L'existence de l'intégrale définie

F(TL) = fXf(x)dx,

si Ton pouvait la calculer sans donner à X une valeur particulière, entraînerait immédiatement l'existence de l'intégrale indéfinie que l'on en déduirait en changeant X en x et ajoutant à F (x) une constante arbitraire C.

Or, quoiqu'on ne puisse pas toujours la calculer exactement, l'intégrale définie existe réellement; elle est la

PREMlàlLB LEÇON. 9

limite finie de la somme

s= (*,— *0)/[*o)-»-(*,— *«)/(*«)-f-..- -Hx— *— )/(*«-i),

limite dont on peut approcher indéfiniment et autant que Ton voudra en multipliant suffisamment le nombre des intervalles xt — x0, x% — xl9...,ouen les rendant assez petits. Il est donc vrai aussi que l'intégrale indéfinie existe, ou qu'il y a toujours une valeur de y propre à satisfaire à l'équation dy =zf(x) dx.

13. On peut démontrer géométriquement l'existence de l'intégrale définie et par suite de l'intégrale indéfinie. En effet, si f(x)dx est la différentielle proposée, et que Ton conçoive la courbe dont l'équation serai ty =f(x), Taire comprise entre deux ordonnées yQ, y de cette courbe, correspondantes aux abscisses x0, x, estime fonction réelle F(x) de x ; or on a démontré dans le Calcul différentiel que la dérivée de cette aire, prise par rapport à l'abscisse variable x, est la fonction f(x) qui exprime l'ordonnée de la courbe. U existe donc toujours une fonction F(x) dont la différentielle est/* (a:) dx.

14. Réciproquement, dès qu'on connaît l'intégrale indéfinie, on obtient immédiatement, et par une règle très

simple, l'intégrale définie quelconque I f(x) dx, ainsi

que nous l'avons prouvé ; et comme d'ailleurs là recherche des intégrales indéfinies est plus sûre et plus faoile , il est naturel de faire de cette recherche l'objet premier et principal du Calcul intégral.'

IO CALCUL IHTÉGKAL.

Intégrales indéfini*. —Méthodes d'intégration : immédiate, par tubstitotioo, par décomposition et par parties.

15. Par cela même que le Calcul intégral est l'inverse du Calcul différentiel, et qu'une opération quelconque donne naissance à une opération inverse, chacun des théorèmes du calcul différentiel aura son correspondant dans le calcul intégral. Ainsi , en partant de la définition de l'intégrale indéfinie, on tirera des équations connues

fl.au=adu,

d (u ±p±ttà...)z=du±dç±:dtv±:...=(ur+v'+w'...)dx9 d(au ± bp ± cw ±. . .) = adu ± bdr ± cdw ±. . . , d\u -f- 9^ — i) = à + ^K — i, d(uv)z=udv-\-9du,

i°. fadu = a (du;

on peut donc intégrer sans avoir égard à la constante qui reste simplement en facteur.

a°. r(*±P±«dbetc)dfc=r fudx±: f Pdx± Kwfc?±etc.

L'intégrale de la somme ou de la différence est donc égale & la somme ou à la différence des intégrales.

&.J(au±:b9dbca>±eto.)dx==a fudx±b Jpdx±c f«**rrfcetc 4°-/(« ± ' \f=i) dx=j udx±L YS~[fçdx;

5°. up -f- C=iudi> -f- jvdu = Çw'dx -h fm'dx,

ou, plus simplement,

uv = fudv -f- f vdu,

ia constante C pouvant être censée comprise dans les intégrales du second membre.

16. Lorsque dans l'expression à intégrer f(x)dx on reconnaît la différentielle exacte d'une fonction déterminée F (x) , il suffit d'ajouter à cette fonction une constante arbitraire pour obtenir immédiatement l'intégrale indéfinie demandée.

Exemple :

\adx=zax+C\ J(a+i)x*dx=xa+l+C; Jxadx=—--+C;

J Xm (/?l--l)x"", J \/x

/— =-1jc* -+- C = \x + C; / rrarctangx+C;

J X 1 J i-hx*

dx „ w

— dx

I , = arc sinx -+- C= - — arc cos a? 4- C\