C",-I,OI
,3...(ni-ir— • l ,;
Si Ton remarque qu'en vertu des formules établies dans la dixième leçon , une intégrale multiple d'ordre m
est égale à une fonction de x , augmentée de la somme C, 4- C,* -h C3x» -f-. . .-hC**—',
il sera prouvé que la valeur de çit^ri), et par suite l'intégrale cherchée, renferme m constantes distinctes. Pour la réduire en intégrales simples 9 on aurait recours
TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. 6l3
k la formule
/.../F(x)rfr»
[*^F(*)d^(ji— i^
-f- a -+- Car 4- CV-f- . . . -f- CW*"-1, .
que Ton déduit facilement des diverses formules établies n° 65 , et que Ton vérifie immédiatement à l'aide de plusieurs intégrations par parties.
244. Le procédé que nous venons de suivre a beaucoup d'analogie avec une des méthodes qui nous ont conduit à l'intégration de l'équation linéaire. L'équation
+Cyer*-'»H*r/. . . mfir-*mr-Jsdr. . .+&»"*) feï*- ''^dx+C* J ' convenablement développée, ou sa transformée (B), p. 5p4, donneront, dans tous les cas, la valeur de l'intégrale générale avec n constantes arbitraires distinctes.
Si toutes les racines r,, r„. . ., rn de l'équation auxiliaire f{f) = o étaient égales, c'est-à-dire si l'on avait à intégrer l'équation
+" T^ rT'Kx^rr'Dijr q= r« = o, dont l'équation auxiliaire est
alors tous les coefficients A,, ).l9 As,. . ., A„ se présentent sous la forme infinie ; mais en ayant égard à la formule qui précède , on trouvera
r<txfdxf<lx...f\<r"dx+ C'fff. . .fdi* +C"fJ'f...fdjr-'+.. .+C<*-*>/,&4-CW].
CALCUL 1KTÉGHAL.
second membre est évidemment le développement de fff' • -f%&*&F\ on aura donc
en développant , ^
3Ï)L ■+■ Cx""1 -+- C".r— * -K . .-h Om)« 4- C>
L Considérons enfin le cas où quelques-unes des ra-
es de l'équation auxiliaire sont imaginaires. Comme
%acines imaginaires vont toujours par couple , il suf-
ie chercher ce que deviennent les deux termes de la
Mulç correspondant à deux racines imaginaires conju-
>. Supposons donc que Ton ait
et représentons par R la somme des termes correspondant aux racines réelles. Les deux coefficients Xt, A, pourront être imaginaires, et Ton aura, en général,
: A 4- Bl/^7, a, = A — Bl/^T;
les autres coefficients seront toujours réels, car ils renfermeront à la fois les deux facteurs
(r„— r,) = (rm— « — £ l/— i ), r,,— ra = (/•„,— «+• l/— i ),
dont le produit est (;m — « )2 -f- ê*. Cela posé, on aura
"~ A + BJ/^T
ou, en réduisant au même dénominateur, remarquant que
TRENTE-SEPTIEME LEÇON. 6lS
ccfc«*V/3ï . cos çx -f- ^ — , sin 6 ar , et représentant par aC, aC" les constantes indéterminées Cf + Ct et
,T (A cosCe -f- B 8inCx)(C -+- fHe~** co»C*dg) „ ( A sin Cr — B cos îx) (C -f- rTLe~**àn Cxdx)
+2^ urtw^ -HR-
Il sera facile , dans chaque cas particulier, d'effectuer les intégrations du second membre; on a, en effet, n° 29,
J" . a* a* sin bxdx = -=- — (la sin bx — b cos bx) ,
la* cos bxdx = — — (\a cos bx — b sin bx) ;
or
d.\fa*sin bxdx=z dTLJ° a* sin bxdx -f- Xa* sin bxdx; donc
J ILa* si n £ x<ir = X^/' a* sin £x<£r — /V Xfa* sin &r<£r , et , en substituant pour fax sin bxdx sa valeur, il vient
Ja* Xfl* sin 6,rd!x = -; ; — (la smbx — b cos bx) X b2 -f- l«a
— •; . — / DxX.flxsin bxdx-\- T ; — lDs\.ax cos bxdx :
b1 H- la" »/ 0* -h ltf V
on trouverait de même llUa* cos &r c/j: = -. -.-- (\a cos bx H- b sin &r)
— - ; — / DxX.a* cos bxdx — -j : — / DxX.flx sinfar<£r.
Substituant tour à tour dans ces formules DXX ct DiX, DiX et DiX, D; X et DiX,... ; à la pince de X et D,X,
CALCUL JSTÉCRAL,
les COI ) sta 1 1 les arbitra ires , puisque X =o, on aura
or
Ctfe-»dxfdx = - ^ <r**(* -+- i),
donc
3°. Di x — 8Di^ + 26DIr ~ 48 D,/ -4- ftx = o: l'équation auxiliaire est
H — 8r3 -f- a6r' — 48r + 45 = o, et elle a pour racines
r, = 3, r, = 3, r3 = i -f- 2 V— I, r4 = i — al/^ï- La même formule (A) donnera
L +C,fdxfe--,('-^Z:')'dx-hCs/tùc+Cty en développant, on trouvera
r = e* [C, cosax -f- C, sin ax -+- <?" (C3x -+- C4) ]. g?
réquation auxiliaire
r" — /iA/"-1 — ^-^-^A1r,,-a...lE:/îA,,-,±:A"=(r— A)" = o 1.2 ^ '
a toutes ses racines égales; et l'intégrale générale sera
X =r'".*(C1*'l~1 -hCtX—t-h-Cït»-3 4- • . . -4-Ç— ,*-f- C»).
