Considérons les équations

M, VT1T -H Bf , rf% -i- M, D^V -H.*. . * ï\,

Nt D>-f N,D"\r -h N, D> -H.. .«T„

68o CALCUL IWTÉGBA*L.

que Ton peut mettre tous la forme très-simple

XMD^T,, 2ND|V = Tt,

et dans laquelle T, et T, sont des fonctions quelconques de la variable indépendante i , et de une ou de plusieurs autres variables ainsi que de leurs dérivées. Si les coefficients Mt, M, , M,,. . . , Nlf N„ N„ . . . , sont constants , il suffira, pour éliminer r et ses dérivées, d'écrire, à la place der, T, dans le premier membre delà première équation , T, dana le premier membre de la seconde, et d'égaler les résultat!, en sorte que l'équation finale sera

2MDPT, = 2ND?T,.

En effet, si ron différontie tour à tour la première équation mt fois, s, fois, n, fois, etc., on aura

2MD,m"+"%=Df»Tl,....

Multiplions respectivement ces équations par N„ Nt, Na,...,et ajoutons, Téquation résultante pourra évidemment se mettre sous la forme

2MD''YN,D%-+-N,D>-i-N,D>-f-... \ = N.D^T.-hN.D^ T,-....

ou, en vertu de la seconde des équations données,

2MD7Tt = ïNDl"Tl,

ce qu'il fallait démontrer.

Si les deux équations proposées sont linéaires en x et en j , et ne contiennent que les deux variables, et la variable indépendante f , on pourra former à volonté, par le moyen précédent , l'équation finale en r ou eu x, et, chose remarquable, ces deux équations finales différeront seulement par le terme fonction de t qui ne contiendra que cette variable. Il en résultera que les valeurs de x et de r seront de la forme

x = CtrM -h CtcV h- C,eV-+-..., y = C'cM -+- CeV -+- CeV,

C„ C„. . . étant des fonctions de i, que l'on saura déterminer par les méthodes connues , dans chaque cas particulier ; et les quantités x,, x„ x,,... étant données par une équation commune.

Si Ton avait m équations entre m ■+- i variables à coefficients constants pour toutes ces variables , moins une, qui sera la variable indépendante, il suffira, pour éliminer trois d'entre elles, d'ordonner le premier membre de chaque équation , par rapport à ses dérivées, après avoir fait pas-

1er toutes les autres dans le second membre ; on comparera ensuite Pane quelconque de ces équations avec les m — i autres. On formera ainsi m — i couples d'équations entre lesquelles on éliminera la variable en question, comme il a été dit ci-dessus, et Ton n'aura plus que m— 1 équations entre m variables. En eontinuant de la môme manière, on arrivera à une équation entre deux variables seulement; on conçoit qu'il sera dès lors facile de remplacer les m équations proposées par m autres équations dans chacune desquelles entreront seulement la variable indépendante et Tune des autres variables qu'il s'agit de déterminer.

On peut conclure, « priori, l'ordre de l'équation finale, si, par exemple , on a m équations du premier ordre ; le procédé Indiqué conduira à m — i équations dn second ordre , à m — a équations du troisième ordre, à m — (m — i), ou à une équation du m"** ordre : et, en général, si m, n , /»,. . . sont les plus forts indices de difTérentiation pour chaque variable , m-t-n-hp sera le nombre indiquant l'ordre de chaque équation finale. Cette méthode d'élimination a été donnée, pour la première fois , par M. Favre-Rollin.

682 CALCUL IISTÉGR4L.

Réduction d'iio système de m équations simultanées du premier ordre à une seule équation de l'ordre n.— -Intégration par séries. — >ïote sur les intégrales singulières des équations différentielles d'un ordre quelconque.

266. 3\ous avons vu comment on pouvait ramener l'intégration d'une équation différentielle de Tordre // àliutégration de n équations simultanées du premier ordre : réciproquement, on peut aussi se proposer de ramener l'intégration d'un système de n équations simultanées Ju premier ordre à celle d'une seule équation de Tordre «.

