Proposons-nous d'intégrer l'équation

et pour y parvenir, considérons d'abord l'équation plus

générale D£ y — xy = Ct, dans laquelle Ct désigne une

constante arbitraire : faisons y = Je?* Z dz, Z étant une fonction arbitraire de la nouvelle variable indépendante z, et l'intégrale devant être prise entre des limites qu'il s'agit de déterminer. On aura

Vxy=fe«Z*tUf

et en substituant dans l'équation Dnxy — xy = Ct ,

fe-* Zz« dz — fe** xZ dzz=Ct.

En intégrant par parties, on a

fe** xZ dz = r" Z -/r« dZ ,

et par conséquent

fe" (Z** dz -+- dZ) — «" Z = C,.

La fonction Z et les limites de l'intégrale étant complètement arbitraires , nous pouvons en disposer de telle sorte que la partie affectée du signe intégral s'évanouissant, la différence entre les deux valeurs aux limites de la partie intégrée etxZ soit égale à — Ct . La première condition four-

nit immédiatement l'équation différentielle -y-= — *" dz, d'où Ton tire

Z = C* "-*-', e**Zz^Ce"n^1 e**;

ct la seconde sera satisfaite si , en prenant pour limites

z = o, z = oo ; on fait C = Ct , on aura donc

644 CALCUL 1K TEC H AL.

Cette valeur de^ne sera cependant quune intégrale particulière ^j de l'équation proposée. Pour en obtenir une seconde , il suffit de remarquer que puisque la quantité Z ne change pas quand on y remplace z par aâ z , at étant une des racines de l'équation «"+1 — i = o, et qu'il en est de même des deux limites de l'intégration, on aura une seconde intégrale particulière en prenant ponr

e "-*-* e'*8* dz. D'ailleurs la différence de ces deux intégrales particulières fournit nécessairement une intégrale particulière yx de l'équation

D"y — xy = o; on aura donc

>(e»-*te*>'x)dz,

d désignant une constante quelconque.

Les n — i autres intégrales particulières s'obtiendront évidemment en employant les n — i autres racines at, «s» • • • ^ an de F équation a"+1 — i = o ; et par conséquent l'intégrale générale de l'équation proposée sera, en faisant Ct + C, 4-C8 +. . . + C„ = c,

(-•! — — cl9 Ct» — — c», . . . 9 Cjt — — - cm9

En différentiant n fois de suite, par rapport à x, cette valeur de y, on verra sans peine que dans l'hypothèse de 2 = o, le coefficient différentiel Dxjr se réduira à la somme c -f- ^i + ct + . . .+ c„, et l'on en conclura que l'intégrale complèlc de l'équation D£j — xy = Ct, s'exprimera par la même valeur de y, pourvu que les n -f- i constantes soient assujetties à la condition

c -+- r, -h rÀ -h . -f- rh r= C».

TUEtfTE-HtHTiEME LEÇOtf.

236, Considérons en second lieu l'intégrale D£r + abxmy = o, que Ton peut mettre sous la forme

Vif *J

5Lr =

en posant ai = c\ Prenons pour variable indépendante la variable z , déterminée par l'équation

on aura

<& = xadx ,

en faisant

Z = X = - Xmy

et, par suite,

Dir = (m — i)x«-aD,/ -+- x'C-Od; j,

si Ton substitue ces valeurs dans la proposée, elle deviendra

Pour intégrer cette dernière équation , faisons

y=fe—Tdt, on aura successivement

zy = fer«Tzdt = — «r-'*T -t- f*-tgdT, \>My = — f<r"Ttdt, zDly z=fer»Tt*zdt=i — <r-"TÏ* +f*-*d.Tt*i

substituant ces valeurs dans l'équation

vu — i i ^

ise suas la forme

*{ Uij — ç*y)+t—± D,/ = Of

il viendra

(r-**T{ç* — t ») -hfir-tg(d.Tt* — c»</T — - ' Tf«frj — o.

~în égalant à zéro la partie soumise au signe intégral , on mra, pour déterminer T, l'équation différentielle

(/* — c*)dT -h - -Tftfc = o,

d'où Ton tire

m -f- 1 tdt

et, en intégrant ,

Il reste à déterminer les limites par la condition que la différence entre les deux valeurs extrêmes de l'expression

é-*9T(c* — t*) = e-u(cf — t*) ™* soit égale à zéro;

or, tant que l'exposant sera positif, cette condition

sera satisfaite, si l'on prend, pour valeur extrême de t , t = o, t = oo, et, par conséquent , une des intégrales particulières de l'équation donnée sera

= C< f 6'-'s(c* — *») am rf/

TRENTE-HUITIEME LEÇOH.

Mais la condition aux limites serait encore satisfaite ai I on prenait pour valeurs extrêmes t = — c, £ = +C; on arrive ainsi, en changeant tour à tour f en cf, f en— cf, à deux nouvelles valeurs de^ ;

d'où Ton déduirait facilement

r = C / V" -+- *-**)( i — r») ^ <fr.

Pour obtenir une seconde valeur particulière, faisons y = zyx , l'équation proposée deviendra

xï>lyx -f- iBxyl = c**+*xn ou

Wr. -+- -77— ri>«r. =^r«.

si Ton prend pour variable indépendante dz = jrar/x . En comparant la dernière équation à celle que nous avons obtenue plus haut

D.'j 4-^;DJir =r»r,

on arrivera à cette conclusion importante , que, si l'équation proposée est Vérifiée par une certaine valeur ^ = J'i, elle le sera encore par le produit xjru pourvu que dans la valeur de yx on change m en — m ; la somme des deux intégrales particulières, obtenues comme nous venons de le dire, sera l'intégrale générale cherchée.

CALCUL 1NTÉGBAL.

