Comme seconde application, considérons F équation

Di/ -f- x.d,/ -+- x,r = x.

Nous ayons vu qu'il suffira de connaître une intégrale particulière de l'équation sans second membre

Djz -f- X,D, z -f- Xaz = o

pour ramener au premier ordre l'équation avec second membre. Soit z, cette intégrale , et posons y = uzx ; en différentiant il viendra

Dxj = uDxzt -f- *(Dcu»

Dix = uDîzt -+- 7.Dxztiyxu -f- ziïlu.

Substituant dans l'équation proposée et réduisant, on trouvera

(*Vxzt 4- X,s,) Dxu -f- ztDlu = X ;

et en faisant Dxii = *>,

2XDX p 4- (aDxZj -+- X^) c = X.

On tirera de cette dernière équation la valeur de e, et l'on en conclura

u = C -h fvdx, x = *i (C "h Jvdx)*

Exemple :

Dx7+Xir = X;

l'équation en z sera

Djz-f- X,* =o,

THENTE-RllTÏEME LEÇON*

F équation en v deviendra

î.Djt' -f- ?.i*Jyszl ~ X, ou zkih H- 2w/*j = X*£r; multipliant par zu et intégrant , on aura

vz] = Cf-f- (*Xzxdx,

L'intégrale générale de l'équation en z sera

z = Câ«x -f £,*, / — •

Comme nous l'avons vu encore pour abaisser le degré de l'équation sans second membre , il n'est pas nécessaire de connaître une valeur particulière de z \ mais la nouvelle équation différentielle du premier ordre ne sera plus linéaire comme la précédente : il suffit pour cela de

faire z = eJxJ , d'où

f* idx DxZ = te** x9 = tz,

Diz = tj}sz -+- zDxt = (Dxt -f- t*)z

Substituant ces valeurs dans l'équation différentielle proposée, z sera facteur commun, et il restera une équation différentielle en t du premier ordre, mais qui ne sera pas» linéaire, puisqu'elle renfermera des puissances de t.

Exemple :

DJ z -h X, z = o;

l'équation en t sera

D,f -f-f1 H-Xa = o.

CALCUL IÎITÉCpHAL.

Puisque U,z = z ' = t z, on aura

et il semble que la valeur de t renfermera deux constantes ainsi que la valeur de z, ce qui ne peut être, puisque l'équation en t est du premier ordre ; mais les deux constantes de la valeur de t se réduiront en réalité à une seule. En effet , la valeur de z est donnée par l'équation

Jr* dx — >

OU

C* dx

pn faisant z,^= zt I -y-, et Ton aura, par conséquent ,

251. Faisons Xj = — aoc"\ a étant un coefficient constant, et cherchons l'intégrale de l'équation

Diz — axmz = o.

L'équation en t deviendra

Dxt -h t* = ax™, ou dt -h f a*£r = axmdx.

C'est l'équation de Riccati , que Ton saura intégrer, par conséquent, si l'on sait intégrer l'équation

Dlz — axm z — o.

Pour y parvenir, posons

TRfJlTfi-Ht'ITlLME LËÇOU.

voyons m DOW pourrons déterminer le nombre et et h fonction fc(ii), de manière a satisfaire à l'équation en z\ on a

D'xz = a' x^-2 / u*<p (u)ç-x udu J o

en substituant dans l'équation D^z — aa^z = o , et exprimant qu'elle est satisfaite, on trouvera d'abord que a — 2 doit être égal à m, ou a = w + 2, et que 9(14) sera déterminé par l'équation

/ \*%xàU* — a. (« — 1 ) u — tf] 0 («) * ""* Va == o.

Or, on peut choisir ^{u) de manière que l'intégrale qui précède, prise entre des limites quelconques, soit

égale à ty(u)e~~x*u\ car, e# différend an t les deux membres de l'équation

on trouve î;.;

et cette dernière équation sera satisfaite, quel que soit «, si Ton a

et — I a

on a donc

J[*»xaa> — *(* — t)u—a]Q{*)é-K*utiu=C* * * '"*'%

et l'intégrale définie prise entre les deux limites o eloo s'évanouira nécessairement, puisque le second membre s'évanouit aux deux limites. D'ailleurs, des équations

4,(u) = Cu*e A, + («) = -«■»»*(«),

on tire

et, en substituant pour <f(ju) sa valeur, on trouvera dé6nitivement que l'expression

/.oo - I X*tt f .■ •' "

'dt

vérifie , lorsque a = m + 2, l'équation proposée

Si, après avoir fait, pour abréger, — = &*, on change u*

en m, on trouvera que la valeur de z prend la forme plus simple

■ = CaÇ c «*

da.

Enfin, si dans cette dernière expression on change u en - , ce qui ne change pas encore les limites , on aura

z^:- c «* du

252. H est facile de prouver , à priori , que cette valeur de z vérifie réellement l'équation proposée. Supposons en effet qu'on fasse d'abord

ou bien , en changeant u en ux,

f{x)=l-fu* c udu,

et mettons en évidence quelques propriétés de la fonction f(x). En différentiant, par rapport à a:, les deux membres de l'équation précédente, on trouve v

et, en multipliant par x,

Intégrons maintenant par parties , en remarquant, i° que si l'on fait

on aura

* " = q\ a° qu'en posant de plus

on aura

,.CC ..00 oo

VW = - I pdq=—pq+ J qdpz=: f qdp,

car pq = u'c u s évanouit pour a = o cl u = x. On a d'ailleurs

dp = - u* erudu — a* <rmdu9 Et

qdp = - if"

du — «« e

'du,

et, par suite,

fldp = xf'{x)=f{x)- f\*e U ~^du.

En différentiant de nouveau par rapport à x, on aura

xf"(.v) = u.v*-1 f u* J o

y(x) satisfait donc à l'équation

v udu= rt^-'/(x);

"^- «îr^-2

.ro*:

qui ressemble déjà beaucoup à l'équation différentielle proposée , mais qui est moins générale parce qu'elle suppose que Ton a a = a* = (m + 2)*. Pour lui donner toute la généralité qu'elle doit avoir, faisons

d'où

D7xz= À-'fff(Ax), z*(*x)*~*z, Vlz=A*«.*x*-*z,

et, en posan' Aa = — >

D's — ax*~~l z = ««***.

H est donc bien certain que la valeur

ot k* x* « a x*

e u* </#< = C J c *%a* du

vérifie l'équation différentielle D£z = aa:*— az.

Exemple. Soit a = 2 , l'équation différentielle se réduit à Diz= az, et Ton a

= Cj e 4* l du;

or

r.CO — u* —

et par conséquent

donc la valeur z, = C, V/V e— * V* est une intégrale particulière de l'équation D^z = az. Mais nous avons vu que son intégrale générale était

donc enfin, l'intégrale générale de l'équation D7zz=az sera définitivement

z — C é-*^* -h C cx[/a .