PREMIÈRE PARTIE

Intégration des expressions différentielles explicites. — Application a analytiques et géométriques.

Définitions. — Intégrales définies ou indéfinies.

1. Le Calcul intégral est l'inverse du Calcul différentiel : on peut dire qu'il a pour objet principal de trouver la fonction qui, étant différentiée, reproduise une différentielle donnée , ou d'apprendre à revenir , des différentielles et des dérivées, aux fonctions qui leur ont donné naissance, ou aux fonctions primitives.

2. La différentielle f(x)dx d'une fonction continue F(x) étant égale quand elle est continue et infiniment

petite à l'accroissement de la fonction, on en conclut immédiatement que si l'on fait la somme des valeurs -infiniment petites que prend cette différentielle quand on passe par degrés insensibles dx d'une première valeur réelle et finie xQ à une seconde valeur réelle et finie X , la somme de ces valeurs représentera nécessairement la somme des accroissements que prend la fonction F(x) en passant de la valeur F (x0) à la valeur F(X),etsera par conséquent égale à l'accroissement total F(X) — F(x0) de cette même fonction. On aura donc, à une constante près T. ii. i

'X CALCLL INTÉGRAL.

— F(x0), la valeur de la fonction F (x) correspondante à une valeur réelle quelconque X, en faisant, à partir de x0, la somme des valeurs infiniment petites de la diilerenticlle f(x)dx. Cette proposition fondamentale, dont la vérité ressortira plus pleinement des considérations suivantes» a fait donner h la fonction primitive F(x) le nom de somme ou d'intégrale, et le nom de Calcul intégml à l'ensemble des méthodes par lesquelles on revient de la difTérentielley(j:)rir à la fonction primitive F (x) ou à certaines valeurs définies de cette fonction.

3. Théorème ier. Soit f(x) une fonction continue entre les limites x0, X \ supposons que Ton divise l'intervalle X — xQ en n intervalles xt — x0, x* — xlv . . . , xn — .r„i ==X — xn__t, et qu'on multiplie chaque élément par la valeur de la fonction correspondante à l'origine de cet élément, savoir, xt — xQ par f(xQ),xt — xt par f{xi), . . . , X — xn, par f(xn\), la somme , ainsi obtenue ,

S =(xf — *i) /(*•) + (*,— *,)/(xO-4-...-r-(X— *„}/l[x„),

aura une valeur finie qui , d'après un théorème connu , sera égale au produit de la somme X — x0 des quantités de même signe xt — x0, x, — xt, . . . , X — x„,, par une valeur de /(x) moyenne entre les coefficients /(x0), /(xt),..., /(*„,).

Scolie ier. Ces coefficients étant des valeurs particulières de l'expression f[xQ -4- 0 (X — x0)] qui correspondent à des valeurs de 0 comprises entre o et l'unité, la moyenne sera aussi une expression de même forme, et Ton aura

Scolie ame. Si l'on supposait tous les éléments de la différence X — x0 réduits a un seul qui serait cette diflfé-

PREMIÈRE LEÇOW. 3

rence elle-même, on aurait simplement

de sorte que pour passer de ce dernier cas au précédent, il suffît de remplacer f(xQ) par une expression delà forme

4. Théorème a™. La valeur de S dépend généralement du nombre et de la valeur des éléments xt — xc, art— xlr.., X — xn-1, et par conséquent du mode de division adopté ; mais si les valeurs numériques des éléments deviennent très petites, et leur nombre très considérable, le mode de division n'aura plus sur la valeur de S qu'une influence insensible.

Démonstration : Supposons d'abord que le second mode de division soit une subdivision du premier, ou résulte de la subdivision des éléments xx — xQ, xt — xi9 ... du premier. Dans ce cas, les différents termes de S

(xf — x0)f(x0), (xt *,)/(*,), ..., (X — *«,)/(*,.-,), seront remplacés respectivement (n° 3) par

(*,— xe)f[x,+ 0o (*,— x0)] = (xx —x0)[f{x0) -+- f0]; (xa— xt)f [x1+0x (A-a— x,)] = (x,— xT) [/(xx) -H •,]... ;

(x— *..o/[*«+^(x— *--0Mx—*»-0[/(*--«)-r-«--«]i

e0, e,,..., £„! étant des quantités qui s'évanouissent avec les différences xx — x0 , xt — xt9 . . . , X — xHmmi ; S deviendra donc

-{-(x,— x0) i0-l-(j?i— X,) r ,-K • .-h(X— XB 1)lJI 1=S+(X— X0)f ',

t étant une moyenne entre e0, e,,. . ., en lf et par conséquent une quantité très petite elle-même lorsque les

intervalles xt — xQ, xt — xu , sont très petits, et qui

s'évanouit avec ces intervalles. Il est donc vrai qu'on

u'allère pas sensiblement la valeur de S quand on passé à un second mode de division dans lequel chacun des éléments déjà très petits du premier se trouve subdivisé en plusieurs autres. Si le second mode de division n'était pas une subdivision du premier, on les comparerait l'un et l'autre à un troisième formé de leur réunion , ou tellement choisi que chacun de leurs éléments se trouve formé par la réunion de plusieurs éléments du troisième. C'est ce qui aura lieu si toutes les valeurs de x, xt, a:,,..., #„!, interposées dans les deux premiers modes entre les limites x0, X, sont employées dans le troisième. Dès-lors , la valeur de S restant sensiblement la même quand on passe du premier mode ou du second au troisième, ne changera pas non plus en passant du premier au second.

5. Scolie ier. Lorsque les éléments de la différence X — x0 deviennent infiniment petits, le mode de division n'a donc plus. sur la valeur de S qu'une influence insensible, et par conséquent si l'on fait décroître les valeurs numériques de ces éléments en augmentant leur nombre , la valeur de S finira par être sensiblement constante, ou, en d'autres termes, finira par atteindre une certaine limite qui dépendra uniquement de la forme de la fonction/1 (jr) et des valeurs extrêmes x0, X attribuées à la variable x. Cette limite est, par rapport à la fonction f(x), ce qu'on appelle une intégrale définie prise entre les limites xQ, X.

6. Scolie 2ième. Chacun des termes de S ou de l'intégrale définie est une valeur particulière du produit

f(x)dx = hf(x), dont on les déduit en posant tour à tour x==4?OJ h=xx — x<£ 4?=x, , H=zxx — xl9 . . . ; .rrrx,^, , A=X — *„! , de sorte que l'intégrale définie est réellement la limite de

la somme des valeurs que prend la différentielle entre les limites jcq, X; ce qui conduit à la désigner par la notation

t f(x) "x * on a donc