D.F + D^FD^ D M

Mais toute solution singulière entraine l'équation

Dc F = o, et, par suite,

donc elle entraînera aussi les deux équations

D,p=oo, 0,? = oc, et ces deux équations, ainsi établies à priori, serviront à

déterminer les solutions singulières d'une équation différentielle dont on ne connaîtrait pas l'intégrale générale.

Exemples :

xdx -h ydjr = djr \/x* -+- ra — •*%

— x + W + yx— a*

on a

(*» -h r* — «■)* (— x + V^^-f- ra — «»)'

W + ;*- «"(— / -+■ Vxx ■+■ r* — «0

ces deux valeurs deviendront infinies, si Ton a

La première de ces équations donne

xdx -4- ydx = o ; la seconde

xdx = o :

toutes deux sont des solutions singulières de l'équation proposée.

7?2 CALCUL IKTÉCWAI.

QUARANTIEME LEÇON.

Exposition d'une méthode nouvelle et rigoureuse d'intégration d'un système quelconque d'équations différentielles simultanées du premier ordre.

278. L'intégration par série des équations différentielles est illusoire, tant qu'on ne fournit aucun moyen de s'assurer que les séries obtenues sont convergentes, et que leurs sommes sont des fonctions propres à vérifier les équations proposées , en sorte qu'il fallait nécessairement , ou trouver un semblable moyen , ou chercher une autre méthode à l'aide de laquelle on pût établir généralement l'existence de fonctions propres à vérifier les équations différend elles. C'est ce que nous avons fait dans la vingt-sixième et dans la trente-troisième Leçon. La méthode exposée est rigoureuse et ne laisse rien à désirer sous le rapport de la théorie •, nous l'avons d'ailleurs étendue à un système d'équations différentielles d'ordre quelconque dont on peut ramener l'intégration à celle d'équations différentielles simultanées du premier ordre.

279. Sous le rapport pratique, et sous d'autres points de vue , la méthode nouvelle que nous allons exposer, et qui est due encore à M. Cauchy , présente de nombreux avantages.

Soient x, y, z, . . . des variables dépendantes , ou des fonctions inconnues de la variable indépendante /, de-

terminées parles équations différentielles du premier ordre dx = Ftdt, dy = Fxdt9 dz = F3<fc, . OU j Dtx = F„ Dty = F„ D,* = F3, . . . ,

Dr/

dans lesquelles Fl5 F„ F8,. . . désignent des fonctions

connues des variables x, y, z, . . . , t. Il est évident qu'on

n'ajouterait rien à la généralité de ces équations en écri-

dt .. , dt vant =- au heu de — .

Supposer que ces équations sont intégrables , c'est admettre que x, y, z, . . . , t peuvent varier simultanément de manière à les vérifier, ou, ce qui revient au même, c'est admettre qu'en désignant par r une valeur arbitraire de r, et par £,»,{,.•. les valeurs correspondantes attribuées arbitrairement à x, y, z, . . . , les variables dépendantes sont liées i t par des équations de la forme

Ces équations seront vraies encore quand on fera t = t,

et puisque £, r;, £, — sont les valeurs de x, y, z,

correspondantes à la valeur t de /, on aura identiquement

on aura de même évidemment, et pour les mêmes raisons

7^4 CALCUL INTÉGHAL.

Le premier et le dernier de ces quatre systèmes d'équati on s sont également propres à représenter les intégrales générales des équations données , et admettre l'existence de l'un de ces deux systèmes , c'est admettre que l'intégration des équations proposées est possible et réalisée*

Admettons, pour fixer les idées, que le système d'intégrales cherchées est représenté par les équations

que nous écrirons sous la forme plus simple Désignons par

une fonction déterminée des seules variables x, y, £>.•** et par

.=/(*,*,?,...), U=/(fIff„f,f...),

ce que devient la fonction u quand on y remplace les variables x, y, z,. . . , i° par les valeurs arbitraires £, >j, f , . . . -, a° par les fonctions ft, f„ fs, . . . ; U, ainsi que fi, fs, f8, dépendra uniquement des quantités ar, jry z,. .., ty r, et se réduira identiquement, pour t = r, à la nouvelle constante arbitraire désignée par v. De plus, en vertu des équations (*t) , on aura nécessairement

/(*, ¥,Ç,...)=/(f«. *.,&,.■-). OU U = U.

