I.2.3.../I i«%.3...ji i.2.3...(/i

on trouvera FDU =*= o, et, par conséquepC,

D,U H- F.D^U -h F,DrU H- F3D.U -K . . = o;

donc s = U sera une'^ intégrale particulière de l'équation (C), et la formule

P — r f p — ri*

*=zii -f- v- YDu 4-V — 4r;F4«-K • -,

sera une intégrale générale des équations (D).

288. Si , en supposant a fonction des seules variables x, j', £,.••> on nomme F'dk, Fdw, F^m,... ce que devient FDu lorsque dans les quantités F,, F,, Fs,..., considérées comme fonctions de x, y, s,..., *, on remplace la seule variable t par de nouvelles variables t\ f ", *",..., on aura évidemment

SD«=r— / FD«^=— / F^'r^— / K>udt",

S h « = £ rojy"T,udt"dt' = yj f^Fldf'dï , Sè« = - /" F'D /* F'D f^Yludfdt'df

= - r r' r'*F'DF;F;«rf/-rf<"A',

et par suite l'intégrale générale des équations (D) de-

viendra . ^

QUARANTIEME LEÇON. . j4^

Lorsque les fonctions F, , F,, F,, . ... ne rfpferment MgFefpljcitementla vaéàeble t, on,»-.'

J%à = n«Jy$« = • • • i ^&> = f*«,. . . , '

et de plus , ^^\\\W, "" - }*>*

La formule (F) «bUpifc, comme cela de<àft^fre, la formule (I, ). '

(i est bon^'observer^fe^ans le cas OÙ Ton considère seulement deux variables a: et t , et où l'équation 7 D^-hF.D,* -h F» Dr* -hFâD,*-l- .%. ==o ^se réduit, quand on y fart 5 =^U, à

DfU + F.D^Utrro, la différentielle totale fft la fonction U , </U = D^U^ + DxU^,;

$' réduit , quand on . y substitue pour DrU sa valeur — Pt 9^0, Tu* produit de la formé V (dx — ; F, A) , la valeur de V étant V = ï)*Uî donc la fonction U étant déterminée par une des équatipns &

u == k + Sdk -*-sè**-f-sè«-h ...,

U=5a^tJ=fFDtf4-^=^Fèi*-^ ...,

le facteur V = DXU qgra propre à rendre intégrable le jpremier membre cftihe équation différentielle entre x

et t, présentée sous la forme dx — F, dt = o; effectivement , l'équation DfU -f- F, D* U= o, diffirentiée par rapport à x, donne

D,V==*D,(-FtV),

équation qui exprime bien l'intégrabilité du produit V(dx — Ft A), et qu'on peut regarder comme une légation aux dérivées partielles propre à déterminer le "tuteur V en fonction des variables :£ijtt^; * ■

Si, à la place des équation* d^È^re*(D), qui sont du premier ordre, on considérait ujÉ^feffiyieuEi équations différentielles d'ordre supériejfr j'frtfljf Éjjnjre celles-ci* n'être plus que des équations c|flj||ÉmtMl6s dupremier^Tdre, il suffirait de leur adjoindré^^j^qo^e-unes des formules

D,x = ^, T)*ry = xv,..., Vty±£'f', D,rf = r#»---. c'est-à-dire de nouvelles équations différentielles qui seraient elles-mêmes du premier ordre dans le cas où Ton prendrait pour inconnues non-seulement x9 y 9 *,..., mais encore quelques-unes des fonctions dérivées x\ jc*, ...,

A l'aide de cet artifice , on déduira sans peine de la formule

** H- PX H- "z +■ • •

k(t—t) kt pi —kt

=(AÇ+A^+»Ç-r-> + « J ' [*/#H-«£(')+-"l

l'intégrale générale sous forme finie d'une équation linéaire à coefficients constants avec un second membre > ariablc , c'est-à-dire d'une équation de la forme

D;\r + Af Vn~ljc + AJD^F-h...-hÀJl.-lDf.r-f-À.x = T.

v Qt^k^TE-UlVIÈ^E LEÇON

Détermination des limites entre lesquelles les séries qui représentent les intégrales générales d'an système d'équations différentielles jrestent t convergentes, et des erreurs que Ton comme|«H ccnAerrant seulement, dans chaque série, les n premiers termes.

289. II nous reste à faire voir comment on pguts'assu- Ter généralement que les séries de /la leça^t précédente sont^ponvergentes , du moi as pour des valeurs delà di^Hérence f— r, ou t — ê suffisamment rapprochées de zéro, et comment on peut alors fi*er des limites supérieures aux erreurs que Ton commet en conservant seulement , • dans chaque série, les n premiers termes. Nous y parviendrons facilement à l'aide de quelques procédés nouveaux dont l'ensemble a paru assez important à M. Cauchy pour qu'il ait essayé d'en faire un calcul nouveau, qu'il a appetircd/cu/ des limites.

.. Soient r une quantité positive, 0 un arc réel, et f(x) une fonctiori quelconque de la variable réelle ou imaginaire Jcvon aura évidemment

Drf (x -H re* l/^T) = ' Drf(x -f- n» i/^ï ).

Or, si l'on intégre les deux membres de celle équation , i° par rapport à r, et à partir de r = o \ i° par rapport à 0 entre les limites 0 = — tt, 0 = ■+- tt, et si Ton suppose

748 VftMfClTL INTÉGRAI,.»

que la fonction de x^r èt<^ représentée par f {x+re^/-^)y reste finie et continue, quel que soit ô, pour Ja valeur attribuée à r, et? JÈJ^jur une valeur plus petite, on trouvera

■ #' / Drf(* ■+- «* Vr^)drdb = o, •

ou, ce qui revient au même, * -,

et Ton en conclura

Si l'on différentie cette équation n fois de suite , par rapport à xy on en tirera

fO(*) = — f ^fWfx + rrfl/^)**;

puis, en intégrant par parties le second membre de cette . dernière n fois de suite , on aura

fC)(x)=' *^"n Çy^e-i^rZi f (, + rrf|/=7).

L'expression ree^^~» peut être considérée comme un accroissement imaginaire attribué à la variable .t : désignonsle par //,, en sorte que l'on ait re° ^—l = hh et représentons par L t(x -+- hi) ou Zf la plus grande valeur que puisse acquérir le module de la fonction imaginaire f(a:-f-/j4), lorsque dans la valeur de /*, = re***--1 on fait varier l'angle 0 sans changer le module r. Le module de l'expression

r-nc-n()\/~i(x -f- rcQl/Z^ï)

QUAfcANTKrGfclSAfE LEÇON. ^9

sera inférieiity ou tout au plus ^1 au produit t^n Zf , et

la valeur 'numérique -de l'intégrale

irf*

ne dépassera pas Texpressiom arc r~~nLf, dé-aorte qu'en représentant par l'initiale ikTle module ou la'valeur numérique d'une expression quelconque imaginaire ou réelle, on aura $

*** M. fC> (*) < 1 .a. 3. . . nr— L(9

k comme on a d'ailleurs généralement