L'équation du second ordre que nous venons d'in

6g/6 calcul uiTiamix.

tégrer peut facilement être ramenée au premier ordre; il . suffit pour cela, comme nous l'avons vu, depoierjr=^**r ; on trouve en effet ainsi que l'équation transformée est

c'est précisément l'éqaation de Riccati. Sîï'on savait l'intégrer etqn'on put, par conséquent, en déduire la valeur de s, on déterminerait^ i l'aide de l'équation jr=e'a** au de la série ' *

Réciproquement, comme l'équation de Riccati

devient

D*« = abzx*

quand on fait

on pourra l'intégrer au moyen de la série trouvée , qui donnera z, et par suite y, qui se déduit des par une simple différentiation. L'équation

« js.m ,

Dxr -+- — D.r = h,

que l'on déduit immédiatement de l'équation

en changeant x* en a: et faisant.

itn = ■ , b = — — .

T&EKTE-NEtf VIÈME 'LEÇON. 697

est donc censée avoir été aussi intégrée par séries. Il en est encore de même de l'équation

laquelle , en faisant y =.jTz^ devient

D»*-h— T)xZ = bz.

273. Si nous avions cherché à intégrer directement par séries l'équation transformée o

nous aurions eu à rendre identique l'équation

a[*(a— 1 )— m(m— 1 )]j^— a-+-«a[«e1(«i1 — i)— /w(/w— i)]ar*»"""a-f-. . .

= bax* -hbatxXi -h ta,**»-*-. .., ce qui aurait entraîné les conditions

a (et — 1) — m (m — i) = o, a m = « -+- im , *«[«*(«»— 1)— m (m — i)]= bamm,l .

La première équation fournit pour a deux valeurs

La troisième formule , quand on y met pour am sa valeur tirée de la seconde, devient

am [«(* — i)4-ajw(»-+-a« — 1)— i»(m — î)^***»,,

ou plus simplement, puisque a(a — i)— m(ra — i) = o,

im(im 4- 2« — 1 ) 0»= 6 Hm^x ;

on trouve dès lors pour l'intégrale complète exprimée en séries

698 CALCV1. IHTfcUA

w»-t-i) 4-4(mi4-i)(î 6*» ft*x«

Les séries qu'on vient d'abtqnir ont cela de quable , qu'elles peuvent être sommées et remplacées par des intégrales définira» En effet f quand Aans la formule (5), page 38,

P. „ f .sin^i <*•'-'*

on fait

il vient fsin^-'Ocos***^ =

aiw -h a* — 1

aw""1 fsin^-'ôcos^-^

Si Ton prend o et « pour limites des intégrales, la partie intégrée s'évanouit toutes les fois que a est une quantité positive , ou une quantité imaginaire à partie réelle positive , en sorte qu'on a

En vertu de cette dernière rektio», l'équation

2m (sur -h 3* — t)am^zkam^x sera satisfaite si l'on prend

i.a.3 . .(2/w — \)im Jo

TftfcNTE-lfEUVIÈME LEÇON. 699

et par suite, en attribuant successivement à a les deux valeurs m , i — m , on peut mettre l'intégrale obtenue sous la forme

/*/ bx* b*x* \

or

bx* A b*x* à b*x6 6o

m y yy . I xV/ïcosfl 1 — xl/acOSÔ

= cos»k — ixK 0COS0 =-e -f--£

donc

„Ue +5* >in'~

Cette expression peut se simplifier encore, c*r on a , à cause du choix des ltinites, et de la nature des fonctions sind, cosô,

J»ar — /tops A - P* /*0O§6

e sin 0«# =r I * sui <$;

donc

X=CtxmJ e m*m-t$€Ê+Cwatt-m I e atï-^dB.

