XLII INTRODUCTION

Mémoires ainsi rédigés: j'ai suivi une marche tout opposée. Je n'ai désigné par des chiffres ou par des lettres qu un très-petit nombre d équations fondamentales. J'ai pu ainsi réduire à deux feuilles in-8° des Mémoires de sept à huit feuilles in 4% qui renfermaient plus de deux cents équations numérotées. J'ai substitué le plus souvent aux numéros les lettres initiales des mots qui caractérisent les équations: ainsi, (D) représente, pour moi, les équations données, (I) l'intégrale, (C) Téquation caractéristique ou de condition, (E) l'erreur commise, [E^] cette même erreur, lorsque dans la série qui donne le développement de lune quelconque des n variables indépendantes, liées à la variable indépendante par un système de n équations du premier ordre , on prend seulement les n premiers termes, etc.

Il est dans le Calcul intégral, un principe qu'on doit appeler fondamental : il consiste en ce que l'intégrale définie est égale à la différence entre les limites multipliées par une valeur moyenne de la fonction sous le signe/. Ce principe, et un grand nombre de résultats importants, reposent sur l'emploi si fécond du théorème suivant : Si a, a', a'-, . . . sont des quantités de même signe , la somme

fia -+- « V -+- <*"*" -h . . -

sera égale au produit de la somme a-fa,+a"+... des quantités de même signe, par une quantité moyenne entre les coefficients a, af, d\ .... Ce théorème est lui-même un cas particulier de la proposa tjon plus générale que je vais démontrer.