XXXII INTRODUCTION

modernes sur la réduction des intégrales multiples commence à la dix-septième Leçon. Gomme le pro*cédé de réduction le plus fécond repose sur une transformation de coordonnées adroitement choisies, j'ai cru qu'il fallait, pour procéder avec ordre , donner d abord des notions suffisantes sur les systèmes de coordonnées dont les géomètres se sont servis avec le plus de bonheur. Je considère en particulier celles que M. Lamé a désignées sous le nom de coordonnées elliptiques. Dans ce système, un point quelconque de l'espace est considéré comme l'intersection de trois surfaces du second degré dépendantes chacune d'un paramètre variable. Ces surfaces homofocales jouissent de propriétés remarquables que je rappelle en peu de mots.

Ces préliminaires posés, il fallait établir la formule générale à laide de laquelle on effectue dans le Calcul intégral un changement de variables. Une grande lacune existait à cet égard dans les Traités même complets. Je me suis efforcé de la combler. Aux quelques mots que l'on trouvait dans les ouvrages connus, j'ai substitué deux méthodes rigoureuses empruntées à MM. Cauchy et Catalan : je regrette de n avoir pas pu exposer celle de M. Jacobi, mais elle aurait exigé trop de développements.

J'aborde ensuite directement le problème de la transformation ou de la réduction des intégrales multiples les plus remarquables, en apprenant à retrouver un certain nombre de formules données par MM. Cauchy, Poisson, Liouville, Lamé , Lejeune- Dirichlet, Chasles, Catalan, Torlolini.