Ces transformations supposent , comme note l'avons dit , que a est une quantité positive , et par conséquent que m et 1 — m sont des nombres positifs, ou que m tombe entre les limites o et i : si cette condition est satis-

JQO '. CALCUL tXTta*AL.^/iutf':

faite, l'intégrale générale de lVnpiatWJW

sera, exprimée parles intégrales définies. QaaûnA m c*i égal à o cm à i ; l'équation se réduit à Dly = *f , et Vos sait que, dan» ce cas, elle a pour intégrale ooiàpiète

y=:Cte* -h C, c Qànd on fait m 5= -, on a

Les deux constantes se confondent en une seule ; l'intégrale n'a plus la généralité qu'elle doit avoir. IVrar obtenir l'intégrale complète, il faudra recourir à un artifice de calcul déjà employé : on fera dans le ternie qui multiplie Cl9 m = -, et dans celui qui multiplie C,,

m = — f-e, puis on développera (:rsin*0) par la formule toujours convergente qui donne le développement de a— •: de cette manière, en posant Ct + Ct = C, C,e = C", et faisant ensuite c = 0, on trouvera

y=C\SÏ ! e d9+C\/ïj c \.xÙn*0dQ.

Si m était plus grand que 1 , on ne pourrait plus admettre la série qui multiplie 6', : ce. serait au contraire la première série qu'on omettrait si m avait une valeur négative. Dans tous les cas , ou obtient immédiatement , sous forme finie, une intégrale particulière yt de l'équation

. . Afin — 1) .

Kx -^ — \r = kr-

TRKNTE-HEUVIÈM2 LEÇON. 70I

©n traiterait la seconde intégrale à l'aide du procédé que nous avons déjà plusieurs fois employé, c'est-à-dire en faisant y = uyu et exprimant que cette valeur, dans laquelle la constante est remplacée par une fonction de x , satisfait à l'équation proposée. On verrait, de cette manière, que l'intégrale générale est

Si, dans l'équation . \'

y=Cl*"f'e*/'icotesiR>~6dO

-H C,x"J'^ é^i> «•• sin ,-,mm> on pose cos 6 = t , elle deviendra

l'équation

Dïr ^ — x = h

aura pour intégrale particulière

ou

x, = c,*>-f^extV\,- t*y**,

suivant que m >> i,aum< i .

La première de ces intégrations s'effectue quand m est un nombre entier positif; ce sera au contraire la seconde quand m sera un nombre entier négatif. Donc, toutes les fois que m désigne un nombre entier positif ou négatif,

yoa

on*, sona (m ^<V** inUfcNk* j^culMW**!*

quaticn propoafo, et , dyâprèt h ft rtftiftiUi

la détermination de Intégrale générale 4e cette méae équation se trouve ramenée aux qnafetfliVes. L'équation de Riccati Dxjc +"<&* = &e" 9; lui 11 forme d'à-

* "•■■.' 1 bord en l&jr = tyx*y quand on change y «a. — D«jr,et

qu'on fait dkm k ; et qu'eue devient successivement

id on qu'on fait

quand on y change x* en x, puis y en x'^myJ et

èf?

d'ailleurs, si m = ± n, on aura

„ = -4» , anzp 1 '

donc l'intégration de l'équation de Riccati se ramène aux quadratures toutes les fois que n est de la forme

~"^ . Nous retrouvons ainsi un résultat auquel nous anqp 1 ^

«ommes déjà parvenus par deux méthodes essentiellement

différentes.

274. Il est enfin une troisième méthode d'intégration par séries que nous exposerons en l'appliquant, pour plus de simplicité , à l'équation linéaire du second ordre sans second rnembro y

Dîr^X1Dxr-+-X,^=ro,

%^ Xt étant des fonctions quelconques de x. On peut rfabord ramener cette équation à la forme plus simple

Diz=Xz;

il suffit en effet pour cela, comme nous Pavons vu, de faire y =mz , et de déterminer u à l'aide de l'équation du premier ordre

tVzU h-X,u = o, ,

ou de faire

Reste maintenant à développer la valeur de z en série convergente. Admettons que pour une valeur donnée x^dfe x, z et Dxz = z9 doivent prendre les valeurs *é> z'êï zo et z\ pourront, dans l'intégrale cherchée, «ervir de constantes arbitraires. Cela posé, de l'équation

dx*

on tire

dz d — zzzXzdz,

dx ~

et, en intégrant à partir de #0,

dz C* dz , f*

z\ = I Xzdx, ou — = *É -+- I Xzdx.