M* Lubeiio, ji qui nous avons emprunté ce» transformations , ajoyw, eu fcrmina.nl ta Noie, que le» valeurs de y précëJemmetil ironisa peur les intégral c?i complètes des deux équations

conduisent immédiatement aux intégrales complètes des équatâou» aux dérivées partielles DJr = xD^'r, D«r = «- D»r-

257. Pour rendre plus sensibles encore les théories que nous avons exposées , pour familiariser avec les artifices de calcul par lesquels on est forcé de suppléer sans cesso à l'imperfection des théories générales, pour mieux faire connaître l'état actuel de la science , nous avons cru nécessaire de passer eu revue rapidement les diverses classée d'équations que les géomètres sont parvenus à intégrer directement ou à l'aide de procédés plus ou moins détournés. Les équations

Dxjr — ay=o, Dxjr — a**» = o,

si élégamment intégrées par M. Lobatto , sont déjà deux exemples remarquables de ee qu'on peut obtenir à l'aide de transformations habilement devinées.

I. Équations dans lesquelles une dérivée d'ordre quelconque est exprimée en fonction de la dérivée qui la précède d'un ou de deux rangs.

Posons

dy = pdx, dp = qdx , dq = rdx , . . . ,

puis désignons respectivement par Y, P, Q, R,.a. des fonctions de y» P> 9> '",..., dételle sorte que l'on ait

Y =/(,), P = fl», Q = •(«),....

et proposons-nous d'intégrer les éqnations

P=Y=/(.r), * = P = fr», r = Q=: ,,{*),.... Comme on a p = — , la première de ces équations devient

dx — y »

et donne immédiatement

A cause de n = -J-, la seconde donne

Jr-(lP AY-PdP *-fdP y - r ^

La troisième équation » =Q, quand on y substitue pour r sa valeur

r=£'donnc

<Toà

On trouvera de raômo que les équations * = R, t = S, donneront R' ' = J TïJ rJTT'

/rfi 1*1/5 fds Cas Csds

s> ' = J sj sj sj-s*

Corollaire. Si dans las équations

Z-J7' r-JT

on suppose x = P, on aura

*=<*P, jrzzfpgP^Pp-ffy,

ce qui devait être. Si , au contraire, on (ait x = Q, on aura

dx = d Q, <?dx = dp = 7<3Q, /> =/**?, J- =fàQfldQ = Qf ,*) -flQdQ.

ou 9 en transformant,

Si Ton faisait x = R, x = S, on trouverait de même

Gr = RV — 3R»/R^ -h 3R/R»«ir /R«*. . . etc. , a4r = S4i - 4 S«/S<k -h 6S*fS*ds - 4S/Si<fc +/S'ds. . . .

En conservant les mêmes notations que ci-dessus, cherchons les intégrales dos équations

CALCUL IHTÊGIUL.

pour la première équation q Y , comme on a

pdp=Y4y, F*=*fYdy, ^l/i/»=J,

Pour la féconde r = P, à cause de r = 2-î, on aura

d'où

J i/ïfWdp J l/ay P^

Pour la troisième, la quatrième, etc., procédant de la même manière, on trouvera

V'^TQdq

l/ïfQdqJ l/z/Qdq'

Rdr

la loi est évidente.

Les équations qui précèdent sont toutes comprises dans les deux formules

F(C"V,D>)=<>> F(»rV,D^)=o, qu'on peut intégrer comme il suit : en posant tour à tour

ces deux équations deviendront

et Ton en tirera

dx =/(«)<*•, x = // (i)si + C = j»(«),

TRENTE* Ht ITILME LEÇOK- Si Ton peut résoudre, par rapport a *, l'équation * ->;■ on conhIta !>,. .r, et, par une suite de qusd raturas, on arriver A à la valeur jp. Si Pou M peut paa la résoudre, on obtiendra y de la nuaière suivante + l'équation D, f es a donne

intégrant toujours par rapport à x, et remplaçant dx par /(s) dedans le second membre , on parviendra, par une suite de quadratures, à une valeur de la former = f (a), et il suffira d'éliminer a entre les deux équations x = y (s), 7" = f (s), pour trouver l'intégrale générale de l'équation donnée, avec n constantes arbitraires.

De même , si Ton peut résoudre, par rapport à a, l'équation x = x (*)>

on connaîtra Djr-1 j, et, par suite, y à l'aide de n — a quadratures qui

introduiront n — a nouvelles constantes arbitraires. Sinon, on obtiendra

y en fonction de a, en intégrant n — a fois l'équation Dx-ir = a, après

avoir multiplié à chaque fois le premier membre par dx, et le second par /(s)rfs qui est égal à dx.

Plus généralement encore, si Ton a

F(x,D>,Dr>,.., D>) = o,

on abaissera de m unités Tordre de cette équation, en posant D,r = *, et, si l'on peut intégrer l'équation

F(x, a, D,a,..., Dr'"*) = o,

puis résoudre par rapport à x ou à a, on obtiendra l'équation en x et en y par les mêmes moyens que dans les cas précédents. Si l'équation était

on pourrait , par le changement de variable i ndépendante , la ramener à la forme

F(y, D,x, D^x, . . ., D*x) = o, et l'abaisser en posant

DjX =3 /».

CALCUL lîiTÊGJUJL

Exemple* t -/toi fis parmi les équations que Von rencontre tepfct souvent dans les applications du calcul intégrai.

d*r dT P

*dP=d*> ou ♦"*«« dp

dt — a — , * = G, -4- alp :

3°. -adxd*j = {dx* +&*}*, x=*C, *

Vi -+- p*

â*4ï as

cl * = V//5ârr^4rî est prit pour variable indépendante. On a

pdxdp

d*i = o=i£,xl/i -H />»-+-

dou

l/TTT1*

et | en substituant dans la proposée ,

ad/; __ ap

Par suite, en faisant/? = - ,

<fr =

ïdu

adu

(■*-+- i)t |/«»-hl («t-hl)ï

\zmr%

-4-«l(ii-t-l/l-Hu« ),

-♦Vi-h/»'

ds4r dy

5°- 7^ = «ûrctang^,

dt étant encore la variable indépendante : on aura dx(\ -H/>*)«

= <i arc tang/> ;

dx =

— rarctangf». dy — ^-^ arc lang^;

TREKTB-HCITIÈME LEÇON. 653

> comme la différentielle de are tang/» est — ^JL-, on aura

x = arc tang f> -ha I — P " ,

r= — r=arc Ung /> — a I • — -2- — r,

x = Ct-— £— - — ==arc tangj»,

r=Ct -»- ' arctang/>.

