Il est facile <fe prouver; que la formule e u = v

. con tinuera de représenter une î n tégrale générale des équations (D^si *i devenant une fomàion expîicitede toutes les variâmes .r, y, z,... ,- 1, on détenjânfe Fpw, non plus à laide de l'équation

FDu = F,iyr-f- FaD7/* + F3D,« -F...,

mais à l'aide de la suivante

Fo« = Dfa +F,D,« -+- F»D, u -+- F3 D, u -+- .. ,

pounflfr toutefois que la série

h, t^FD«, (rt r)2 Fètf,,.,

y4o CALCUL INTÉGRAL.

reste convergente , et que Ton déqgM^par v la valeur de « corifespondanle aux valeurs £, m, £,..., t des variables xy y y zy . . . , t. Bn^effct , si , dans cette dergjère hypothèse , on pose ^ .

II = // H Pi>w -h v f- F&ii -4- . #. ,■

comme on aura généralement

on en conclura FoU = o, ou, ce qui rev«Kit au même,

Donc, dans l'hypothèse admise, 5 = U sera une intégrale particulière de l'équation (C), et la formule

T — ' w. [r — ';* ^, V = v} ou «H Fd«4-- FJii -#-. . . = »,

^-«)Fd„

sera une intégrale générale des équations (D).

Au reste, on peut, dans la même hypothèse , déduire directement des équations (t)) la formule <fi* ~~ ^ Fl)« = », à Faidc de la formule de Taylor. En effet , u étant une fonction quelconque de la variable indépendante f, et des variables dépendantes jr, y, z, .. ., liées à t parles écpiations (D), on aura, en vertu de ceséquations, jointes à la formule qui définit la fonction FDu,

du = FDu.dt% d.FDu = Ffri.dt, rf.F&// = Ffiw.dr, et, par suite,

du — FDa.r/r, rfa« —Fïut.flt\ \/ht =FJf/.rZr3,

D'ailleurs si Ton nomme v une nouvelle valeur de w, cor-

'*kfr ÇUARANfîÈME LEÇON. fjÂl

respo»danté4F uuè no^jffelle valertr r de la variable indépendante {, la formule de Taylor donnera pour les valeurs de la différence r — #, qui permettront de développer u en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de cette différence,

= u -4- v Wu 4- v '7- <i»jt 4- ^ — -£-

rf3W-

et , en substituant pqu^i/u, « *m, ... les valeurs qui précèdent, .„/

Pour vérifier cette .formule fft^n exemple très-simple,

concevons ^pe les équations (D) saxédui$nt à

dx=z-dty drz=2~dt, dz = *dtï .. . , on aura

■y* FD« = - (tDtu -h J?D,i* «if- yVy u + zD,w),

et , "par consçquén t , .-. *

FDw

lorsque u devient! r^runé fonction homogène 4* premier degfé en x, js s, . . . , /. Mais alors FDfc étant une fonction homogène d un degré nul , on aura

Fi>a = o, Fbu = o, Ffra=o,

et l'intégrale sera donnée dès lors par l'équation trèssimple

^ • r — t u r ut

9 =;% H : =-u, ou - = -. '

Si dans cette dernière formule on réduit successivement

la fonction u au* variables x\> y, z, . . . , il faudra es

même temps attribuer à la constante arbitraire u Tune

de» valeurs £, vj, £,..<, .et l'on obtiendra ainsi les inté-

j42* CALCUL UrfÉGltyL. * ■ **

grales générales des équations proposé*, sdftl la Gagne

on arriverait directement à ces mêmes valeurs en intégrant les deux membres de chacune des équations dx^dt df* dt dz Jtitt %

* * 287. On pourrait encore généraliser la formule

(h) .= u + -^FDu+*—^Fj>u+...,

en y remplaçant la va ri an» indépendant *■> et la quantité r, par une fonction donnée r des vambles jr, j, *,..., t, et par la valeur particulière p de r, correspondante à t = r. Effectivement, r et w étant deux fonctions quelconques de x, y, z,..., f, les équations différentielles (D) obligent x, y, z,..., t, et par conséquent aussi les fonctions r et«, à varier simultanément ; et si Ton nomme p et v deux valeurs correspondantes de ces fonctions, v sera ce que devient la fonction u qurod la variable r reçoit l'accroissement p — r-,^>r, en admettant que v soit développable , par la formule de Taylor, en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de cet accroissement, on aura, en représentant par

du dr

dr' dr '■ '

les rapports entre les différentielles totales des fonctions r,

du "' d7>->

p — r du (p — r)* " dr t dr i.a dr

QLARANT1ÈMK LECOll . 743

on a d'ailleurs identiquement

dr =■■ D^/vi^-h D, rd$ -f- X)yrdy -f- D%rdz -f- . . , , du = D,udt -f- Dx udx 4- D7 wfy" +- Dtudz -+-...,

et , en vertu des expiations (D),

dx dr dz k dr

F, F? Fj" D/r+flDxr+F2D;r4-F3D,r+...

du *

~/>,«+FID,a + F1D7a-t-F3D,i + ... '

'/a — P/" -+- F,Dxtf,4- FaD7« ■ •+- F3D,fr 4-. . ■ ^~" Dtr 4- FtD,r 4- F, D^ 4- F3D,r -h. . . '

donc, si l'on fait, pour abréger,

D,if^Fa&xu4- F,D7tt 4- F3D,« -i- . ■ .

Pi/-H-F,Dfr 4- F, D,r 4-Ç3D,r 4-

on aura simplement

du „

on en conclura

^ d— — — -Foi*...,

et, par suite,

t»=rll -+P ~" ^Fotf 4- ■ P ~" ^ F5«i -h..., * i '*

Ajoutons que ces dernières formules représenteront une intégrale générale des équations proposées, tant que la série

^44 CALCUL «TÉGRÀL.

sera convergente *, en effet, si Ton fait, pour abréger,

comme, en vertu de F équation qui définît Fdu au moyett de ret de m, on a For = i, et, par suite,

*u- 5- *n" — 5 *D « Z zt / ^*D»t