dx J xo dx J x0

En intégrant une seconde fois, onanra

a = z0-+-z'ê(.r — x0) -f- J dri Xair, Jxa Jx0

ou, en posant pour abréger, zc H- s'0 (x — x0) = r,

Si, dans cette équation, on remplace sous le signe/, z

^04 - CALCOL IKTÉG14X. «

par sa valeur, et qu'on remplace J par u en se j*p|*»

lant que toutes lès intégrales sont prises k partir de x09 on trouvera

zz=t+f4xfX[t+fdxjX*d*)dx

= t +fdxftsdx +fdxfXdxJdxf**ix\ remplaçant encore z par sa râleur, on trouvera

s == t+JdxjUdx -h/dxfXdxfUtdx

-hfdxflLdxfdxf TLàxfdmfXzdx +. . .

En^Dntinuant cette même substitution, On oMpndrah vilSiir de * exprimée par une snie indéfinie dm taflp cpu sent tel» que chacun se déduit du précédent, enlfnltipliant par XJx1, et intégrant deux fois de suite, i partir de x = x0. Le dernier terme seul contient z ou la fonction inconnue qu'il s agit de déterminer ; mais nous allons démontrer, i° que ce dernier terme décroit indéfiniment à mesure que le nombre des termes augmente: 2° que la série tout entière approche indéfiniment d'une certaine quantité finie qu'elle ne peut pas dépasser, et dont elle peut différer autant que Ton voudra.

Supposons en effet que x croisse d'une manière continue dans l'intervalle de x0 à je, et appelons £, £ et r les plus grandes valeurs absolues de X, z et t dans cet intervalle, ou des valeurs plus grandes, de sorte que l'on ait tonjours X < Ç, z < Ç, *<t.Si Ton trouve pour £ une valeur finie , il sera démontré par là même que z ne peut devenir infini pour des valeurs de x comprises entre les limites xn, x. Or, puisque entre ces limites on a

JXtdx <firtix = (r(x — x0),

TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. Jo5

ou simplement

/XA*r<|r(x--*0).

Si Ton multiplie les deux membres de cette inégalité par dx et qu'on intègre entre les limites jc0, X : pour multi- * plier de nouveau par Xdx et intégrer , pour multiplier encore par dx et intégrer une troisième fois , et ainsi r de suite, on trouvera

fdx/XdxfdxfXtdx < ÏT (^|^,

SdxfXdxfrlx/Xcùcfdxf TUdx < Vr ^f^,

et ainsi de suite pour toutes les valeurs de x comprises entre x0 et x. On a aussi, pour ces mêmes valeurs de x,

x* < çç,

et , par suite ,

/X*d*< fKdx = ?Ç (x - *,),

JdxfKdxfdxfXzdx < B» (*~ff .

et, en général,

/*/X*. . ./<&/ X*ir < «--fe^ït-.

En substituant , pour chacune des intégrales dont se compose la valeur de *, sa limite supérieure, on arrivera néceâtai rement à l'inégalité •.

jx — xQy ,(* — x0)*

706 CALCUL IHTÉGKÀL. «

Cette inégalité sera vraie , i plus forte raison , si l'on prolonge indéfiniment la série qui forme la première partie du second membre , mais cette série ainsi prolongée a pour somme

et cette somme conserve évidemment . une valeur finie pour toutes les valeurs de x comprises entre x0 et X) on peut dès lors assigner une limite L qui lui soit constamment supérieure. D'ailleurs, l'expression

qu'on peut mettre sous la forme

décroit indéfiniment à mesure que n augmente, et peut devenir plus petite que toute quantité donnée c , quelque petite qu'elle soit; on aura donc, en prenant n suffisamment grand,

et comme cette inégalité est vraie pour toutes les valeurs de £ comprises entre x0, x, on pourra , à la place de t , mettre sa valeur maximum £; on aura donc

ou, parce que e peut devenir aussi petit que Ton voudra,

Donc, d'une part, le dernier terme de la série, qui est plus petit que £e, décroît indéfiniment à mesure que le nombre de ses termes augmente, et, de l'autre, z reste toujours inférieur à une limite fixe et finie L. Donc la série qui

TRENTB-JEfEUVlkKE LEÇON. 707

forme le second membre de F équation

z = t +fdxfXtdx -hfdxf HdxJdxjTJdx

+fdxf Xdx JdxfUdxfdxf Xtdx + . . . ,

prolongée à l'infini, est convergente et a précisément pour somme l'intégrale cherchée z.