6°- •Së=0-f-ê» ou «^**/ï+v>

l'élimination de 7 entre ces deux équations donnera l'intégrale cherchée.

1 adp-dp' adï-r>

x= a\r-hC„ y = a,r-\-a — ! lr*-+- aC,\r ■+- C,. 4. 5. a* a* a

/> = a 1 x -H C, , .y = ax\x h- Car-+-Cr

10°. . . = - cos r :

dx* a b

ds = \/dx% -+ djr% est constant j par conséquent,

dsd's = drd<x -h dyd V ^ 0, <*'* s. - ZÎ^L;

aura

CÀXCL'L INTÉOIUL

M d'y d**d\r dx h . x

^ = (l+Vï::__ =T«*V ^ = *,u^C,f

. = — ~ COI - ^h C, Jf H- C,,

rf'x

«ri(r

on suppose que y est variable indépendante : on aura 12°.

* <lr4 "" <ir*'

dx* ~q' dx* ~~ a" dx* "~ <r* '

^=/«7<*r = « l/«*-t- C, 4-C„ .r = «^ -+- <iC, 1 («/ -h l/?* -+- C, ) -r C, , rx x r

SUS8. II. Équations du second ordre dans lesquelles une des variables x ou y manque; on de la forme F (x, p9 q) = o, F (y, />, 7) =0. Si y manque,

on substituera à q sa valeur—, et Ton n'aura plus à intégrer qu'une

équation du premier ordre, dont on tirera la râleur de p en x, ou de x en p. Si cela est impossible, on tâchera d'exprimer x et p en fonction d'une nouvelle variables ; on aura donc ou /* = X, x = P; ou x = Z„ /» =Z, ; et l'intégrale cherchée sera dès lors donnée par une des trots équations

r = f\dx, ,=fPM, r = JZtdZ,.

Dans le second cas, c'est-à-dire si x manque, des équations dp 4r

a = -7-, dr=z —,

puis l'on substituera celte valeur dans l'équation donnée qui sera du

TJVENTE-IH'ITIEME LEÇON,

premier ordre, et ne renfermera plot que y et p, On on tirera, onp = Y, oo/ = P; ou p — Zlt r = 2,; x item donnée par «ne des équations «OtTAfltei :

■-/*■ -f'i'Wï- <*ft

applications numériques.

o (dx*-*-4r*)i x at dp dx *xdx

1 * dxd*y -A-ax» (.^.^"X"" a« '

(<&r'-+-4r,)î x' Ctx — t

dxd'y

|/*»-(C,jr. -.«)«'

,= T (C,«-«)dr

ki yx -+-i c, c;

3°. dr(Jx» -+- 4r») -4- x4rrfV = «<*f.r l/dx*n-^«,

. ^dx xxdx

1/V-+- x« a*l/a« + J équation linéaire du premier ordre, qui donne

-+- 2a' — orl/V-hx*

-+-CllAi«-H*»-C,r,

aV = - {*' - | a«x -h | (a* -*-x*)î - * Çx8

CALCUL imtégiUl.

5°. (a*4r* * z*dr*} d1} = «xdx"^ (i*Vl +* **)4f> = nprdxt

{a1/»1 -+- x1} ^ = npxdr,

équation homogène do quatrième degré, par rapport à * et à p. Faisons x =/w, il viendra

— nc;yv<tt« [«• -Ki — ■>» ] ' - " •

Si n = i, on trouvera

ou ou

ap9dx:4-+- x*dp — npx V^dx* h- «'^pS

<?p" h- fx« = nj>x l/i -+- aV , équation homogène par rapport à p et à x. En posant p = ex, on aura

dp __ *** h- n* V/^i — nWTâV S""9 n'aV — i '

dx ds dt

*~~q — *~~ * t + as—n* a*s* -h n l/T^n*^s*« -f, <iV

<fc I -H os — nW -nj/t- w'ii's* -h a*g

~~ s n*— i — a** •+- (n* — i)<iV '

on obtiendra/* et q à l'aide des équations

p -=. tX) y =zfpdx =/sxdx.

Supposons qu'on ail n* = a, n = l/â, on trouvera

dr rf.-(t-j/â) «dk(3 — aj/â)

x "~ « i — ne '

7». dxVr — xAW = «dxrfi |/<iV -f- ds/ « ;

*dj = y/dx* -+- dj * est considéré comme constant : on aura

j. j. /*/dx' ^dr'

1 différentlant, on m

— xdq r= adqy d*OÙ dq = O,

c (* . x-+-a (* x'-h'iax „

8°. dx*dj — xds* dxy = ^

5 est encore pris pour variable indépendante : on arrivera a l'équation

p—qx='

difterentianl, on trouvera

bdq

— xdq = ■

d'où

? = 7rH . > y = \ pdx =: —-- ■

La valeur x= : — r donnerait

-hCt. t

1/TTT7*

6'7(i4-aa'^) &V ; 3&»y 36»

-y-- a(l+lv)« 8(i-r-<iV)"+'i6(i-h«vr^ar lnca7"f* ;

en éliminant 9 entre les deux équations, on arrivera à une intégrale nouvelle qui ne sera qu'une intégrale particulière.

90. abd'y = dx frjj*-i-W , nbq = s/^T^p% = ^^ , équation homogène par rapport h y et p. Voioniy — pz , on aura

^ abz — r* V7*»* ■*- **

« . . /-i ; . . • ** A têt ' '■

et, en faisant yV -h s» = «s, *• = — - ^, -=-__, .