Supposons, en effet, qu'on donne n équations de la forme

Il s'agit d'éliminer entre ces n équations les // — i variables y, z, . . . , et d'arriver à une équation qui ne renferme plus que la variable indépendante / , et Tune des variables dépendantes, x par exemple. Pour y parvenir, on différentiera n fois la première équation, en ayant soin de substituer à D, y, Dfs, . . . , leurs valeurs tirées des // — i autres équations : on obtiendra de cette manière // — i équations nouvelles

l),\rr= ,?,(/, .r, r,s,...), D?.r = çu

i>/.r — ••<, . ., n;.i. — jH,

TREISTE-NELWEMB LEÇON. 683

qui, jointes à la première équation donnée Dtx=f%(t, x, /,...)*

fourniront les moyens d'éliminer les n — i variables dépendantes j-, z,..., et conduiront à l'équation différentielle cherchée de Tordre n, entre t et x. Après avoir intégré cette équation , on en tirera la valeur de x et de (es dérivées successives, avec n constantes arbitraires, pour les substituer dans les équations

Dix=/ly D?.r:=<p„ D}x = Çi,..., T>?x=:fni

qui donneront les valeurs des n — i autres variables, ou les « — i autres intégrales cherchées.

Exemple : Considérons les deux équations simultanées

Dtx=y, D, >=•*;

on tirera de la première

D'x = D, y , ou Dfx = $7 = x.

Comme y se trouve immédiatement éliminé , cette dernière équation , D/ x = x , est précisément l'équation finale ; intégrée, elle donne

et Ton en tire

et, par suite,

c'est la seconde intégrale cherchée.

267. Nous avons dit qu'en général , l'équation finale sera du n"""' ordre , et que son intégrale renfermera n constantes arbitraires. Il peut cependant arriver, dans certains cas particuliers , qu'elle ne soit que d'un ordre inférieur an, et que son intégrale renferme moins de n

684 CÀIXUL INTÉGRAL.

constantes $ mais on verra qu'alors, pour arriver à la valeur des autres variables dépendantes, il faudra effectuer certaines intégrations qui compléteront le nombre indispensable de constants. Supposons, par exemple, qu'on

donne à intégrer les trois équations

ôh tirera de Jâ première

D}x = Vtjr -+• Di»?= y ■+• *,

et Ton sera dispensé de différentier une seconde fois, parce

que Ton élimine immédiatement j et i entre les deux

équations >

Vtx=y + *, b,rar= ;,+ *,

qui donnent pour équation finale

D<ax = D,x, qui est du second ordre seulement, et qui a pour intégrale

x = Cx -+- C^é.

Cette intégrale ne renferme que deux constantes \ mais aussi, pour déterminer les deux autres variables, on n'aura qu'une seule équation, CÈel =y + z , qui ne suffira pas : on en tirera

et, en substituant pour x et z leurs valeurs dans l'équation Dty = x + z, on aura

Dty =Cl-h *Cte' — y.

Pour intégrer cette équation linéaire , il suffit de multiplier par e\ On trouve, de cette manière,

y = C + Ce'-hCs*-',

et Ton voit apparaître la troisième constante. Les trois

TREtfTE-HEUVIEME LEÇON. 685

intégrales

x = Cx + (V, y = Ct -h C*e< 4- C*-<,

ont toute la généralité voulue.

Supposons maintenant que les n équations données renferment avec la variable indépendante t, x et ses ni premières dérivées , y et ses m" premières dérivées , z et ses m* premières dérivées, etc., et que Ton ait

m' -h m" -hm* +. . .= /w,

on pourra les ramener au premier ordre à l'aide des équations connues

D, x = *', DfX' =*",..., D,*(",-*> = *<*-">,

et l'on aura à intégrer un système dem+n équations simultanées du premier ordre que Ton ramènera à l'intégration d'une seule équation de Tordre m + n.

268. Lorsque aucune des méthodes par lesquelles nous avons appris jusqu'ici à intégrer les équations différentielles ne réussit, on essaye l'intégration par série. Exposons en peu de mots cette nouvelle méthode, qui ne doit être employée qu'avec beaucoup de réserve.

Considérons d'abord l'équation différentielle du premier ordre dy =ft (x, y)dx, et supposons qu'il s'agisse d'exprimer, au moyen d'une série, l'intégrale générale de cette équation , ou une valeur de y qui satisfasse à l'équation proposée, en prenant pour x = x0 une valeur quelconque donnée yQ. L'énoncé même de la question suppose que l'intégrale cherchée est développable en série convergente-, et, par conséquent , intégrer par série c'est résoudre tout simplement le problème suivant :

En supposant que la valeur la plus générale de /, qui vérifie l'équation proposée et se réduit à y0, pour x = x^

686 CALCUL IHTÂGRALt

puisse être exprimée au moyen d'une série convergente, déterminer cette série.