275. On peut aussi développer en série l'intégrale générale de l'équation DJ z = Xz de la manière suivante : on pose

"o? "19 "*>•••> un étant n + i fonctions de x qu'il s'agit de déterminer , et qui sont liées entre elles par l'équation

D] «o + Di«, -h D>a -K . . -h DΫ(-)

= Xii0 + Xtt,+X«1 + ... + Xa., ou

SDiu = 2Xa. .

Admettons encore que pour x=x0, z et z doivent prendre des valeurs arbitraires zoy z\ , et que les inconnues u0, fit, . . . vérifient d'abord les équations

Di«0 = o, Dja, = X«0, DJk, = Xa„..., Dia» = XaJ I.

Puis intégrons ces équations à partir de x0, en admettant que uQ et i/0 prennent les mêmes valeurs que zelz\ et que , par conséquent , les équations

tto-4-Wi -4- «1 +...-*-«» = z, «*. -4-a', -+■ «', -h. ..-+■«/„ = «'

se réduisent, pour x = xQ , à i#0 = z0, a 0 = z'0 ,

ux -4- "a -4- . . . -t- tt„ = o, a'# -+- a't -f- . • • ■+- uH = o,

supposons enfin que l'on ait, pour x = x0,

«,=0, «,=rO,...f //„ =r O, «', =0, //t=0,..., u'„ = o9

yoS CALCUL IHTtemàL.

il viendra

ifoZzHoH-»^* — x0)af, uxz=zfdxfXtdxt

u% =fdx/Xd*fdxfXtds9

Ui=fdxfTLdxfdxfXxlxfdxfXidx9...9 mA =..., *, =...,

les intégrales étant toutes prises à partir de x0.

La valeur ainsi obtenue pour % ne satisfait pas proprement à l'équation proposée

Di* = Xs, ou

DÏM0 + D]ttl-|-...-f.Dîa. = Xii0-4-X»I -4-.. +X».;

elle vérifie seulement celle-ci

Dî «o -H D>, H + DX =X«o+X»i -h. • .-h ï«^,;

mais on fait voir, à l'aide de raisonnements tout à fait semblables à ceux que nous avons employés ci-dessus, i° que la somme uQ + ux + «t +• • •+ «» tend toujours vers une limite iinie à mesure que n augmente ; 2° que si Ton prend un nombre suffisant de fonctions u0, iit, ut, . . . , u„j . . . , déduites successivement Tune de l'autre, comme nous l'avons indiqué , le terme Xun pourra devenir aussi petit que l'on voudra, et que, par conséquent, la valeur z = uQ «+• u\ -+- ut +. . .•+■ um vérifiera alors l'équation Dis = X*.

270. Pour suppléer à quelques omissions, reprenons encore l'équation du second ordre sans second membre VÎT 4-X,D,.r-hXïr=:o;

en faisant y = &* , on la ramène à l'équation du premier ordre

Dr« -+- ** 4" »XT •+- X, = O,

que l'on intégrera par les moyens connus; y, dès lors,

TREaTE-JiEimtiUE LEÇON. 709

sera donné par la série

Nous avons vu que lorsqu'on connaît une intégrale particulière y% de cette équation, on peut aisément déterminer la seconde intégrale particulière, et, par suite, l'intégrale générale. Il suffit, pour cela, de poser y = uyx\ on trouve , de cette manière ,

Si, par exemple, on connaît l'intégrale particulière y = Ci a: de l'équation

D'^ —m nD*r

la seconde intégrale sera donnée par l'expression

/J <i*-i) ^1(1»-.) /> dx = x I dx = x I x* J xa J

dx

= -— =lx,

et l'intégrale générale sera,

y = Cxx -h 6, 1 x.