(*ty* -fr- **} ^ = ttpj-d-r,

équation homogène du quatr-iéntt* dejjré, par rapport h x et à p> Faî»n?:? x =/w, il Wl

,, = (;,[«• -f-(i — »)«,]a(I — ■), *=Cf»[a*-+-(i — n)««]«0 — ■•*,

— nC\fu%du [««-+- (i -.*)*»] »-"

Si r = i, on trouvera

ou ou

#<i«fr» 4- jflWV = »x4r l'aV-t-a af«r% 0/>*<2x;-t- x*dp =. npx \fdx% -+- a'^pS

tff>' H- fx* = npx i/l -Ha'f* 9 équation homogène par rapport à /? et à x. En posant/? = sx, on aura

dp __ «** 4- n* l/i — «VT^-aV

dx <fa rfx

~~ T n* — 1 — 2az ■+- (n* — i)<iV '

on obtiendra/» et 7 à l'aide des équations

p = «x, /■ =fpdx =z/txdx.

Supposons qu'on ail n1 = a, » =. V^â, on trouvera

dx«<(r - xAW = «dxrf* 1/dV +rf,/,i

*dj = L/rfx' h- J/* est considéré comme constant : on aura rf'i = o, d:x

ou , en faisant arc cos = y ,

y=za(i — cos y), % ar = { — f — cot |y. • . ..• ""~ **•

Posons p*-hjr* = ** i d'où

/*o> -h fd> =■ qdjr -f- ydjr = *<& et

r« = C>* , etenfaWWI'r'ssry *** =

atl/4«*f — (Ct-i-f)v

Posons encore '

i = aa* — C» -+- aa cos y l/V — C, , il Tiendra

— g (a -H cos y ^a* — C\ ) df

aa1 — C, -h sa cos p [/râi~^Cl

idx = — ûœ — £-

a' — C, -h aa cos y y/a1 — C, en intégrant , et pesant

m = — !-- ~— l d'où C, = . .■ ' . ,~, y a* — C, = y

on aura

m-f-coso aa'(t -t-mcoso)

ax = f — <p — arc cos — -^ £, r" = — - — '*■

Cette équation donne

y*(i + |/i - m») — aa»

cos y =^

orna* • :•»*•

m -+- cos y __ r* (r H- j/l — m') — aa*(i — m*) i -+- m cos <p ~" wîr*(i-4-ï/x — "»*)

et, on faisant ,rt> *

^ = <,(,-!/, -m») f , . = *• + 6« + aa* cos f / ?; '

ïah . a9 — b*

I urri. IHTÉGIUL

a* — ( — s- — are co» — r ^ j-i- — JT

* . (-■ — *«) fin ? — f ?— arcsin ^ 1.

13°. d xj (ydjr -+- adx) =. <{r (dx* -t- 4>* * ) ,

</^(Aîr-Hû) = 4r(i-+-fi), <(r-

intégrant.

Si Ton faisait Câ = o, on obtiendrait l'intégrale particulière

jr = ap, et x = a\p-+-C, y = C'ea. Si Ton faisait, au contraire. G, = at à cause de /» -+- l/i -r- f * = - et # = . il viendrait

x=«l^ --f-C ou ^*=/i«-f-C'efl.

i3°. dy*—yd*jr = n]/dx*dy% -*- ûVV, >• — qx = n l/p*+ «V ; faisons

il viendra

:/»5 ou p—=pg,

//! — />#' = n// l/ 1 -h a'*8 , ^ — rj = n t/ 1 -t- 11*5 "■ ; differentiant et remarquant que <fy> — «<*.;', on trouvera

d'où

dz — o ou r = -

La première équation donne

1/i-t-aV

'"=C„ ^ = C^H-Ct, rfx = c^cv CxrslfC^H-C,);

TRENTE-HUITIÈME LEÇON, la féconde équation donnerait

/> = $r -H n l/i -*- aV =

Wn-

, dx «V/s

rfr = ~ = - |h-<kV. * = — a arc tang «s -+-C, ,

et parce que

21S9. III. Équations homogènes.

Une équation différentielle est homogène lorsque, en considérant les variables xtjry et leurs différentielles dx, dyy d*y9 comme des facteur» du premier degré, tous les termes de l'équation sont du même degré. Ainsi , par exemple, l'équation x*d*y -+- xdx*-hy4r% = o est homogène, parce que tous les termes sont du troisième degré. Mais si dxt dry d*jr sont considérés comme des facteurs du premier degré, p, qui est égal à dy dxy

— , sera du degré o, y = -j—j sera du degré — i, etc.; donc, si l'on

ramène l'équation à ne plus contenir quex,.r, />,?»•••> pour qu'elle soit homogène, il faudra qu'en accordant respectivement a ces quantités les degrés i, o, — i,...» tous les termes de l'équation soient encore du

même degré. On en conclura que si Ton fait y = sx:q = , . . . , tous les

termes contiendront r à la même puissance. Cette variable disparaîtra donc , et sa disparition est précisément le caractère distinctif des équations homogènes. L'intégration de semblables équations du second ordre se ramène toujours ù l'intégration d'une équation du premier ordre. En

effet, puisqu'en posante = «", q = -, x disparaît, l'équation résultante renfermera les trois seules quantités a, t et p, et pur conséquent une de ces trois quantités pourra toujours s'exprimer au moyen des deux autres. Mais , des deux équations dy — pdx , zdx -h xdz = dy> on tire

dr dz

on a aussi

d'où

zdx -+- xdz = pdx .

dp = y dx = -tirj

dx dp

dx En égalant ces deux valeurs de — ,

= — ou idz =c pdp — td

» \t*\ i ibTfaiur.