Or, la solution de ce problème est. très-facile ; car, i° si la série convergente qui doute la valeur de jr-qpiste réellement, elle devra cçïncïder avec celle que donnerait la formule de Taylor ; 20 de l'équation

rfr~/t(*,r)<**, ou r' =/G (fc/>), on déduira, par de simples différentiations , les valeurs des dérivées successives de jr9

/=/.(*>/). /" =/*(*,/), rtr=A{*> r),...,

et en faisant , ' dans les équations obtenues , x = x0, J =Joj on aura

yo =/t(*o, y**), 7 "- =/*(*>» x«)y y b =/s (*o, ro)i . • . , et par suite , en vertu de la formule de Taylor,

Y = Vo H j /« (jTot ro) H — /■ (*•* /o)

Voilà donc la valeur cherchée de j- \ elle sera admissible si la série du second membre est convergente. Dans ce cas, comme elle satisfait évidemment à l'équation proposée, se réduit h yQ pour x=xQ, et contient une constante arbitraire /0, ce sera nécessairement l'intégrale générale cherchée. Si l'on peut exprimer en termes finis la somme de la série convergente, on aura, en termes finis, l'intégrale générale de l'équation proposée.

Prenons pour premier exemple l'équation très-simple dy = ay cl*, y' — «r, on aura y "= a/ = *\r, f= «'/ = <**y, y" = «y = a*y, . . . ,

/• = «r# > /. = «'/• » Sl= a*Xo i riT = *%>

TREKTE-NEUVIEME LEÇON. 687

La série du second membre est toujours convergente et a

pour somme^e I"* ; on aura doncy =fo e* ^x""x°' ou simplement y=Ceax, comme nous le savions déjà.

269. Ce que nous venons de dire s'étend, sans difficulté aucune , à une équation d'ordre quelconque n

D> = /,(*, r,LVr, Dir,-.., d"- y).

En effet, chercher l'intégrale générale d'une semblable équation , c'est, comme nous l'avons vu , chercher une valeur y qui satisfasse à cette équation , et qui soit telle , de plus, que, pour x = x0 , elle et ses n — i dérivées premières y \y \y* ",. . -,Jr("~1) prennent des valeurs données J*-> y\-> Jr"o5*«-5 3fi>~%)* Cela posé* s* ^a série qui exprimera cette valeur cherchée dey est convergente , elle coïncidera nécessairement avec la série que l'on déduirait de la formule deTaylor. D'ailleurs, de l'équation^'0 =/„ on déduira jr<^«>=/;+1[x,^

et en faisant dans ces équations x = x0 et par conséquent 7 =/o, y =yê, y"=y\> • • • » y{m~l) =y{rl), on aura les valeurs J^, J^""1 l)t • " » °-es dérivées de l'ordre n et des ordres suivants , correspondantes àx=x0; on aura dès lors, en vertu de la formule de Taylor,

r=J«-r-i — r* + , a Ja -h...

Ce sera l'intégrale cherchée , car cette valeur est admissible, puisque, par hypothèse, la série du second membre est convergente ; elle satisfait évidemment a l'équation proposée ; elle prend pour x=x0> avec ses n — i premières dérivées, y., y\ j("~"IJ, les valeurs données y*, y#v»^,#u" 'H ou, ce qui revient au même, elle contient n constantes arbitraires.

688 CALCUL IVTÉG&AL.

Exempte : Considérons l'équation on aura

r7="/. > f! = a%Xo, y\ = «%y\ , fx = «Vo, • • • > T. 1.9 1.9.3.4 J

Les deux séries dont *& compose le second membre sont convergentes; elles ont pour somme

eat(x—x0) + e—a\ (x— x0) y tf«i(x— x0) __ tf— «T(* *0)

'• 5 rf ;

En ajoutant ces deux expressions, on aura la valeur de/, qui peut se mettre sous la forme très-simple

y = C,Xtx 4- Cte-^'.