Cette méthode s'applique , ainsi que nous lavons dit, à une équation linéaire quelconque. Il existe un moyen plus facile de passer de la première intégrale particulière à la seconde , et qui n'appartient qu'à l'équation du second ordre.

Considérons les deux équations

multiplions la première par yiy la seconde par y, puis

710 calcul istAgial.

retranchons-les l'une de l'autre, il viendra ainsi

yxT>lï — jKx , -+- X, (jr ,D, j — rD^,) =0-. Comme en faisant

on aura

rëquation qui précède prend la forme très-aimple

D& -+- Xx« = o, d'où

« = G*-/*»*, .r.iVr — xv*x* == c^-f****.

On saurait intégrer cette dernière équation, qui est du premier ordre et linéaire, par la méthode ordinaire ; mais on arrive plus rapidement au résultat en remarquant que,

le premier membre étant égal à y\ D, — , on a

et, par conséquent,

-/X.rfr

ScoUe. L'équation

met en évidence plusieurs propriétés de l'équation linéaire du second ordre sans second membre. On voit d'abord que , pour une certaine valeur de x, y et sa dérivée Dxjr ne peuvent être nuls en même temps. En effet, s'il en était ainsi, la constante arbitraire C, devrait être nulle, ce qui ne peut avoir lieu dans le cas général.

TRENTE-NKt\lk»lE LEÇON. JH

On voit ensuite que, entre deux valeurs successives de x9 x0 et xx , qui rendent yx nul , il se trouve une valeur de x qui fait évanouir y. En efifet, si Ton suppose la constante Cx positive, on conclut de l'équation

ytDay—yD.yt= O"-/*»^,

que, pour a: = x0, x = xx^y\)xyi < o, et, par suite, que y et T)xyt sont de signes contraires } mais très-peu après xQ et très-peu avants,, Dxyl a des signes contraires; donc il en est de même de y, et, par suite , y doit s'évanouir au moins une fois dans l'intervalle. Réciproquement, entre deux valeurs successives de x qui annulent j-, se trouve au moins une valeur de x qui fait évanouir yx . On en conclut que si Ton fait croître x d'une manière continue, depuis — oo jusqu'à + oo, les deux fonctions y e\yx deviendront nulles toujours alternativement. Par exemple, l'équation

Dl v + ;=o

a pour intégrale générale

y = C, sin .r -+- Ca cos x,

et l'on vérifie aisément que les courbes y =sinjc et y = cos.r rencontrent alternativement la ligne des abscisses.

277. Terminons cette analyse complète de tous les travaux qui ont eu pour objet l'intégration des équations différentielles, par quelques considérations sur les solutions singulières.

Supposons que l'équation différentielle

f(x , y, Dxyy D;.t,...,d; y) =/[*, y, y', /',..., /(■>!= o

ait pour intégrale générale

F(x, y y rf, e%9 ci9. . , cn) = o.

*J\1 CALCUL IOTÊGEÀL.

SI, entre les équations

> F = o, D,F = o, DÎF= o, ..., D;F=o,

on élimine les n constantes ct9 ct9 ct t . . . . 9 cH9 on retrouvera nécessairement l'équation proposée. Ainsi, par exemple, l'équation

a pour intégrale générale

F = ay — i -Hx».xl/â— (c, sic.* \/a -+- c,eos.*l/a)V/a==:o,

et Ton en tire

"DgFzriàDgjr — l/àsin.j?V^fl — (<?i cosjcV/a — c^n.x\/a)a = o ,

D*xF=aDly-a cos.*l/«-4-(cIsinjFl/a-Hcacos jrl/a )a|/*=o;

or, de cette dernière équation , jointe à la première, on déduit immédiatement l'équation proposée

Cela posé., concevons que l'on différentie, par rapport aux constantes ct , c, , . . . , cn , les /» équations

F = o, DxF = o, DiF = o, .... D;-,F = o,

et représentons, pour abréger, par

XdeV, ?.dc DXF,..., ïrfDr'P.