!*•» «IV (.* <•* H- «*x> =. <y ^«r- -*- n» • ; ,

(«titrant,

Si 1>m fcitttl C> t= *>> o* obtwfxiroit ttftltfnlt particslim

S* IV* t*t%*tt» *<* c\v*ir»«y» C* = #, à cawe «I* p -r- 1 t — .-

jr *: -— 1- ~r- T ** .• * = «* — C **.

* = Ù,. r=:Cj---<;. £r=:

cs-c>

TREKTE-HUITIEME LEÇOBÏ, Exemples :

l°, jr'rfV = xdxtfy -h %ydx*7 ou x*q = xp -h 5f î

Étoni

d'où

dr __ <fy? __ dp __ du T — T """ /i -+- 3s ~" p — z'

{p + $f)ds=.pdp — *dp9 p = z + l/"4** -+- C|t

ix=j t-h ^ =¥i ,

, i + y/aTï* / + 1/CV+/' r . c

l/mxMr,-+-«r,<**S

les mêmes substitutions donneront

dz X/mp* h- ns' =z(p — z)dpt

et, en faisant p = zs, '

5 l/mi* -f- n — s* -+- s

3°. nx1 d ly = {ydx — xdjy ;

les mêmes transformations donneront

ndp = (p — z)dz,

et, en faisant p — s = m, on trouvera

, ndtt u — n

dz = 0, *=-7; ,

tt — » CtU *

. u — n . nC,x

7 = nx 1 — - — = nx I •

4«. (dx1 -4- 4r')« = ndxd *jr \/x%-*-y*\

on trouvera

(i +p*jids = n(p— z)dp V/TTT'.

Pour intégrer cette équation , posons

//=tang«, * = tan(j6,

CALCUL IATÉG&AL.

t nation du premier ordre que Ton intégrera d'après les procédé* «nias, au moins par approximation. Cette équation sera réellement imtëible à l'aide de simples quadratures, i° si refit une fonction hoenode de fret de r t car alors l'équation fera homogène et du premier degré; . si f est une fonction quelconque âapt parce qu'alors l'équation est du premier ordre, et du premier degré, par rapport à s : mise sous la forme

elle a pour intégrale

Çdp Çdp

J <M=Z reJ 'pp.

dz =

!° si i est fonction quelconque de la différence p — g ; car, en misant — g = u, t deviendra fonction de w, et, à cause de /> = j -+- u, Péquaion tdg f= pâp — gâp deviendra

tdg = udu -4- udt, d-Z.

d'où

udu r udu

l'intégration est ramenée à une simple quadrature; 4° «», en posant toujours f — z = u, et désignant parP, Q, R des fonctions quelconques . . Vu

de u, on avait t = « -+- car alors l'équation devient

ys -H ris*

P«fc = Qsdu -h Rs »du,

et on sait l'intégrer; 5° si. en désignant par M, N des fonctions quelconques de s, on a

/ = u -+- Mu* -h Nuw;

car l'équation devient alors

Muds -h Nu* - « dz = du.

En général , comme l'équation

tdz = pdp — zdp

peut se mettre sous la forme

udu =. (t — u)dc, on aura

t =z u -+- Su,

si, en désignant par S une fonction des deux variables u et z, l'équation du = SJz est intégrablc.

an posant •on aura

TREflTE-HUITIEME LEÇON.

Faisons * =s.r*, il viendra

«(r H- (i -+- 1) *4r = r*<& -+■ **<fr,

4r __ «fr

* 6 s Je */f

Jr~" «-*-£ 6 — S '

.r(« + ,)«-+-6 (6 -*)*-*-6 =C,i on a d'ailleurs

dx djr __ <fc

*" "~ J* ~~ (*-t- *) ^ — *)' ou

<Lr \ dz ' \ d&

ex*-+-6-*Cï-f6

■substituant et posant — ~ = C,

a°. x*rfV = x'dxtfy -f- ixydxdy — fy'ih'',

x4? = x»^ -h ax^p — 4r • :

ici n = a ; posons

^ = x««, j>=xl, ?=«=?, il viendra

l'équation différentielle en « et t sera

a*<fc (< — a*) = dt (t — a*), d'où

I =M, ou i= a'-f-C,.

CÀIXliL ISTÉGKÀL.

sï?> = « — 6, et

dx <fr d$ cos « (cos 6 cos y — gin 6 sin>) <fô

x "~ j>— s "" cos Csin y ~~ cos 6 sin y ~*~" ~~

• __ cos y dS sin €<*6 neosycfê sin 6<f€

% "" siny cos 6 "" i — m si a y cos 6 '

puisque

i — n siu y ' donc

^ C, cos 6 y C^inC ç= f m*>

i— nainy' i— nsiny' J i — m sin y*

JJ60. IV. Equation différentielle qui deTient homogène quand on y considérer comme ayant n dimensions, et, par conséquent, p et ? comme des quantités de degrés n — i, »-*- a. On peut ramener une semblable équation au premier ordre ; en effet , si Ton pose alors

y = x*zy p = x*-*t, q = *■-»«,

à cause de dy = ^<Lc, 4/* = qdx, on aura

x<fc -+- nzdx = /*£r, x</r -f- (n — i) /«Lr = udx ,

x t — nz u — (n — i) t1 L ^ / J v / »

mais, par hypothèse, si dans Péquation proposée on substitue à y , p, q leurs valeurs en z, t, u, x disparaît de Péquation résultante, qui ne contiendra, par conséquent, que 5, t, u : de cette équation on tirera la valeur de u, pour la substituer dans Péquation du premier ordre entre z et f . L'intégration s'achèvera alors par les procédés connus. On remontera d'ailleurs facilement de la valeur de t en « à celles de x et de y. Exemples :

i°. x*d*y — aydx* -h hxdxdyy ou qx* = ay -+- hpx :

ici n = o ; faisons

il viendra

u =z ay -^-ht\

l'équation différentielle

dz [u — (n — 1)1 ] = (x — n*)<fl deviendra

tr<(r -h (i -h \)tdy = frf*.

el >era intégniblâ, 1* si V-^, X dëiiçnanl une fonction de « et TJ une

l'onction de u ■ a° ai V est une fonction faomoQÈno do degré nul de x et de n ; 3° si Ton ûV = X, hh-X, m", Xtt Xt étant de* fond ion i de xt ; 4°»i

U, , U. ëtont des fonctions de u , on a

Utx-H U,a*

Exemple. *jrd'x -+- 6<fr« = f***^ , «^ -h 6^ = — Jg ;

en faisant p = «tr, ? = *'.r, il vient

Sa»

<ï«+itMj=-

udx

CuMx

ou , en posant u = - ,

multipliant par (x-f- l/a* -h x4)* et intégrant, on trouve

Faisons encore d\>ù

ai*

= ^*-la«r-«, dx=ïdt(t*~l + a*t~X-S)t

.f!)jSfrt„-i.,..^ç^,

ClLCU. INTérilLAL.

