L- e" \\<r"dx = p, (r

TfcEJfTE-SEPTIEME LEÇON. $09

rt = r, -H 1 ; on en conclura

Quand on fait r, = rx oui =o, cette somme, qui est , aux constantes Ct et Cs près , la somme des deux premiers termes de l'intégrale générale, se réduit à (f\(rt)] on a donc

y =(f>\(rt) -h liC* fXc-rtxdj; 4.

Si une troisième racine rs devient encore égale à rt , à, à son tour sera infini. Pour savoir ce que devient l'intégrale, posons

— -,^/*-* = Mr).

et

rj = rx -f- 1,

il viendra

/fo) ./ (rj— r,)(o— r.) (n— *\)* •*

onc, quaj deviendra ,

id on fera ra = rtî c = o, l'intégrale générale , aux constantes près Ct, Ct, C*,

Si Ton supposait 4 racines égales, on trouverait, en faisant

et raisonnant comme précédemment,

X = — l—£<f>" ('«) -f- **<?>* (Xe-r%x dx +

En général, si m racines sont égales à r,, on fera

*, (r) = , r^— : . e" fx<r~" dx*

et Ton aura

Pour que cette dernière formule (a) soit rigoureusement démontrée , il suffit évidemment de prouver que , si elle est vraie dans le cas de m racines égales , elle le sera encore dans le cas de m + i racines égales. Or, c'est ce que l'on fera facilement de la manière suivante : posons

f Xe~r'dx, rm+x = r, -+- i ,

fcW =

(r— r^,). ..(r— rn) J

on aura

TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. ' / 6ll

d'ailleurs , en considérant

<Pm[r) I

-?-m±l— = x <pm \r)

r— rm^rl r— rm+t

comme un produit w, on aura

et Ton en tirera

(/H— i)<p-e- « * ,;~~ •*■ il—» i.2 .— >••■ i.2.3... (w-ii) ; '

(r,-*-f) (pm(r,) !?>,) i ?'(/-,) __ i gfr-0 (ra)

l" l" II"""1 1.2 i—» ï".2X.(«-l) g

Enfin, si Ton fait rm+1 = r, ou e =o, on trouvera

>■= 5—7 7- *i";(r.)-+-*«H-i*r"+- fke-rm+trdx+

et c'est précisément la formule (a), étendue au cas où m + 1 racines sont égales à rt ; donc, si cette formule est vraie pour m racines égales, elle le sera encore pour m + 1 racines égales -, or, elle est vraie quand deux, trois, quatre racines sont égales à rt -, donc elle sera vraie toujours.

Il reste à déterminer la valeur de <ifc,)(/'1), pour montrer que l'intégrale contient encore n constantes distinctes. Or

= / Ur \ \ lr r\ *" / X '~r*'/* = /r— ) M X f(r),

~>I2 CALCUL IMTÉGIUL.

en posant

f(r) = e«/Xr»&; donc

Lorsque dans cette équation on remplacera r par rt , la fonction fm x (r) , et toutes ses dérivées , seront des nombres; il reste donc à trouver ce que deviennent les dérivées successives de f (r) = erx f Xe~"r* dx : on a

{xfTLtr"d* — / lLx(r"dx) = **f/Xe—djP9 J" (x*/ Xer"dx — 7.x f Hxe^'dx -+-/ Xx%err*dx) = \.*.e rxJJJ"k

enfin •»(,) = i .2 .3. . .(m - i) e"////. . .fXc-"dx~.

En substituant ces diverses valeurs dans l'équation qui donne çlT-i,)(',i)> après avoir fait r = r, , on trouvera