les différentielles obtenues, on arrivera toujours à l'équation proposée : si , pour éliminer les constantes , on emploie , au Heu des équations

F = o, DxF = o,..., D;F=o,

TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. Jl5

les équations nouvelles

F = o, DxF-+.2tfeF=o, DiF-h2rfcD,F=o,. .,

DÎFh- ZrfcD;-'F = o, pourvu que Ton ait

2rfeF=o, S</eD,F = o,..., S^D;-1 F=o;

et il résultera de ce qui précède que si , après avoir éliminé entre les n équations

Z<*eF = o, S<*eD,F =o, ..., XrfcD" F=o,

les n — i rapports

de, dcz <fc*i

de manière à arriver à une équation différentielle de l'ordre n — i ,

on élimine de nouveau les n constantes cu c„. . ., cn entre les n équations

pour arriver à une équation différentielle de Tordre n — i indépendante des constantes

cette dernière équation sera en général une solution singulière de l'équation proposée.

Supposons , pour fixer les idées , que Ton ait

ct

Jl4 CALCUL I1STÉGHAL.

en éliminant les constantes c, , c, entre les trois équations

F = o> D*F = o, DÎF = o, on trouvera pour l'équation différentielle

+ - »ly — J>i jr* — (D.jr— ^0^=0;

on a d'ailleurs

-i- Xdc DxF=-*^-i,

de et en éliminant le rapport -y1 entre les deux équations

de,

\<fct

dct

( \- lCt\ -r-^ X 2C, = O, X — ~- 1 = Of

1 J dc% dey

on aura

/ x7 \ 1 = ( h 1 ct ) x — a c, = o ;

enfin , si Ton élimine les constantes c, , ct , entre les trois équations

on arrivera à l'équation

* =r (*■ + 0 + 7g — D,.r> ~(*+7jD«r = <>>

qui sera une solution singulière de l'équation

x—xDsï+^ Dly — D>* — (Dxr — *D' xY = »• Il est facile de voir que non-seulement l'équation

TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. Jl5

sera une intégrale singulière de l'équation différentielle

/(*» r> D.r, Dly,..., Dnxx) =* o, mais que les intégrales successives

de cette même équation X = °> seront encore des solutions singulières de l'équation /*= o. Il en résulte que la solution singulière la plus générale contient au plus n — i constantes arbitraires , ce que nous savions déjà.

D arrive quelquefois que l'équation f = o ne renferme aucune des constantes arbitraires cx , c, , . . . , cn; alors la solution singulière ^ = o se confond avec f = o. Supposons, par exemple, que l'équation différentielle donnée soit

/=r*"i>i^ — ^D,ra-H6*rDxj— 6^=0,

son intégrale générale sera

F = xy -f- c.x3 4- ct y = o, et l'on aura

1 *Zc» 1 de, dy

ac, c dcx J det c dc% dx

on trouvera

f=ïD"-£=OÎ

l'intégrale singulière sera

1 dr dx

en l'intégrant on trouvera une seconde solution singulière

y = cx%.

7l6 CALCUL INTÉGEÀL.

Si l'équation f qs o ne renfermait que n—m constant» arbitraires ct , c,, . . • , c*.*, pour arriver à la solution singulière il suffirait des équations

f=o, D7"*Fç=of lf-'F = o,..., P7"F = o.

Supposons maintenant que l'équation différentielle

/>>r,iVr D;r) = o

soit vérifiée non-seulement par l'expression

y = F, (*, c, <?,,•.., c») = o, mais encore par une seconde valeur de la forme .