. fr . et ^.€

mais — = udc = — , oi 1 on a

donc

(« -f--j lr=li-+-^l(x-hW/a« +Jt,)=l.ir+C„ .^C'CiO*-»"5,

et, en posant C, = — — C\

\ u -f-l 1 — se /

et, parce que i = (x-+-l/V -t- j»)x,

On intégrerait plus facilement cette équation ramenée à la firme

tiJ*j -H S^' —

en la multipliant par — : en effet, à cause de qdx—dpy pdr=dj, on frou-

.dp Zdj __

d'où, en intégrant,

p V = C* (x -h l/V -+- "a ■'-), j "dy = CVx (x -+- l/V -t- x1 j ' j

une seconde intégration ramènera à Inéquation déjà trouvée.

La forme générale des équations qu'on peut intégrer de cette manière est

Ydp h- Y4r -f- X<£x — o ou P^ + Y/>-hX-o,

P, Y, X étant respectivement des fonctions de/» seul, de y seul , de x seul.

bxdj*

Exemple : xy d *y = ydx àj -+- xdy* -+- - = , ou

[fa1 — x*

*yq =yp -+-*p% -+■

hxt

TRE»TK~lll.rlTlt:ME LEÇON.

i fait.™ l^-v, ? =. ly, on a

« , t/a . , Au'dx xdu—uifr hx dx

du -t- w1 dr 1=1 u H ii' d* -f-

„ x . . , -. - x tir xdr

et, posant \/*r — x4 m f * dtoà xd> == — lie f

lr=-j + | I (C, -+-///) -4- 1C,

et, en faisant C^C'A*,

.jr \/u>-x* C'b+\Sm'-x* 1^ = H- Cl

262. VI. 11 ne sera pas inutile de donner au moins un exemple d'intégration a l'aide d'un facteur indéterminé. Considérons avec Eu 1er l'équation

essayons de rendre ld premier membre intenable en multipliant par

aXjrfr-h-aX.^dx, X,, Xt étant des fonctions de x, et représentons par Xl4rt+*£%rdx4r+'Qdx*=iCdx\ V étant une fonction de.r et de x, l'intégrale du produit J4 .x- > ^- j n 3Ardx,(X.<(r-t-X1.r<k*)

** * ex ,*+ x^)+ T^a___. J ;

on devra dès lors avoir

Cette équation ne pourra donner par l'intégration la valeur de U qu'au* tant que Ton aura

dXjH-aXjdxsso, é on aura alors

dTT ar (*X,d>-r<*Xt) ,rA.<*X« .

au -(b/'-t-c-Hadx-he*1)8 ^^ dx '

, le second membre est la différentielle par rapport hx de l'expression

b^'-hc-hadxH-ex1) dx f

rj~ ~~ **■ ,1 12Llt

b(tp1~+-c-f-adr*t-e**) de

pourvu que )a difleremîelk* du second membre, prise en eonaii comme constante, soit nulle ou que Ton ait

— a<fXt(br»-+-c-+- adx-^-ex')-+-aaXldx(d-hex) (t'X,

b(br,-f-c-Had*-+-e*»)1 r dx

V«<fX,

(br * -+-- c ■+- ad* -+- ex*)' ' or ou satisfera à cette équation en posant

— ^=0, ~dX, (cH-ad*-+-ex,)-+-aXId*(d-+-e*)==o.

Il reste à savoir si ces deux conditions sont compatibles avec celle que nous avons déjà trouvée, dX,~haX,dx = o; or la seconde donne

X, = c-+-adx-*-cx* d'où

X,= -i-=— d— ex, et -— !=o.

* vtdx ' dx*

Les deux conditions s'accordent, et lo facteur cherché e*t donc

atfr (c -h adx -*- ex») — %ydx (d -+- ex),

et conduit à l'intégrale

ày* . j »x toi* n a (c -h ad*-*- ex1)

^l(«+»fe-«-«,)-Va(d-He.)-b(^+e+aJg^)-H<r' = C„

ou , en ajoutant r aux deux membres ,

^(c-hadx-He*')-27^(d-f-cx)-+- gL i-t-cr» = C

d*tV d* br,-^-c-^-adx-f-ex,

Si Ton faisait

c -h 2dx -+- ex* = bc% d'où

, bzdz

d -hej==-5T»

l'équation qui précède deviendrait

bz%dy% ïbjrgdjds , ay1 C

"~^ ÔÛ1 MV 4"b(/î+ct)"b'

tt , en posant r = «*>

bs4<fa« htfï-dz' , . an1 C

d^ dx* "t"euX*"*"b(i-+-u,)~bi

?.• TRBHTB-HDITlkMB LEÇON. 67 1

mais

g%ds* (d-+-ex)'

atr» "" b« ' donc

bJdu* ce — d» , C-h(C-a)u»

<*x« "*" b " — b (i + u1) ' ou

b**4du* __ C+(C — a -*-d* — ce)»' -^ (d' — ce)ii4 dx' ~~ 1-+-»» '

et, an substituant pour s sa valeur,

dx duV/i -f- w*

c-*-adx-*-ex« V/^+(C--a-+-d'--ce)u*-+-(d'--ce)i/ les variables sont séparées, « est exprimé en x; on a d'ailleurs

