Lorsque dans l'équation

F, D,s 4- F,D7j + F3 Ds* -H . . = FD *,

on remplace 5 par it, il vient

F1DlB+F1D;tt + F3DxB+...= Fn«,

et si Fl5 Ft, F8, . . . ne renferment pas explicitement £, en désignant par k une quantité constante , et choisissant la fonction u de manière à vérifier l'équation

F,Dxk +FaD7a-f- F3D,w-+- . .= Au,

on aura identiquement

YDu = X-m, . et la formule

réduite à

B = Me*(î-i), ou m = »<r* (' — *),

sera propre à représenter une intégrale générale des équations proposées.

Pour donner une application de ces formules, considérons les équations

dx = (axx -h bxy -+- cxz -+-... )dt, dy = (a2x -h b>y -h raz + ...)dir, dz = {aix -+- biy 4- c3z -4- . . )r/f,

«î? ^i> ci5» • •» flt? ^t> c„. . . étant des quantités constantes, on devra avoir

fl \du , . .du

et Ton vérifiera cette équation en posant

u = xx +py -h »*-+-..., pourvu que X, p, v, . . . désignent des facteurs constants

7^6 CàLCirt iUTtouAu

M nprts k remplir les cou di lions

AtA + Asi« -h £jt -h, c,A -h r,!* -+- cj» H-.

(af — k) A H- fl.^i -h ai* -h.,4= oT

*>■* + (6, — £)£ -f- èjf 4-..*= o,

desquelles on déduit , par Félimiuation de X, pf v,...# l'équation

{at — *)(£, — k) (<* — *)..• — «a6s (c* —-£)...-+-...= o,

qui renferme la seule inconnue k% et dont le degré est égal au nombre n des variables x, y, z, . . . • Les n racines de cette équation fourniront n systèmes de valeurs pour les coefficients X, jul, v, . . . , et les intégrales générales des équations données se trouveront toutes comprises dans la formule

Si aux équations que nous venons d'intégrer on substitue les suivantes

fir = [flIx-fè1/-fcI«+... -hft (t)] dt, dy = \a%x -h b% y -+- c%z -f- . . . 4- /,(*)] dt% dz = [aix -h b*y -+- ci* -h . . . -h/3 (f)] *,

/i(0 5 ./» (0» y» (0* • • * ^tanl des fonctions quelconques de la variable t \ alors, en supposant toujours la fonction u

déterminée par la formule a = A x + fxy-t- vz + . . . , choisissant les quantités A , jx , v , . . . de manière à vérifier les mêmes conditions que ci-dessus ; et faisant pour abréger

on trouvera

¥Du= ku+f(t), Sr>* =— f l¥Dudt=z *(*— f)i<— T/W <#>

et l'équation u

= aH-SDttH-Si)tf4-Si^+...s=t

" -/|[.+.<r-., + £fe=i!:H-...]/(**.

ou, ce qui revient au même,

„«.-*< *,-** = r «- *' /(,) et,

ou enfin

738 CALCUL IMTÉGBAL.

Les diverses équations que comprend cette derniipe formule , eu égard aux n valeurs qu'on-, peut attribuer i la constante k , et par suite à À> p9 v,. • ., présentent le système des intégrales générales des équations proposées. Si deux, trois, . . . racines de réqu&$90 en k deviennent égales entre elles , les deux , trois , . . . équations correspondantes à ces racines coïncideront et devront être remplacées, comme il est facile de le prouver par l'une d'entre elles, jointe à l'équation dérivée du premier ordre, on aux deux équations dérivées du premier et da second ordre qu'on obtiendra en différent! an t une ou plusieurs fois de suite les deux membres de F équation conservée par rapport à la seule quantité k.

Pour montrer une dernière application de la formule

= v , supposons les équations (D) réduites à une

seule qui soit du premier degré par rapport à x et de la forme

dx = \f{t) + xF(t)]dt,

f(t)9 F(i) étant deux fonctions quelconques de t : on aura dans ce cas

F, =/(/) + xF(t) , FDu = [f{t) +*F(t)] £,

*°* = -£[A*) + *'(*)]£** et, par suite, en faisant u = x9

g =x["i — T F{t)dt ■+- /" F(t) j" F(t)dt.dt—. . .1

-fl /M ['-/! F(t)dt+j^F(t)jtF(t)dt.dt-„]dt. D'autre part, F(f) étant la dérivée de J F(t) dt , on

QUAR4NTIEME LEÇON. 739

aura ^ j . .. * ■

et , par suite ,

donc l'intégrale générale sert donnée par l'équation ..

-Ç'Fifidï pt -f'F(<)dt

%z=zxc J:* — I :/(t)e J* dt. 4

Dans Ws' ai vers exemples qu&aioiis venons de passer en retire , la formule (I<) (ourdit péàrr les é^watk^toéifférenti elles proposées les intégrales connues, cellés^'éuxquelles aYait été oonduft par les diverses méthodes» précédemment On dévelopipfêaft»