INTRODUCTION. XXXIII

Les procédés suivis par MM. Dirichlet et Catalan sont surtout remarquables. Le premier de ces géomètres multiplie 1 expression qu'il s'agit d'intégrer par un facteur dont la valeur soit égaie à l'unité dans l'étendue que les intégrations doivent embrasser, et qui s'évanouisse en dehors de cette étendue. lie second s'appuie de considérations géométriques trèsfines qui lui permettent de substituer, à un élément de surface ou de volume difficile à intégrer, un antre élément équivalent, mais qui est tel qu'on puisse effectuer immédiatement une ou deux intégra* rions. Des considérations analytiques fort simples étendent cette méthode au cas d'un nombre quelconque de variables.

J'avouerai «ans peine que je me suis laissé entraîner par l'originalité de ces recherches, et qu'elles occupent une trop grande place dans ces Leçons. J'apporterai pour excuse un fait qui est pour moi une donnée de l'expérience : on ne peut apprendre sérieusement le Calcul intégral qu'en échappant aux chemins battus, à la routine des Traités ordinaires, pour suivre les maîtres de la science dans les voies nouvelles qu'ils parviennent à se frayer.

La méthode de réduction de M. Dirichlet repose sur une formule très-féconde donnée d'abord par Euler, et que Poisson démontra le premier rigoureusement, en partant de l'intégration d'un système d'équations simultanées. C'était un chemin détourné : je n'ai pu me résoudre à renvoyer à la seconde partie du Calcul intégral la recherche pénible d'une intégrale définie que j'avais employée

T. ii. ' c

XXXIV INTBODUCTIOK.

dans la première. J'ai mieux aimé analyser deux Mémoires de M. Caucby, très-remarquables et trop peu connus, qui ont pour titres : l'un , Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires; l'autre, Recherche dune formule générale qui fournit la valeur de la plupart des intégrales définies connues, et celles d'un grand nombre cf autres. On trouvera d'ailleurs, dans cette vingt-unième Leçon, et les vraies bases du passage du réel à l'imaginaire, et un procédé très-ingénieux et très-général, qui conduit à la détermination d une multitude d'intégrales définies. J'ai donné comme exemple de cette méthode la détermination, par la curieuse formule de Wallis, du rapport de la circonférence au diamètre.

J'arrive ensuite à la seconde partie du Calcul i«tégral ou à l'intégration des équations différentielles, non sans regretter de n'avoir pas consacré quelques Leçons à l'intégration des expressions différentielles à plusieurs variables. Marchant sur les traces de tous les auteurs connus, je n'ai pas assez séparé l'intégration d'une expression différentielle de l'intégration des équations différentielles. La lecture récente du grand Traité que M. Raabe, professeur à Zurich, publie sous ce titre : Die differenzial und Intégral rechnung mit functionen mehrerer variabeln, ma donné l'idée de quelques Leçons supplémentaires que l'on trouvera dans le volume suivant.

Les Leçons vingt-deuxième, vingt-troisième, vingtquatrième et vingt-cinquième n'offrent rien de bien nouveau.