. /c-+-adx-t-ex*

Si dans l'équation proposée on fait

c -h adr -4- ex* = b*',

elle défient

et , en posant jr = us,

d* *jdx% __

attdx*

SdlU -H idedu -+- Ud%* -h 77-^ -r = 0.

bV(i -+- «')'

Le facteur qui la rend intégrable est ab {z%djr — jrsdz) ou ih t* du, ou simplement £*du : or , comme on a

.__<**(d-+-ex) b* on aura

*dx» dr&rd-l-«r) = edx» dr*(d 4-ftcV (ce - d *)dx* bs b*» b« b**' "~ bV T

L'équation , multipliée par «Via, devient dès lors

ce ™— d * aududx*

t*dud*u -f- ar'rfr^iu» -+- —5— "*■* * •+- b»(H-it«)« = 0Î

elle a évidemment pour intégrale immédiate

11 + ab' ab'(n-«') * ' •* '

.,„ en tire

Vfil^^y^V— ^

Vll-i-»*^

et parce que la valeur do i étant donnée en -r, I« variables ionl îm»p-

dtalement séparantes , la seconde intégration est facile. Bcrr.àrquoaiqw

ce — il ' la valeur de* satisfait h la condition £*d*s = — dr* = *^4-f, qaîdoil

s'accorder avec IVquatbu

Et en effet, de In condition s*d9s — »<£** en tire

2Arf»r = ^^— d*< = tdr*-*— ** = ** ,

Exemple: l'équation

aVdr"

devient intégrable si on la multiplie par le facteur ixldy — ijxdx ; son intégrale est

dx* dx yx -+- x-

En posant y= uxy on arriverait à la transformée dr du \/ 1 -+- u*

265. VIT. Empruntons à M. Liouville deux exemples remarquables d'intégrations obtenues , Tune par un procédé qui pourra souvent être employé, l'autre par une voie complètement détournée.

i°. Considérons l'équation

D> -»-/(*) nxr H-F(r) D.r* = o,

et supposons un instant que le troisième terme n'existant pas , l'équation à intégrer soit

on en tirerait

Revenons maintenant & l'équation proposée, et voyons si, en changeant la constante C en une fonction de yy on ne pourrait pas, dans le cas où F(r) n'est pas nul, conserver à Ja dérivée première la môme forme

TREATE* HUITIÈME LEÇOtt. 673

D»r = Ce"-^ W *f . En différentiant , on trouvera

D;y =c e-&W** [DrCD,r - C/(*)] , on , on mettant pour c~ •*'**' r, ta râleur tirés de l'équation

Djr = /(*)D,.r-r- £o,C Dtaj •.

En substituant cette valeur de D'r dans l'équation proposée, on a

iDrC+F(r) = oi et, en intégrant,

On a y par suite,

D#,=c,-/F(.r).Cre-//M<l»(

équation où 1«* rariablei se «éparent d'ellea-miae» et qui coudait k l'iou*nW «fcMfteo,

On sertit arrivé à la même intégrale si , en supposant on instant /(x) = o , on «fait pris pour équation aajnliaire

Dir-HF(r)D»r*=o.

En notant D* r = r ', et observant que D^jr =y ' D7jr ', on aurait eu

Dr.r'-Kr'F(x)=o, et, en intégrant,

pais, en regardant C comme une fonction de x,

Di/=-F(/)D,/» + |,D,CD,/:

de sorte qu'en substituant dans l'équation donnée, il viendrait ID.C +/(*) = 0, C = C'JA*)**.

D^Cv'/'W*///»*)* etc.

6^4 CALCUL'*fflfTÉGRAL.

2°. Supposons qu'on connaisse l'intégrale y=zy{x, «t» «■>•••»**;; d'une équation différentiel te quelconque deJPordre n

/(x, r,D*r, Dj/v .. ,D;r) =/0, jv>', rw, .. ^c-)]= o.

L'intégrale y et tes n dérivées r', y">* • •> .T<">, dépendent non-seulement de x, mais des n constantes cM c„,.., c„. La variable x, an contraire , est complètement indépendante de ces constantes , de sorte qu'es différentiant la fonction/ par rapport à l'une de ces quantité*, c, par nple, on aura

D,/D r+D//D / '-4- D/VD y.*-h...+ Drin)Sl) rC-> = oT

ci ci wi *i

or, si Ton pose Dc y = s, % étant une nouvelle variable, on aura DCt y' = D,,, DCi y" = DJ*,. ., DC| jrOO = D>i

en effet,

t>c, J# = DCi .D*r=D«.Dc .r = D.s, Dr§ y * = Df .Dx^ ' = D*.DC .r ' = Djs,

et ainsi de suite. En substituant pour Dc y, De y ■',. . ., leurs valeurs, on trouvera

* D,/ -h Dx* Dy /-H D^s D//-h ... + D"« D/')y = o,

équation dans laquelle y, y', .T V . ., /W, étant des fonctions de x déterminées par l'équation

y =y(x, cxi c„...,c„),

Dr/, D/y;..., D/")/, doivent être considérées comme des fonctions connues de*, el9 ct,...,c„. Or, cette équation est une équation linéaire et homogène entre z et «es n dérivées ; et Ton sait qu'elle doit être satisfaite par la valeur s=Dc y y puisque Ton eut parvenu à cette équation en faisant précisément Dc y = *; de plus, ce que Ton a dit de ex on aurait pu le dire de c„ eit. . ., e«; donc l'équation

* Dr/-h Dxs D/ /-+- D^ s D/ /-h. . .-+- D"fD/0/ = o est vérifiée par les n valeurs particulières

z = Dcy, *=Dc><r,..., - = DCity, et a par conséquent pour intégrale générale

'264. VIII. Intégration de quelques équations simultanées. i°. M.Binet est parvenu, à Paide des transformations les plus ingénieuses , à intégrer le système suivant d'équations du second ordre

