a, — asfaH-S)]*""-1 4-.. . = o

et entraîne les équations suivantes

b — as (/»4-i)=o, a, — a2 (m -f- a) = o,

a, — rt3(rtt-h3) = o,. .. , ï

d'où

(w-Hij(mH-a)'

I)<m-^-s)(!lt4-3),-",

692 CALCUL INTÉGfcàL.

La série du secjMJ^ membre jqpt toujours convergente,

puisque le rapport de deux tarîtes consécutifs converge

▼ers la limite o, donc la valeur précédente dey jsa| ad-

, tnissible et remplit toutes les conditions énoncées:^ -

Dans le cas particulier oùm = o, l'équation prq§aféi

U t.c se réduit i djr — jrdx = o, et l'intégrale devient

J L i.a i.aS i.a.3.4 J fc

comme cela devait être.

. Prenons pour second exemple l'équation déjà traitée

et faisons plus généralement

y = ax* -+• bx* -+- c*> -+- . . . ;

il s'agit de déterminer les coefficients a, by c, </,..., et les exposants a, S, y, ... ; on a

D, r = a»**"1 4- * Ôx6-1 -+- cy x>*"' -h . . . , et , en substituant dans l'équation proposée , il vient

En supposant que les nombres a, 6, y,... soient rangés par ordre de grandeur, a — 2 sera le plus petit des exposants de x dans la dernière équation; et comme d'ailleurs cette équation ne pourra subsister, quel que soit x , sans qu'on égale à o les coefficients des diverses puissances de x, on devra avoir^avant tout,

TRENTE-NEUVIÈ3W LEÇON. 6i)5

et comme a ne peut être nul, il faut que l'on ait

a = o, ou m = * — i .

Prenons d'abord a = — 1 . Les deux plus petits expo-. sanU qui viennent ensuite sont a et 6 — 1\ ils peuvent être égaux ou inégaux : s'ils sont égaux, le terme AS (6 + i)x6~ a, ne pouvant se réduire avec aucun autre» devra être nul de lui-même , ce qui ne pourra être qu'autant que 6 sera égal à o ou à — i : on ne peut faire 6 = — i , car ê doit être plus grand que a = — i j *k)nc ê = o. On arrivera ainsi aux exposants a et y — a, qu'il faudra égaler, car le terme ri* x* ne pouvant s'évanouir séparément, doit se réduire avec un autre : il en résulte

y = i, n*a -+- cy(y -f- î) = o ;

en continuant de la même manière , on trouvera

J = 2, n%b -f- d8(ï -f- i) = o, i = 3, n*c -h et(t -h i) = o,

Les deux premiers coefficients restent, indéterminés, comme cela devait être, et serviront de constantes arbitraires; les autres seront donnés par les équations

/i4« nïb

et Ton aura pour l'intégrale cherchée

, / rt*** /*4jH \

6g* fHfi+pvrtowAi.

ou

$i*|jbKeu de faire *=— i ,» on avait faita=o , on aurait qhtttou, au lien de l'intégrale générale, Intégrale parti*

culière y =a . Et, en effet, égaler à o le plus petit

exposant a , c'est admettre que le développement ne contiendra aucune puissance négative de la variable, et que ja dérivée seconde ne peut pas devenir Infinie pour x=o ; c'eéfepar conséquent exclure formellement la seconde inté- ;£rale particulière. *

fjmfA'. Considérons l'équation

• D'r '£*$= k*Xi

faisons

y = ax* -f- «.x*1 -h *,**• -f- as** -K . . y

en substituant pofer ^ et D* y leurs valeurs, on trouvera

*«(* — i)«*^a -hfl, ««(«»— i)^'""* -4- a, *,(«,— i)*""»-*-K..

et cette dernière équation ne pourra devenir identique qu'autant que l'on aura , en désignant par am et am un exposant et un coefficient quelconques de la série,

ces trois équations déterminent complètement tous les exposants et les coefficients de la série. On satisfait à la première en faisant a = ooua = i. Aces deux valeurs correspondent deux séries distinctes, renfermant chacune un coefficient arbitraire, et qui toutes deux vérifient l'éqnadon donnée , dont elles sont des intégrales particu-

TREUTB-HELVlÈMtE LEÇON. 6<)5

fièi*es *, la somme de ces4eux séries sera dès lors l'intégrale cherchée, et en désignant par CtJ C% deux valeurs du premier coefficient a, resté indéterminé, on aura

* L1 "*" (/i-hi) (0+2) "**" (*+i)(/iH-a)(2/* + 3)(2«+4)~K' J

"* L1 + (* + a) (*+3) + (*-h2)(* + 3)(2/i -h4)(î/t + 5) + ' * ' J Si /i=— 2, c'est-à-dire si l'équation donnée était

tous les dénominateurs de la série s'évanouiraient; mais en remontant à l'équation «m= a -+-m (ji -+- a), qui détermine un exposant quelconque, on trouvera

«* = *, et par suite

/ = (a + a, + fli + «}+...)/ = Aj^;

cette valeur, substituée dans l'équation

donnerait

/ v il i±Vi — 4*.

« (« — l) -f- * = O, et =r !- 2- >

en appelant a , a" ces deux valeurs, et désignant par C, C deux valeurs arbitraires- attribuées à la quantité A restée indéterminée , on trouverait définitivement

/ = Cx*' + (T/.