Considérons maintenant l'équation différentielle

une intégrale particulière de cette nouvelle équation sera

évidemment

En changeant u en x y — u, ce qui ne change rien aux limites, et réduisant, on trouvera

afiy

,eo B*__W.

Donc si <p (x) est l'intégrale particulière de l'équation

différentielle D*z = aaf~* z, z =x<f ( - j sera l'intégrale

particulière de l'équation que l'on déduit de la précédente en changeant a en — a. 11 en sera de même de l'intégrale générale , car si <j> (x) représente l'intégrale générale de l'équation

D7xz = ax

on aura

et par suite

V»(x)=ax*-*p(x),

or, si l'on différence deux fois l'expression z = x<p f - l, on trouvera

et en substituant pour 9* ( - ) » ? ( ~ ) leurs valeurs

donc réellement si <p (x) vérifie l'équation DjJ z = ax*~2z , X(f ( i J vérifiera l'équation D 1 « = ax~*"a que Ton déduit

de la première en changeant a en — a.

Exemple. Nous avons vu que lorsque a était popitif et égal k 2, l'équation différentielle se réduisait à Di z = oc , et avait pour intégrale générale

s = Ce"**'* + C "/^ = <p(x).

Donc si l'on change a en — a , c'est-à-dire si l'on fait a= — 2, l'équation différentielle, qui devient Dlz=ax'*z , aura pour intégrale générale

3 = xq> (lA = x\C e-1T +C"e~r) .

Dans tous les cas , quand on connaîtra l'intégrale générale correspondante à une certaine valeur positive de a, on en déduira immédiatement l'intégrale correspondante à cette même valeur prise négativement.

254. On peut, dans un certain cas particulier, obtenir en termes finis l'intégrale générale de l'équation

Di z = ax*~~* z, c'est lorsque i = ji + ! , <*= — — — ,

/* étant un nombre entier; alors, en effet, l'intégrale trouvée " "

tX* s- J ■

=ci.

deviendra, si l'on y change successivement, i° u en u * ,

X* nA

a° a en m/; et si l'on fait -7 = j, ,C-i- =* C, »

a et

Jr.| 1 *— flif ' L>

Supposons un instant que ce soit égal à 2, l'équation différentielle devient alors Dl z = az , et a pour intc T. u. .fi

grale, comme nous avons vu .

ou, en faisant x* = 4J?

comme la valeur précédente de z n'est qu'une transformation de celle-ci , on aura nécessairement, en remplaçant

a et Cpap leurs valeur $, 2, ,

rvt rflB~» du = *$ e-av^v/;f

et en différentiant » fois par rapport ka, on trouvera

j"*^'*'"""" du = (- ,)- V^TraLr*e-'V^\

or, on calculera sans peine dans tous les cas, la valeur de cette dérivée de Tordre n que l'on peut mettre sous la forme f (a:, \/a) et qui à une constante Cv près, sera une intégrale particulière z± de l'équation Dlz =ajc*~~* z

dans le cas où -=/i + J. H est facile de voir que cette même équation sera satisfaite encore par l'expression z% = f(x, — Va), car la valeur de l'intégrale

— au

e "du

reste évidemment la même quand on change l/a en — l/a? l'intégrale générale de l'équation D£ z = ax*'"*, dans le

cas où - = n + h sera donc a

s = C,f(x, \Ai) + C,/(x, -V"a), et s'exprime par conséquent en termes 6nis.

TRENTE-HUITIEME LBÇOJC. 643