i— i)L 4-C.*—1 4- C^-* 4-.. .4- G.-tx
l'équation auxiliaire est rn + a" = o. Si » est impair, l'un des facteurs du premier degré sera r+ a, bu Tune des racines sera r= — a. Tous les autres facteurs sont donnés par l'expression r * — nar cos0 + a*, dans laquelle
0 = i, La partie de l'intégrale correspondante à la
racine réelle sera — —e~ax fX^eaxdx. Chaque couple de
racines imaginaires donnera naissance à une intégrale particulière
af^rCcosp 4- flarsinfl)/Xg-fl3rcosflcos(^sin6)€£rn /ifl"- L 4-C, sin(8 4- ax sin 9)/X^-fljr cos ° sin (<mt sin é)<£r J '
t| CALCUL INTÉGRAL.
et, pour obtenir l'intégrale cherchée , il suffira de faire h somme de tous les termes que Ton obtiendra , en don* nant tour à tour a B pour valeurs tous les multiples impairs de -, inférieurs à tt. Quand n est impair, l'un de
ces multiples est — ou ir9 auquel correspond , d'une part,
la racine r = — a \ de l'autre, le terme a tfTLe?*dxi
qu'il faudra réduire à moitié, parce que ce n'est pas a* + zar + r1, mais bien a + r qui est facteur de l'équation af1 + an = o.
Si X = o, chaque terme correspondant à un facteur du second degré devient
- [C, cos (ô -f- ax sin6) -+- Csintë 4- axsinô)],
que Ton peut mettre sous la forme
CcarC0S>°cos(c-haxsmQ), c étant un angle constant quelconque.
9°. DJr — «"r = X:
l'équation auxiliaire est r" — a" = o $ l'un des facteurs est r — a, ou l'une des racines est r = a \ le ternie correspondant de l'intégrale est —^enxfXe~**dx. Si n est impair, a + r sera aussi facteur, — a sera racine et donnera naissance au terme — ^ e~axfXeaxdx. Chaque couple de racines imaginaires sera donné par le facteur du second degré r* — 2arcos0 + a% dans lequel 0 = ,
et produira la portion d'intégrale
^TC, cos(d +axsm*)fXc-axcos* cos(**sinô) dx 1 "' [ -+-Casin (0 H-ûxsin b)JyjTax "» fl sin (axsinb) dx J '
et, pour arriver à l'intégrale cherchée, il suffira de faire la somme de tous les termes que Ton obtiendra en donnant tour à tour à 9 pour valeurs tous les multiples pairs
de- inférieurs à tt. Ouanu n est pair, o et- — = 7r sont n ^ r n
deux de ces multiples auxquels correspondent les racines
r = a, r = — a, et les termes de
-^- «" f Xe-**dx , — — e—* f Xc"dx,
qu'il faudra réduire encore à moitié pour la raison que nous avons dit.
io°. D; y -hDn-1 x -h ... -h Wï -+- I>ï r -f- D,r +/ = X:
l'équation auxiliaire est
OU
Si n 4- i est pair, r = — i sera l'une des racines à laquelle correspond le terme e~* J"X.cxdx. Chaque
couple de racines imaginaires sera donné par le facteur du second degré r' — ir cos 6 + 1 , dans lequel 0 = — la partie correspondante de l'intégrale sera
,« >»** [— c,c^3îrh2^sinô)/Xc-xcosasin(xsin«)r/x T. n. 4°
CALCUL INTÉGIUL.
X7 pour arriver à l'intégrale cherchée, il suffira de faire la somme de tous les termes que Fou obtiendra eu donnant successivement à 0 pour valeurs les multiples pairs
de-=—
Si X était égal à o, la partie de F intégrale correspondante k une couple de racines imaginaires deviendrait
e*™*® [C, sin^(35 -ha*sm5) 4- C,cos^(^ -h a*$mS)lt ou plus simplement
c étant un angle arbitraire quelconque et C une constante arbitraire.
1 1°. D> 4- A.Dr1/ 4- AtDnx~\r -+- AsDJ'V 4-. • • 4-A/l 1Dxj-h A„7~ é7j^-f- «Ixfl,-I-f-rt,xm-a-h...4-û«lx-f "*.
Essayons de satisfaire à l'équation proposée, par une valeur de la forme
yx = £.r"-f- b^-1 -f- b2xm-2 +...4- 6«-i* -h £„;
en substituant pour j- cette valeur, on trouvera
-hAn^mbl
et, pour déterminer les /w-M coefficients i, 6t,..., h„n on aura les n + i équations du premier degré
Anb=/if Knb1 -f- A„-tmb = 0,,.. . .
Connaissant y„ on complétera l'intégrale générale en ajoutant à cette valeur yx l'intégrale z de l'équation sans second membre
D^z -f- A.D^z-f-. 4- An-tDjZ-J- Knz = o.
TIUMtTO-M2PTriJMS LEÇOK. fïtlj
=: A cm mx H- B sin wj: f
A, B, m étant des constantes données.
Essayons de satisfaire à cette équation en prenant
y t = a cosmx -h a sin otx ;
en substituant, on arrivera à une équation de la forme
a (G cos mx -4- H sin mx) -+- b (R cos mx H- L sin /wx)
= A cosmx -H Bsinmx,
G, H, K, L étant des constantes dépendant de m. Or, cette dernière équation sera vérifiée si Ton a
