Si dans l'intégrale définie I f(x) dx , on fait va

rier les deux limites , ou seulement Tune des deux, par exemple X , l'intégrale variera elle-même, et si Ton remplace la limite X, devenue variable, par x, on obtiendra pour résultat une nouvelle fonction F(x) de x, déterminée par l'équation

/■(*)= (" f(x)dx=z{x-x0)f[x0 + Q{x-x6)]y

qui, par conséquent, s'évanouira pour x = xQ, et sera continue en même temps quef(x). Nous savons d'ailleurs, par le Calcul différentiel , que, F'(x) étant la dérivée de F(x) , on a, puisque F (xQ) = o,

F[x) = (x - *0) F' [x0 + $ (x - *.)!; on aura donc aussi

F*[x0 -M (*-»- x0)]=/[x0 4- 0 (x — *0)], . d'où l'on tirera , en faisant x = x0,

et puisque x0 est quelconque ,

F'(x)=f(xy,

de sorte que l'intégrale f f (x) dx= F (x) , considérée

comme fonction de a:, a pour dérivée la fonction /(x) renfermée sous le signe f, ce qui entraîne l'équation

d r. f(x)dx =f{x)J~

8. Si Ton désigne par F (x) la valeur générale de la fonction qui aura pour différentielle/*^) *£r, ou la valeur propre à vérifier l'équation

dF(x) =f(x)dx,

F(x) sera nécessairement de la forme

F (*)-+- C= f/(x) dx+C,

C désignant une constante arbitraire indépendante dex; car la fonction F(x) a elle-même pourdifférentielle/^x),' * et Ton sait que deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent différer que par une quantité constante. L'équation

donne , quand on y fait x = xQ ,

F(x0) = F(x0) + C, d'où , puisque F (x0) = o,

P(*.) = C, F(*)=F(x)+F(xo), F(x) = (Xf{x)dx = F(x) F(4

fXf(x)dx=F(X)-F(x0).

L'intégrale définie def(x)dx, prise entre les limites x0, X , est donc bien réellement la différence des valeurs que prend pour x = x0, et x = X la fonction qui a pour différentielle f(x)dx.

PREMIÈRE LECOft. J

9. La fonction F(.r) qui, différentiée, reproduirait f(x) dx , et qui comprend , comme cas particulier , l'intégrale définie F(x) = ; f(x)dx que Ton en déduit

en faisant C = o, reçoit le nom d'intégrale indéfinie et

est représentée dans le calcul intégral par la simple notation I f(x)dx,de sorte que la valeur générale dejs propre à vérifier l'équation

dy = f(x)dx, est donnée par l'équation

y = ff(x) Jx = f*J(x) dx+C, et! on a identiquement

d Jf(x)dx = f(x)dx.

Les deux signes d et f qui indiquent l'un la différenliation, l'autre l'intégration, s'annullent donc ou se neutralisent , et Ton aura toujours

f du= u -f- C; d \du = du.

10. Intégrer simplement une différentielle donnée f(x)dX) c'est chercher l'intégrale indéfinie F ( x) ; intégrer à partir de ar0, c'est prendre l'intégrale définie F(x) = f* f (pc)dx = F(.r) — F(j:0), que l'on

obtient facilement en retranchant de l'intégrale indéfinie ce qu'elle devient pourx = xQ. Enfin, intégrer entre deux limites données x0, X, c'est prendre l'intégrale définie

/f(x)dx qui est égale à la différence des valeurs de

8 CALCUL IHTÉGEAL.

l'intégrale indéfinie correspondantes à x=x0, et x =X. 11. D suffit de connaître une valeur particulière f(x) dey, propre à satisfaire à l'équation dy =f(x)dx, pour • en déduire immédiatement l'intégrale indéfinie

jf(x)dx = w(x) + Ç,

et les deux intégrales définies

£ft*)dx=w(*)-w(x.)9 f*A*)** = »(X)-»(*Jf

mais seulement dans le cas où, comme nous Pavons supposé, les fonctions f(x) et p(qg) restent continues entre

les limites de ces deux intégrales.

Exemple : On vérifie l'équation <fy = > en

prenant j- = arc tangx, et dès-lors, puisque les deux fonctions -, arc tango;, restent continues entre les li-

mites x = — », x = -f- od, on aura

/dx fx dx

i dx 7T