XXX INTRODUCTION

définie peut devenir infinie ou indéterminée : souvent cette indétermination n'est qu'apparente, et Tin» tégrale n a, en réalité , qu'une valeur unique et finie : souvent, au contraire, l'indétermination est réelle, et l'intégrale a une infinité de valeurs ; mais, parmi ces valeurs, il en est une plus remarquable que les autres, et que M. Caucfay a désignée sous le nom de valeur principale : enfin l'intégrale indéfinie, qui est en général très-petite lorsque les limites sont trèsrapprochées, peut, lorsque la fonction sous le signe / cesse d être continue , acquérir une valeur finie, et devenir alors ce qu'on appelle une intégrale définie singulière.

Ces particularités importantes font l'objet des sixième et septième Leçons. La théorie des intégrales singulières est très-féconde; elle fournit la valeur •d'un grand nombre d'intégrales qu'il serait difficile de calculer autrement ; elle conduit même à des formules générales propres à la détermination des intégrales définies.

Il est encore une autre remarque due à M. Gaucby, et qui l'a conduit à des résultats vraiment inattendus. Les expressions obtenues par une double intégration peuvent différer Tune de l'autre et dépendre de l'ordre des intégrations lorsque la fonction de deux variables, placée sous le double signe//, ou ses dérivées, cessent d'être finies et continues : la neuvième Leçon apprend à calculer cette différence, dans le cas même où la fonction sous le signe //est imaginaire.

J'ai peine à comprendre que cette remarque im-

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portante soit encore si peu connue , et que tous les jours des géomètres exercés se permettent d'intervertir Tordre des intégrations sans s'assurer d'avance que cette inversion est possible. Beaucoup de démonstrations deviennent par là tout à fait incomplètes.

Pour habituer les élèves au calcul , et les mieux préparer à une étude plus approfondie des intégrales multiples, j'ai appliqué les théories qui précèdent à la résolution des trois grands problèmes de la rectification des courbes planes et à double courbure, de la quadrature des surfaces planes et courbes , de lacubature des solides. J'ai consacré quatre Leçous à ces applications fondamentales, que M. Cauchy a traitées, avec une rare élégance. Une Note intéressante de M. Tortolini, publiée dans le Gionarle arcadico, m'a fourni la matière de la douzième Leçon. Le géomètre italien résout avec adresse ce problème : Étant donnée la relation qui existe entre l'arc d'une certaine courbe et l'une des coordonnées de son extrémité, trouver l'équation de cette courbe. J'ai appliqué avec lui sa théorie à quelques exemples bien choisis, et dans lesquels le calcul s'achève.

J'ai repris dans la seizième Leçon le problème de la quadrature des surfaces et de la cubature des solides sous un point de vue plus général. Cette méthode nouvelle, que j'ai rédigée sur des Notes de M. Caucby, donne non-seulement la surface ou le volume compris entre certaines limites, mais toute autre quantité assujettie à croître ou à décroître avec cette surface ou ce volume.

Le résumé complet des travaux des géomètres