a"' Théorème. Pour obtenir celles des valeurs de
QUARANTIEME LEÇON. 727
la forme
qui peuvent former un système d'intégrales générales des équations proposées , il suffira de chercher les diverses intégrales particulières de l'équation (C), qui ont la propriété de se réduire, pour t = r, à Tune des variables X9 y, z . ; . .
Ce théorème est un corollaire du précédent; on l'en déduit immédiatement en remplaçant tour à tour la fonction f(x9 y, <&>•••) para:, y, zy. . . . Dès lors, si l'on désigne par s = ft, s = f„ s = f3, . . . les diverses intégrales de l'équation (C) qui , pour t = r , se réduiront à l'une des variables or, y, z,.... On vérifiera encore cette même équation (C), en attribuant à s l'une des valeurs j = ft — £, s = i 1 — yj, s = f8 — £,... et, en égalant à zéro ces dernières valeurs de s, on obtiendra, sous la forme cherchée, les intégrales des équations proposées (D).
282. 3me Théorème. Réciproquement, l'intégration générale de l'équation (C) entraîne l'intégration générale des équations (D), et pour obtenir les intégrales générales de ces dernières équations , îl suffit d'égaler à des constantes arbitraires £, >?,£,... les valeurs ft , ft, f» , . . • de* qui ont la double propriété de vérifier l'équation (C) et de se réduire à x9 y, z , . . . pour t = r.
Démonstration. En effet, on obtiendra de cette manière les équations
*=U=9g(x,X9*9...,t9T), u=fa=$a( ), Ç=f3=<p3( ),..., en vertu desquelles x, y, z, . . . , seront des fonctions de t qui pour t = t se réduiront respectivement à £, >î, £,.••• Cela posé, puisque ft est une intégrale particulière de l'équation (C), on aura
D/fI-f.FlD,fI-+-FaD/fI-hF3DJf1 4-. . = o.
y 28 CALCUL INTÉGRAL.
D'ailleurs , en faisant varier x, j\ z^. . , avec /, on tirera de l'équation f 1 = |
D,f, -f- Djf.D,* 4- D^D,/ 4- D,f,D|S + ...= •.
En éliminant D*fi entre ces deux équations et opérant de même par rapport à ft , fa , . . . , on trouvera
D,ff(D,x— Ft) + Vrît(Dtx— F.J-f-D.f^D,* — F3)-f-. . .=0, D,f,(D,a?— FI)4-D/f1(Dlj—F,)-+-D,f1(Dfs— F3)-+-.-.=o,
D,f3(D#ar— F1)-hD/f3(D,j— F,)-+-D,f3(Dr*— F5)-+-. . .=0,
Si Ton combine entre elles par voie d'addition ces dernières équations après les avoir multipliées par des facteurs choisis , de manière que toutes les différences
se trouvent éliminées, à l'exception d'une seule, et si Ton fait
K= Dx fr D7 fa D, f3. . — Djf, Dx faD, f3. ..-+-. . . ,
il viendra
K(E>,« — Ff) = o, K(D,7-F,) = o, K(D,s— F3)=o;
or la fonction de x, ^, *,•••» *> représentée parK, ne saurait être généralement nulle , car elle se réduit à l'unité ainsi que Dxft , D^f, , D,fs , pour t = r, puisqu'alors
îs = x, fa = J, f3 = *,...;
on devra donc avoir nécessairement
D/.r — F.zzro, D^-Fj-o, D,z — F3 =0, . . .,
ou enfin,
Dtx = Ft, D,j = F,, D,z = F3,.. ;
les équations £ = fi9 m = ff, f = f8, . . . vérifieront par conséquent les équations proposées , et seront
leurs intégrales générales. Ces intégrales d'ailleurs sont telles , qu'étant donné un système de valeurs des variable» x, y9 £,...? t, elles fournissent immédiatement les nouvelles valeurs £, y?, £,... que prennent les variables dépendantes pour une nouvelle valeur r de la variable indépendante.
Scolie. Les intégrales générales des équations (D) étant obtenues comme on vient de le dire, et représentées par les formules (it ) , la formule U = u, dans laquelle U=y(fi, ft, fj, . . .) désigne une fonction quelconque de f t , f i , f 8 , . . . , représentera une nouvelle intégrale générale des équations (D) : et, pour obtenir cette nouvelle intégrale , il suffira, comme nous l'avons vu , d'é- * galer à une constante arbitraire u celle des intégrales particulières de l'équation (C) qui a la propriété de se réduire à u = f(x, y y z, . . .) pour t = r.
Exemple : Supposons que les équations données soient
dx = xdt, djr = jrdt , dz = air, . . . , on aura
Fx = x, F,= j, F3 = *,..:;
l'équation (C) deviendra
|D,*-h xDxs + jrDx s -h*D,* -h ... = o.
Les valeurs s = xeT~ , s =jer^ , s = zeT~"~ , . . . , jouissent évidemment de la double propriété de vérifier l'équation aux dérivées partielles , et de se réduire pour t = t, à x, jr, z, ... ; les intégrales générales des équations proposées seront dès lors
OU
ySo CALCUL INTÉGRAI.,
Dans ces dernières forniules, Ç, rt r Çf , . . pemoLftl i iut£ considérés comme représentant les constantes i introduites par l'intégration.
Plus généralement : comme en désignant pw fonction homogène quelconque de a*, y r «r*,M mier degré , on a
iD,m+ J*D7 u -h zDsu — a ,
le produit ue*(*— 0 aura la double propriété dr i*fl l'équation (C), et de se réduire à
pour £ = r } donc l'expression
• ssm^fr-O ou ie=r***&^)
représentera encore une intégrale générale des eqiiau données.