Cela posé, il est facile d'établir les trois propositions suivantes, qui servent de base a la nouvelle méthode d'intégration.

280. ier Théorème. L'expression U= C, C étant une constante arbitraire, etU une fonction des seules variables a:, y, z, . . . , t et r, ne pourra être une intégrale des

QUARANTIÈME LEÇON. Jï%

équations données (D) , qu'autant que la valeur s = U sera une intégrale particulière de l'équation aux dérivées partielles

En effet, U = C ne pourra être une intégrale des équations données , qu'autant que les valeurs de x, y, zf . . . , tirées des équations

réduiront U, non à une fonction de *, mais à une constante arbitraire; et U, d'ailleurs, ne pourra être réduite à une constante arbitraire qu'autant que sa différentielle totale, par rapport à l, étant nulle, on aura

D,U4- DjUD,x 4-D/UD,/ + D,UD/ï+...= o;

ou, en substituant à D,x, Dty* D«z,. . ., leurs valeurs tirées des équations (D) ,

D,U + F«D«U 4- F^DjU -+- F3D,U 4-. . .= o.

Cette dernière équation doit d'ailleurs être une équation identique 0 = 0, car, sans cela, elle établirait entre les seules quantités x9y> z, . . . , t et r une certaine relation , et cette relation serait une conséquence nécessaire des t'qua lions

Or, cela ne peut être , car, par hypothèse, ces dernières équations sont vérifiées par des valeurs entièrement arbitraires de x, j, z,..., f, t, et par les valeurs de £,»),£,... déduites à l'aide des mêmes équations des valeurs attribuées à .r, y, z, . . . , t et t. De sorte qu'il est absurde de supposer que l'on puisse- éliminer, entre ces équations,

«26 CALCUL IWTÉGEAL.

les variables £, «9, (*• • « pour arriver à une relation entre les seules quantités x, y, z9 . . . , t et t. L'équation

(A) D,U +F1D,U+FID7U+F3DIUH = o

ne peut donc être en réalité qu'une équation identique exprimant que s = U satisfait à l'équation (C) ; donc réellement, pour que U = C puisse être une intégrale des équations proposées , il faut absolument que s = L1 satisfasse à l'équation aux dérivées partielles (C).

Scolie. Si Ton nomme v la valeur particulière que prend la fonction f quand on y pose

celle des intégrales générales des équations proposées qui seront de la forme U = C se réduiront nécessairement, d'après ce que nous avons dit, à U = u, et alors aussi la valeur s = U — v sera , en même temps que la valeur s — U, une intégrale particulière de l'équation aux dérivées partielles. Donc, i° pour savoir si les équations proposées peuvent admettre une intégrale générale de la forme U = C, il suffit d'examiner si la valeur s = U ou s = U — v fournit ou non une intégrale particulière de l'équation (C)$ 2° u désignant une constante arbitraire et U une fonction des variables x, y, z,. . . , t qui ait la propriété de se réduire pour une valeur particulière t de la variable t à une fonction donnée de x, j, z. ..., savoir, à u =f(x, y, z9 . . .). Pour obtenir celles des expressions U = v qui pourraient satisfaire aux équations proposées , il faudra égaler à o la valeur de s qui a la double propriété de vérifier l'équation (C), et de se réduire à u — v pour t = t, ou bien encore il suffira d'égaler à v celle des intégrales de l'équation (C) qui a la propriété de se réduire à u pour t = t.