Considérons d'abord l'équation

*J^a-hb.v * X^(a+bxy x ?+'•-

(a -4- for)" Si Ton fait

il vient

/• (r — i ) (r — ?.)... (r — // -f- i ) + Arr(r- »)■••('* — " •+■ 2)-f-...+ A„1/-+ As=f(r)= o;

et Ton en conclut que l'expression y = (a -f- &r)r vérifiera l'équation proposée , si l'on donne pour valeur à r Tune quelconque des n racines r,, r„ . . . , r„ de l'équation auxiliaire f (r) = o. Les n quantités

(a -h bxf*> [a -4- bx)r*, . / . , («H- ^)'%

seront donc autant d'intégrales particulières de Téquation donnée, et l'intégrale générale sera

v =r <\ (n -{- /vf' -f- Ta (/ï H- ^)' < 4- . . . -h 0, (/i -f- />x)r".

Par une méthode tout à fait semblable à celle que nous

avons suivie dans la trente-sixième Leçon, on passera facilement de cette intégrale à celle de 1" équation

U'J * 4- bx "' J + (a-f- h*)* °* * ' ~+ (a 4- fe)P ~ ■

Si quelques-unes des racines rn r,, . . . , rn étaient égales entre elles, ou imaginaires, on aurait recours à des méthodes de transformation absolument identiques avec celles que nous avons employées dans le cas de l'équa tion linéaire à coefficients constants.

Prenons pour exemple l'équation différentielle

l'équation auxiliaire est

en appelant rx et r, ses deux racines supposées inégales, l'intégrale cherchée sera

y = Ct(a + bx)'* 4- C, (ci -+- bx)'*.

Pour reconnaître ce qui arrive dans le cas des racines égales , mettons l'intégrale trouvée sous la forme

y = Ctp[rg) 4-Ca<p(r,),

et faisons

t\ = rt 4- 1 ; on aura

<p(r>)=:ç{rï + i)=<p(rt) 4- Kpf(rt 4- 0t), / = (C, + Otfr,) + C.t^r, +0.) = Cf(rf)-f- CV(r. -f- *•) ;,

en passant à la limite et remarquant que

ç'(r) = Dr(rtt -f b.r)r — (a 4- bx)r\ {a 4- bx),

on verra que quand les racines sont égales, l'intégrale

(ALCtL INTÉGRAL»

devient

on verrait de même que si trois racines r,, r%, r% sont égales, l'intégrale générale est

x = (a + ^)ri [C -h C"l(« -h Ar) -h CT\(a -h *x)« J

-f- C4 (a 4- focy"4 H- • . .