, et que Ton calculera h l'aide de la formule souvent rappelée, étant, en général, déterminées et finies > il en résulte que Ton poura toujours satisfaire â la condition proposée. On verra facilement que Tune quelconque des constantes Cm est donnée par l'équation
Cm~ TV.) ■ '
dans laquelle f(r) représentent toujours le polynôme
rn+Alr*-l + Air ■-» + . . . -h A^r -+- A„ . . , tandis que k„«, fcn-8* ^1? &o? désignent les coefficients de r""1, /•""*,..., r, r0 dans le développement de * —
241. 4me Méthode. Par changement de variable indépendante. Reprenons encore les équations
Dlr + A, D"~l r 4- A, D'"V+...4-Ail-.ID,r-+-A^=X=F(x)>
d"« -h A, d"~'z -+- A, D* \ -h...4-AJI-.tD^4- A,,* =o,
et supposons que nous ayons trouvé une valeur de z, ^ = (f(x, a), qui, vérifiant la seconde de ces équations ,
TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. , 6o3
satisfasse pour a == ar, aux conditions suivantes,
*=o, Djzrrro, Di z = o,..., DJ -Bs = o, T)^' ' Z = Y (m) 9 et faisons
z = f (jr, a) étant une fonction de la variable x et de l'indéterminée a. En différentiant par rapport à x qui est l'une des limites de l'intégrale, et qui entre dans z, on aura (n° 83),
D,.r= i \>szd* + <p{x,x);
or, y(x, x), qui est ce que devient z quand on y fait a = x*, est nul par hypothèse ; on a donc simplement
Vjzd*.
En différentiant une seconde, une troisième fois, etc., et remarquant que les dérivées successives Dxz9 D'z, . . . , D^z, s'évanouissent aussi par hypothèse pour a = x, tandis que la dérivée (n — !)«*«• devient alors F(x), on aura
i>> = ("d;^ Dr> = f xd;-'*/*,
D;;=rD>+F(i);
en substituant ces valeurs dans l'équation avec second membre, on trouvera
f"( D> -hA.D;-'» -h . . . + A*-, DxZ-f-A^y* = o,
ouo = o, puisque 2, par hypothèse, vérifie l'équation
CALCUL IfcTÉCIUL.
second membre* La valeur
Zéfa
atisfait donc à l'équation avec second membre, ou devient une intégrale particulière de cette équation. Pour en déduire l'intégrale générale , il suffit éridemment de
aire
y=l zd* + p=z u •+- p,
e étant l'intégrale générale de l'équation sans second membre-, car le résultat de la substitution de cette valeur [ans l'équation avec second membre se composera de deux parties, Tune identiquement nulle, puisque v vérifie l'équation sans second membre , l'autre identiquement
égale à F(x), puisque u = f zda satisfait à l'équation
avec second membre ; d'où il résulte que la valeur y = u+ v, qui d'ailleurs renferme n constantes arbitraires, satisfera à cette même équation avec second membre et sera son intégrale générale.
Dans le cas particulier où les coefficients A19 At,. . ., An sont constants, on peut prendre, comme nous l'avons vu,
v = tV'-i(*— *) -+- C2e't(x-u) -y . . . 4- (?n6.rB'x-a).
Il faut, de plus, déterminer une valeur de z qui, pour a = x satisfasse aux conditions
z=o, Dxa = o, D's = o,..., D"1z = o, DJ,z = F(«).
Pour y parvenir, il faudra assujettir les constantes Cu Ct, . . . , Cn aux conditions Ct +C2
Ctrt
Ctr]
Cxr^rl -4- C>r»-* 4.
-+- C =o, + Cnrn = o, -h C„ri = o,
TREHTÈ-SEPTIEME LEÇON. 6o5
qui donneront, comme nous l'avons déjà vu,
f(r) désignant toujours le polynôme
On en déduit
Jo /'(n) Jo f(rm)
ou
la somme du second membre s'étendant à toutes les racines de l'équation
/(r) = /••-+- Atr «-* -4- A,r*-* ■+-...-+- A,r -f- A„ = o.
242. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé, implicitement au moins, que les n racines de l'équation f{f) = o étaient inégales et réelles-, en effet , si deux de ces racines étaient égales, si Ton avait, par exemple, rt = r„ les deux intégrales particulières C^i*, de**!*, en s'ajoutant, donneraient
les deux constantes seraient remplacées par une seule qui est leur somme. L'intégrale générale ne renfermerait, en réalité , que n — i constantes distinctes , mais il est toujours facile de lui rendre sa généralité. On a eu recours , pour y parvenir, à divers artifices que nous allons exposer brièvement.