283. Posons, pour abréger, FlD,j+F.D/*+FàDs#+. . .=:DxjD,tf 4-D7*D<j*-r- . . -=Fo) et servons-nous du signe caractéristique Sti s pour î ndiquer l'intégrale définie — / Fds d\ !, de sorte que l'on ait
Ji ,.'«r
s étant d'ailleurs une fonction quelconque de j?, y, z,. . .,f. On tirera dès lors de l'équation
DrU-f-F^U-t-F.DjU -h F3DZU +... =o,
[*] Au lieu des notai ions Fd*, Si)5, qui indiquent tout naturellement, il me semble, une fonction de dérivées partielles, et la somme ou inté- {jrale d'une expression composée de denrées partielles, M. Cauchy a choisi les notations \Js, \/s. Il m'a été impossible de les admettre, à cause de leur étrangeté, et surtout parce qu'en même temps qu'elles ne disent rien à l'esprit, on peut à peine les énoncer.
QUARANTIÈME LBÇOH. 73 1
par rapport à t et à partir de *= r,
U— a — SDU= o, U=a4-SDTJ.
^ Si dans le second membre de cette dernière équation 1 m substitue une ou plusieurs fois de suite à la fonction U
Eleur tirée de cette même équation, alors, en écrivant, abréger, SdU, SDU,..., au lieu de SdSdU, jSdU, etc., on trouvera
U = a+SDK + SJU = a4-SDtf4-SDK4-SSa = ...,
et généralement „
U = u 4- SD« 4- Shu 4- SJkH- Sfcn 4-. . .Sg-a 4- S» a,
» étant un nombre entier quelconque. Si dans cette dernière équation le terme SD u décroît indéfiniment pour des valeurs croissantes de n , la série du second membre sera convergente , on aura simplement
U=a-+-SDa-+-S*a-+-S*a-J- SDn -+-...;
par suite , la formule U = u , propre à représenter une intégrale quelconque des équations proposées , deviendra
«-hSo»-+-Sia-H &t>u 4- . . . =»;
et comme , dans le cas où SD désignerait non plus un système d'opérations à effectuer sur une fonction donnée , mais une quantité véritable, on aurait
i -+-SD 4- S& 4- Se -h ... = — ^-,
l'intégrale générale pourra être représentée sous la forme symbolique
i — Su "~ "'
D'ailleurs, comme de l'équation qui donne en série convergente la valeur de U, on tire
SDU = Sd(« + SDu H-S&wh- SJtt-h .. .} = SD« 4- S&tt + Sfitt -h . .. = U — i*,
il est clair que la valeur de U, fournie par cette équation, vériûera la formule U — u. — SDU = ot et par suite la formule (CJ , tant que la série sera convergente. On peut donc énoncer le théorème suivant 4mv Théorème. Tant que la série
a, Sdk, Sd«, Sôa,. .
sera convergente 9 la formule
(I,) a^-Soa-l-Sèw-hSèa-^ ...=i« =- = •
est propre à représenter Tune quelconque des intégrales générales des équations (D).
284. Lorsque F,, F,, F8, ..., et, par suite, FD* , ne renferment pas explicitement la variable indépendante t, mais seulement les variables dépendantes x, y, z, ...,
alors, ensubstituanta5,dansréquationSD*= — / FD jA,
la fonction u qui ne renferme pas non plus la variable t , on tire successivement de cette équation
SD" = — / FDudt= — FDu I <& = (r — f)FD*,
et généralement
En vertu de cette dernière équation, l'intégrale quelconque (I,) des équations (D) devient
u -H^-FD« + ~" Fn«-h ...=»;
et comme dans le cas où FD u représenterait, non plus un système d'opérations à effectuer sur une fonction donnée, mais une quantité véritable , on aurait
l'intégrale pourra être présentée sous la forme symbolique
(I.) e(*-|>FbB = ,.
On arrive de cette manière au théorème suivant.
5me Théorème. Lorsque les fonctions Ft, F„F8, ... ne renferment pas explicitement la variable indépendante f, l'équation
(I.) «+I=fFo. + t^)-Fi« + ... = «.,
OU
est propre à représenter une quelconque des intégrales générales des équations (D), tant que la série
«,__FD«, -Lf>,...
est convergente.
Scolie. Si des formules
on veut déduire les intégrales générales des équations (D),
/34 CALCUL l»TêGÏUL.
présentées sous la forme £=ft» ïî = ft> f = (3* ■ * ■ , f, fyj étant ce que deviennent xs j% £, . . . considérées comme fonctions de la variable indépendante f, quand cette variable indépendante reçoit une nouvelle valeur r, il suffira de poser successivement dans ces formules
« = *i » = lt « = /*—* *»♦» «=*, »=£,.♦,;
les intégrales générales des équations proposées seront donc représentées , dans tous les cas,- par les formules
1 — Sd 1 — Sd i — -So
et 9 dans le cas où Fl9 F„ Fl9 ... ne renfermeraient pas explicitement la variable t, par les formules
Prenons encore pour premier exemple les équations
dx •=. xdty dy = jri/f , A = zdty on aura
FtD,» -h F,D7« -|- FjD,k -h. . .= xDxU -+- jrDfu -h zDzu = Fd«.
Si d'ailleurs on prend pour u une fonction homogène du premier degré en x,y, z , . . . , on aura identiquement
xDxu-h /D," -H *I>s" -f-. . .= «, FDa = a,
et Ton pourra poser simplement Fd = 1 , et comme d'ailleurs Fl9 F„ F8, . . . ne renferment pas explicitement f, les intégrales générales cherchées seront