TUEKTE-SEPTtÈME LEÇON, OIJ
247. II, Équation avec second membre constant: KJ + **K~\r -h AaD^\r+- --+-A.,D^ + ABJ=A.
Dans la formule (B), on pourra faire sortir la constante X = A du signe d'intégration qui l'affecte , puis successivement eu dehors Ae tous les signes d'intégration qui précèdent, et Ton aura
mais
fe-r'*dx = — é-r'x,
J rn
en continuant ces intégrations successives, remontant ' jusqu'au premier signe J , effectuant la multiplication de l'intégrale définitive par efi*9 et remarquant que le produit de toutes les racines rf, r„. . ., r„n rn de l'équation auxiliaire est égal au dernier terme An de cette équation , on aura , pour l'intégrale complète de l'équation donnée ,
Si deux des racines de l'équation auxiliaire étaient imaginaires et égales à a ± 61/ — i, on aurait
y = — -4- e3tX(CIcosCr-f-C,sinC*)H-C3tfr'x-f-. . .-hC«/"x>
si toutes les racines de l'équation auxiliaire étaient égales; alors , en passant toujours la constante X == A en dehors de tous les signes d'intégration, l'équation (B)
CALCUL TKTÉG1UL*
donnera i
Mais Kfdxfdx. , .fv—r**dx = ± — e — r* *, et d'ailleurs r? = ± A„ j on aura donc
y = ^- 4- «r»x(C1*,M -+- C,*-* 4- . . . C-,* -4- Q,). • 248. HI. Équation avec second membre variable:
i °. Dir — 7«1Dî.r h- 6fl3r = *■ : °^#
F équation auxiliaire est
r3 — ^aV -|- 6fl3 = o,
et ses trois racines sont rt = — 3a, r, = 2a, r8 = a; en employant encore la formule (B), on trouvera
y =e-^Je^dxJ(T^dxjxltraxdx-\-Çtle-la* -\- Caff^+C**";
or
rx*e-*xdxz=2-^ ( x* -f- — H ) ;
donc
En substituant , on trouvera
' =87 (*' + ¥a + ife") + C*C~3" + C* C"" + CîC"; c'est l'intégrale générale de l'équation proposée. a°. D>^ +aD9y — 6fl3 v = 6*:
mais
l'étniatioti auxiliaire est
ses deux racines sont r% = a«, rs — — 3a 5 la formule (B) donnera
et, en substituant, on trouvera, pour l'intégrale cherchée,
3°. Dir — 3Dir 4- 7D,r — Sx = *3 :
F équation auxiliaire est
ses trois racines sont r1=i+ 2 l/ — 1, r, = i — aV — i* r8= 1; on aura
- = (r, — ra)(r, — rj) = — 8,
— = (/"a — rt)(r, — r3) ==— 8,
-=(*-*- r«)(r3 — ra) = 4, *3
et la formule (B) donnera
7" t008 s* (c« "+" fx**~*cos2xdx) 4- sin2x (Ca 4- fj?e~* sin a»
Pour avoir en termes finis l'intégrale générale cherchée,
CALCUL ISTÊGRAL.
il suffira de substituer tes valeurs des deux îiitégrata Jx%e~xCte nxdxi fx%û-*s\n*xdx7 déduites des formula que nous avons rappelées ci-dessus,
l'équation auxiliaire est
r1 -+- \tr-h A, = o.
Supposons que les deux racines soient imaginaires et que l'on ait
r* = a H- S V*— T, rt =2 «1 — € Y— \ f on aura
-—[sinCr (C, H-/Xr-"cosS*<te) H- cosCr (C. — / X€-*Jsin tabi] Exemple :
Dix -+- 2D*r H- 2j = j:,
At = 2, Aa = 2, X =Xy et, = — I, • = 1,
CT sinx H- Ca cos x , ,
5°. Dlf + Aar = X :
c'est l'équation du fameux problème des trois cor^s, l'équation auxiliaire est r* + A = o ;
on aura
l/i= 8in(*l/Â)[c, -h/Xcos(^V/Â)^-+- cos(*V/Â)[C— /Xsin(xV
6°. Dir — 8Di7-f-23DJj — 28DTj -f- \*y = x : r équation auxiliaire est
, TRENTE-SEPTIEME LEÇON. 6ïô
' «ta pour racines
rt = 2, r, = 2 , r3 = ! , r4 = 3 ; Féquation (À) donnera (fdxfe-'dxfe** dxjxe^'dx 4- Ct fdxfer*dxfé"dx ' \
et, en développant,
X =— -4-^; 4- C**" -f- Ca<?"4- C3^ 4- CAe**.
V>lX — nrjr-'jr 4- "*"~ ''- ^D^V 4-. .— "rf—D,/ 4- r? /
L'équation auxiliaire est (r — /'j)" = o, et a toutes ses racines égales; on trouvera dans ce cas, en se servant toujours de la formule (A) ,
f%x r*"~ 'fXe-r*xdx-(n- 1 )x»-*fXxe-r>'dx-h...±:fXx+-*e-
