GL — HR' ~GL — HR
Ces valeurs de a et de b seront admissibles tant que le dénominateur GL — HK ne sera pas égal à zéro : nous verrons tout à l'heure comment il faudrait procéder si ce dénominateur était nul.
On obtiendrait avec autant de facilité l'intégrale particulière jrt dans le cas où le second membre X, composé d'une suite de deux ou de plusieurs termes de la même forme, serait
X = A cos mx -f- B sin mx -+- A' cos m'a: -f- B' cosm'x 4- . . . ,
et faisant y = u + f, u et v étant deux nouvelles variables, et substituant dans l'équation donnée , on pourra la partager en deux ou plusieurs équations nouvelles
D; u -\- A , D" ~*u -f- . . . -+- Anii = Acos mx -f- B sin /«.r,
L^ + A.D;;-'!» -+-...-+- A„p =n A' cosm'x -f-B' sin m'x.
En procédant comme nous l'avons déjà indiqué, on dé-
20 CALCUL I ffTÉGft Vi
terminera deux intégrales particulières
ux = a cosiwx + & sin/nar, c, 55 a' cosm'x -f- &' sinm'j,
de ces équations , et la somme y = u, «f- t>, de ces deux intégrales vérifiera évidemment l'équation proposée, dont on complétera l'intégrale générale par la valeur de z déterminée comme nous l'avons indiqué plus haut.
ia°
Bïj + J = cos*:
en appliquant la méthode précédente , on trouverait que le dénominateur des valeurs de a et de b est nul. Pour arriver, dans ce cas, & la vraie valeur de l'intégrale , partons de l'équation D%xy -+- y = cosnx. Si Ton cherchait une valeur particulière de cette équation , on trouverait
i cos nx a=- — , b = o, yl== r»
et, en désignant par z l'intégrale de l'équation sans second membre Dlz + z = o, intégrale qui est évidemment égale à C'cosjc + C" sinx , G et G étant deux constantes arbitraires, on aurait pour l'intégrale générale de l'équation B7xy +y = cosnx
y = H- C coso? -4-C sinx,
ou, en posant C = C —
cosnx — cos*
-C'cos.rH-C"sin.r.
cosnx — cosx
Or, pour n = i , 1 expression — prend la forme
x sinx
indéterminée |, et a pour vraie valeur ;donc Tinté-
grale générale de l'équation Dly +J* = cosar est
xsinx „f ,„ .
r = h C'cosx 4- C'srox.
On arriverait au même résultat en employant l'artifice de d'Alembert. En effet, si Ton pose n = i + e, l'intégrale générale de l'équation Dly-{-y=co& nx deviendra
cosfx -4- ix) „, „„ .
X= — —, r + C'cosx4-C"sinx;
or
cos (x -f- tx) cosxcosix — sinxsimx
et Ton trouvera , en développant cosear, sine or, et posant
y ■=. cosx(C 4- Ai) 4- sinx(C"4 — , -H Bi Jf
A et B étant deux coefficients qui ne deviendront pas in* finis quand on fera e = o, n = 1 ; on aura donc définiti vement
xsinx . -„ .
r= h C cosx4-C sinx,
comme nous l'avons déjà vu.
< ju.fr L iftTÉ^IML.
Intégration de quelques équations linéaires, de Tordre *, à coefficient* variables.