Cette même méthode , appliquée à l'équation

*DJ ^ -+- ïD*y 4- n%xy = o, donnera , pour son intégrale générale 9 Ct sin 9tx -h C% cosnx

270. A la formule de Taylor on peut substituer la formule de Maclaurin , en donnant à xQ la valeur particulière o ; mais alors il faut bien prendre garde à la valeur correspondante que Ton assigne by\ car cette valeur peut être telle , que quelques-unes des dérivées de y deviennent

TREHÏE-HEUVIÈME LEÇON. 689

infinies ; et alors W développement sera devenu impossible. Ainsi, dans le dernier exemple que nous venons de citer, si Ton fait x0 = o , et que Ton donne à y, y' les valeurs arbitraires y0,y\, l'équation

xDlx -h 2D, y + n%xf = o,

qui se réduit d'abord à ocy" + zy\ = o, ne pourrait être vérifiée qu'autant que l'on supposerait j-" infinie ; mais dès lors on ne pourrait plus recourir à la formule de Maclaurin : il faudrait nécessairement , dans ce cas, admettre que y\ est aussi nul. Dans cette hypothèse, de l'équation

xDlx ■+■ »D* y ■+■ "a*T = o, .

et de ses dérivées successives

xDlx -*" 3Dir + *axD,/ -*-** x = o ,

on tirera

« — n%y* .*' „ it w4Jo

x: = o, jr^ = -î5if...,

"r,Vl""i.a.3 + i.a.3.4.5 "7' îr en ; donc

Or, le facteur entre parenthèses n'est autre chose que stn/zx

sin nx , sin /*x

= Xo = Ci

Cette valeur de y n'est évidemment qu'une intégrale particulière, car elle ne renferme qu'une constante T. 11. 44

£oo -•: calcul iHTtomifU-

jj^Straire. Mais il est facile de remonter à l'in&||4|e générale à l'aide d'une méthode que nous avons Afy souvent empk*j^| £t qui consiste à regarder Cu non plus comme une constante , mais comme une fonction indéterminée fax. Différentions, en effet, la valeur

yx = c% , eflfrremplaçant C% par une variable «*, et

exprimdjîp que cette valeur satisfait- encore à l'équation proposée f nous trouverons ainpi* fonte réduction faite*

Dju, 4- ^nDMutcoln0 s= o.

En posant Dxu, = i>, cette équation, r*|Qf née au premier

ordre, deviendra

Dse 4- ajipcot» = o»

et donnera

sm'/ur et, par suite,

„, „„ Csm*£-h C eeénx ux =.C -4- C"cot/i#, / = •

telle est l'intégrale générale cherchée. Si l'on considère

à part la seconde intégrale particulière y% = , on

voit que réellement sa dérivée seconde devient infinie pour x = o, et qu'elle ne pouvait, par conséquent, être développée au moyen de la formule de Maclaurin.

271. Souvent, aux séries de Taylor et de Maclaurin. on substitue les développements obtenus par la méthode des coefficients indéterminés. Cette marche est même quelquefois préférable ; elle est seule admissible lorsque la série qui représente l'intégrale cherchée doit renfermer des puissances négatives de la variable indépendante : on fera, dans ce cas ,

TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. 6j)ï

ou, en faisant x — x0 =s z, dx = *fe,

jr = x0 -h * ,** -I- a,z*~*~l 4- a^z*** 4- . . . , ^

puis ou déterminera les coefficients indéterminés *t, a*,' , *r8,..., et l'exposant a, parla condition que la valeur de y satisfera à l'équation proposée et prendra, pour x = x0, ainsi que ses dérivées jusqu'à Tordre n — î inclusivement, l^s valeurs données yoy y\ ,. . . . Supposons, pour fixer les idées, qu'on demande une valeur de y qui satisfasse à l'équation

dy — ydx — bx*dx = o ,

et se réduise à o pour x = o. En posant, comme font a l'heure,

y = «I«•-+-"flU•■*", + «I*""*"3 4-. . . , ■'- ■

on trouvera

Cette équation devra être vérifiée quel que soit s, et comme b n'est pas nul par hypothèse , il faudra d'abord faire a — î = m, a = m -f- i ; l'équation devient alors

[*-«,(w+i )]*■ -f- [a, — aa(/* 4- a)]*"*4-1