CALCUL 1NTÉGIAL,
narquons d'abord qu'il suffirait d opérer sur Tinté* raie de l'équation sans second membre, car c'est A qui apporte les n constantes arbitraire» a V intégra le de l'équation avec second membre* Cela pose :
ior Procédé, Chacune des intégrales particulière* ? = &**, jr = er1-rt. # , s ouj— cv*= o, J— €?",*= O,..., peut se mettre sous la forme <j>(rj)=o, ^{^^o, . . . , ei Fou montrerait, comme nous l'avons fait dans le cas des équations simultanées, que si, une seconde racine rt devenant égale à ru deux intégrales se confondent, on verra araltre une équation nouvelle
q' (r,) == o, ou y = xfi*;
.de sorte que l'équation sans second membre est vérifiée par les deux valeurs y = eri*, y = are»"»*, et par la somme y = C'Ci* + C"xerix^ qui renferme deux constantes distinctes. Si une troisième racine r8 devenait encore égale à ru on aurait non-seulement
?(/-,) = o, ^(r|)=o, mais
l'équation serait également vérifiée par les trois valeurs e^*, jrer»x, araerix, et par la somme
qui contient trois constantes distinctes. En général, si m — i racines rt, r3, . . . , rm sont égales à rî5 la somme
qui équivaut à un seul terme Ceri*, sera remplacée par cette autre
TRENTE-SEPTIÈME LEÇOÏI. 6oj
qui renferme m constantes et rend à l'intégrale sa généralité.
ame Procédé. Faisons rf = rt -+- e. Pour que rt devienne égale à rft, il faudra faire e = 05 on aura
• C^er** = C^i* -f- C1^Cr»-Ht)= Cxeri* H- C,c*i* [ 1 -h — -+- - — -f- . . .
ou , en posant
Cx H-C, = C, Caf=:C",
et faisant ensuite e = o,
C^i* -f- Ca*\* = CV11 -H C"xert* -h
Si trois racines devenaient égales , on aurait, en faisant r% = rt + e,
= ert* (a+C"x+ C3-+-C3iar-f-C3— -t-C3 — =+..■
ou, en faisant C'+C8 = C, C" + C,e=C, C8ef=C*, Cx fi* -+- CiCt* -f- Cier*T = CV,*-h (^x^,* -+- Cmx*erx*.
3-e Procédé. Il est facile de voir que si, dans l'équation sans second membre , on fait y = lie", en ayant égard à l'équation connue
£(«*) = pD>+ /iD^D^-'iiH- — ~~- D^D^'m 4-. . .+ «D;^ le résultat de la substitution sera
(r)+Dt«/'(r)+D>/"M + .. .4- DrW(M,W + D> = o,
f(r) étant toujours égal à
r » -+- A, rM -+- A, r—* -f- . . . -hA^-.r H- A„.
CAtGITl. INTÉGRAL.
'équation J (r) = o n'a pas de racines égahn ; I * -
au on qui précède sera vérifiée si l'on fait r = rt% r,
U une racine quelconque de l'équation f (r) = o ei
Dxu as o> on Isi^, et, par conséquent, la valeur
y = C%&ix sera une intégrale particulière* Si l'équation
y*(r) = o a deux racines égales à rn celte racine double
vérifiera aussi l'équation f(f) = o, et Ton satisfera à
'équation en u si Ton pose
D£ u = o, « = C -H Cjt.
Dans ce cas donc, la valeur jr =z C er%x -f- CxeTi* vérifiera l'équation proposée. En poursuivant le même raisonnement, on prouvera que si l'équation f(r) = o a m racines égales à r,, l'expression
y = CVi* -f- C'xcr^ -+-...-+- C<">*— ' erx*t
qui renferme m constantes arbitraires distinctes, vérifiera l'équation proposée.
243. 4me Procédé. Cherchons directement ce que devient , dans le cas des racines égales, l'expression
y = 2<?"(C -h xfJLe-"dx) = <*\* (C, H- Al4/X*-'.*<£r)
-+- *.x (C, H- A1/X^-^*rfr)H-...j
on a , comme nous l'avons vu,
Af =
/'(r,) (r,-r,)(rI-r3)...(rI-r,l)
*" ~77W~ (r, - rt)(r.-n).. .(r, - r.) '
pour Tj = r,, Ai, X, deviennent infinis, et l'on ne voit pas, à priori j ce que deviennent les deux premiers termes de l'intégrale générale : pour le découvrir, posons