y-*-êt=Yx(x,ct,ctf...9cm) + t9(xfct,e%,...9c^7

m étant inférieur ou tout au plus égal à n , et e désignant une quantité très-petite. L'équation

sera vérifiée non-seulement par les valeurs

y, y, y" yw,

mais encore par

et Ton aura par conséquent

e, désignant une nouvelle quantité infiniment petite qui s'évanouira avec e. Mais J = o ; donc , en divisant par 6 , puis faisant c = o, on trouvera

df ., <V s ''/ . <*/

Cela posé, ou le coefficient -j-^ a une valeur finie, ou il

est nul. Dans le premier cas , l'équation qui précède sera de Tordre n et donnera par suite pour <p une valeur renfermant n constantes arbitraires -, m sera alors égal à n , et la valeur y = F| ne sera pas une intégrale particulière , mais l'intégrale complète de l'équation proposée. Dans le second cas , l'équation qui donne <p sera d'un ordre inférieur à /* , m sera plus petit que n , F, sera une intégrale .particulière ou singulière. On en conclut que dans le cas où l'équation /[x , y, y'\ . . . ,y{n)] = o admet des solutions singulières , on a

df

±- = Py%m}f =

dy et comme

df=z Vsfdx + Dff.y' dx + Dy/./' dx +. . .

+ Dr(«-o/./(") dx -f-Dr-/./(,H-,)<ir,

on aura aussi , dans l'hypothèse d'une solution singulière ,

DJt/-+-Dr/j,-+-Dr/r,H- .H-Dr(-.;/./(")4-Dj(-.)/./"=o, et par conséquent

Les deux équations

D,(.,/=o, 1CV=^

fourniront, dans certains cas , des solutions singulières, alors même que l'on ne connaîtra pas l'intégrale générale. Exemples :

i°. DJj -f-2x — al/j?*-HDxr = o, ou

r" + 5X oy/x*~^y = o ;

7*8 CAJLCUL UKTÉGH4L*. .

on peut mettre /= o sous la forme rf

/^j* 1/5^+2-+ a* v^ïv+y - *(** -h^ ) = o,

de sorte que

en égalant cette valeur à o, on trouvera

df=—X>dx, y = Ct — çl*

cette valeur de y satisfait à l'équation proposée et en est une solution singulière.

a°. f=yy,-*ytV& -hj»— a» -f.* = o,

d'où X* — a* = o \ mais si l'on mettait l'équation donnée sous la forme

/= y/ Vâï+y^* — /(** -f-r* —*•)+* i/*M-.r*— «S

on aurait

Dr'/= ( jr — Vx» -+-r*— a* ) V*%+y*— a* = o9

et l'on tirerait de cette équation non-seulement

x* — a* = o, mais encore

3°. */'* — a.rV' -f- x = o ; on en tire

en exprimant que cette dérivée prend la forme -, on aura

y"* —1=0, xy" — y1 = o,

TREHTE-HEUV1ÈME LEÇON. 719

d'où L'on tire, en éliminant^ ,

y* — x* = o, dy = xdx, y = Ct H .

4°. Enfin

y = xy' - a Y/T+y* ;

d'où

r'« = fl y' — ± *

et en éliminant y entre cette équation et la proposée , on obtiendra les deux solutions singulières

y1 («> — x1) — (x* -+- a*)* = 0, y* -f- xx — a* = o.

Dans tous les cas , pour savoir si les intégrales trouvées par la méthode que nous venons de développer sont réellement des intégrales singulières , cequ'ily aura de mieux, comme nous l'avons déjà dit, ce sera de chercher si on peut les déduire des intégrales générales en donnant aux constantes des valeurs particulières.

Nous avons emprunté cette méthode au Traité élémentaire de Calcul intégral duR. P. Caraffa, professeur de Mathématiques transcendantes au collège romain. Voici comment le géomètre italien procède dans le cas des équations différentielles du premier ordre. Soit

l'équation différentielle donnée que nous mettrons sous la forme

jao calcul intemiL.

'et soit

son intégrale générale; en différentiant cette dernière équation , on trouvera

D,F -4-BrF.r'=o,

et, en résolvant par rapport à la constante c,

cette valeur de c, substituée dans F(x, jr, c) = o, donnera

ou , en mettant pour y sa valeur — f (x, ^),

F[*>.r,z(*> rt — *)] = <>;

cette dernière équation doit être évidemment une équation identique 0 = 0, et, par conséquent , Ton aura , en différentiant tour à tour, par rapport à je et à y,

D,F -+- (D,* — D?*D,?)D*F = et?

DrF-f-(D7A:-- T>fX.DT<p)bxF=zo9

d'où Ton tire