/ est la variable indépendante, x, y, z, , . . sont les variables dépendantes, R est une fonction déterminée de la quantité r-^X/x1 -+- yx -t-r*A4-..., en sorte que

D,R = fDrR, D,R = -DrR,etc:

les équations proposées deviennent dès lors

D' x = -DrR, D«^=^DrR, D* s=-DrR,.... En les combinant deux à deux pour éliminer Dr R, on trouvera

*D\y-J Djx = o, «Dji-jD|«=o, rD;«-«D;x=or., d'où Ton tire les intégrales premières en nombre ■ * ~~- — ' t *D».r— 7Dix = Cn *D,x — xDtx = Cti yï)t£— * D,« = C„... La s>mme des carrés de ces équations donnera

(xDty —^D, xy -+- {SDtx — xDt*y -h (rD,« - *d,x)' -+-. . .

^xM-j'-t- 5,-4-...) (D,*N-D,.r l^-D,s* +-..)-(xD,x-hrD,r-+-*D,«-h...)ï

En multipliant respectivement par <£r, dyy dst... les équations proposées , ajoutant et intégrant, on trouvera

D,x« -+- D.S-hD.s* +... = î(R + B), et par suite, en substituant,

(xD,x +y\)ty -+- sD,z -h. . .)•* = 2r" (R -b- B) - Armais

jrD,x-j-^D,r+- «D, *-*-... = rD,r,

rdr

«Dir1 rrar'JR-hB) — A', «*r=-

l/ai» (R-t-B)-A» *

D,r«=aR-l-aB- ~, D*r = DrR^-^.

On peut, a l'aide de cette formule, éliminer Dr R de la première des

équmtions données DJ x = - Dr R, an troure ainsi

rB]x - *DV =D, >D,x- xD,r) = D,.r»D,? = - ~ - , et, en multipliant par -^ 9

A A r r cette dernière équation prend une forme plat simple quand on fait

A — -A,- Kdr

elle devient , en effet ,

Dl.- •+" =0;

on aura, de la même manière,

ces équations s'intègrent séparément, et, en désignant par mi9 *\, «,, bti... , «., bm des constantes arbitraires en nombre an, on aura

-=ateo«^ -\rbi siny, - = atcosy+&asiny, - =aBcoty-f- fc, sin^p....;

l'équation

di =

rdr

donne d'aillé urs

et comme R dépend uniquement de r, on aura r on fonction de t -+-* : f , à son tour, sera donné en fonction de r, et, par suite, en fonction de 1 «+■ « , an moyen 4e l'équation

c r Adr

Jrl/'ar>(R-+-B)-A4

En remontant ensuite aux formules qui donnent les valeurs de - . -, . .,

les n variables seront exprimées elles-mèmos au moyen de f+«, de A, B, et des an constantes at, b0 atJ &,,. . ., c'est-à-diro que dans ces expressions il entrerait, en apparence , on -h 4 arbitraires, qui devront être liées entre elles par plusieurs équations, car le problème n'admet que an

constat tes arbitraires. Et, en effet, si Ton substitue pour- t "-, - , . . . leurs

valeurs dam l'équation

on trouve, en employant pour abréger une notation connue, cos* <p2a\ -+- sin'aOSA* •+- a sin y cos y 1axb% = 1 ,

et cette équation, qui doit avoir lieu pour toute valeur de y, entraîne les trois suivantes

2a? = i, Zb\ = I, 2*1^ = 0;

la constante 6, d'ailleurs, se confond avec a,, biy qu'elle modifie seulement, car

ax cos (f -4- 6) -h &, sin (y -4- € ) = a* cos y -4- b' sin y ;

donc les an -+- 4 constantes apparentes , réduites d'abord à an h- 3, qui sont B, A, a, a„ &„..., sont liées entre elles par trois équations , et ne Tonnent en réalité que in constantes arbitraires. Les deux intégrales

/' rdr r dr 1/V»(R-hB)-A» ' Jrl/âT^R^BpTF'

qui semblent étrangères Tune à l'autre , et indépendantes , peuvent cependant être ramenées à une origine commune. En effet, supposons que R soit une fonction de r, déterminée par l'équation

Jt= r^Var*(R-+-B)-À»,

il est évident qu'on aura

t -f-* = DBH, y -4- € = — DAH;

les deux intégrales sont donc, au signe près, les deux dérivées partielles de la fonction A, de laquelle seule dépendent les variables *, r, s,. . .. Il résulte de ce que nous venons d'établir, que réqnation

D'xrrDrR.-,

transformée successivement en

6jH CALCUL INTÉGRAL.'

a pour intégrale générale

x = r{at cosy -+- bt tin f). *+ ax , bx sont les deux constantes arbitraires. Afin de donner un exemple, supposons R = -; l'équation à Intégrer sera DJx-f-— =o, r étant donné en fonction de t par l'équation

/.. rdr :

y/,*fr.B)-u

ou , en pount B=

r, A'=m«(.e'), rdr

faisons encore

'« — r = <M>cos4» o« r = a(l— ecos4)> 4 étant une nouvelle quantité auxiliaire , on aura ^

<-+-« = Jj-^(i-ecos4)tJ4, 4-esin + =(n-«)y^,

rfa, A ^=V^ma(i-ga)^(t~gcés4)<i4 V/'riPi4 ^ r* '"" a'|/m(i-ecos4)' ~~i-*coa4'

tangt=i--==.tnngi, cos« = ~ r = -* ~ -,

a \/i__c °a T î — ecos4 r

a8ïn4V/i— «* , . x . . tty ;

sin^= , x=aa((cos4 — e)-habt &in ^>V^ i — «• •

On n'aura plus qu'à remplacer 4 par 8a valeur en f pour obtenir Pintégrale cherchée , mais il faudrait pour cela résoudre l'équation transcendante