I .. = arc cosx -f- C

fe*dx = e* + C; fa*\adx = a* + C; fa*dx=z g- -+- C;

tcosxdx = iinx-\-C, /sinxdx = — cosx-l- C;

= tangx 4- C, I -r— — = — cot x -+• C.

cosa x b ' J sma x

Dans toutes les formules qui précèdent on peut, en rem-

plaçant x par une fonction quelconque de cette variable, z = <p(x), obtenir de nouvelles intégrales plus générales que les premières.

Exemples :

fi,(*)]-d.ç(*) = /«■*=[*J;,yi*' + c

fe'{x) d.p (x) =fe'd* = e*{x) + C.

Le second membre de la formule ftf*dx = H Ç.

semble devenir infini pour m = — i } mais comme on peut Fécrire sous la forme

il devient réellement indéterminé', on obtient sa véritable valeur en prenant le rapport xm+l\x — a"*+1la des dérivées du numérateur et du dénominateur, et y faisant m = — i, ce qui donne

Ç*Tldx = f— = U — U +C=1* + C,

comme on le sait à priori.

17. Concevons qu'à la variable x on substitue une autre variable z liée à la première par une équation z=<p(x), on en tirera

/M*=/fe(sJ];tfs)* = F(*)*> j>(x)dx = JF(.)A.

Or il arrive souvent qu'en choisissant convenablement la fonction f(x), on puisse trouver facilement l'intégrale

DEUXIÈME LEÇON. , l3

f (z) de F (z) dz •, dès-lors l'intégrale cherchée / f (x)dx sera elle-même complètement déterminée , car on aura

ff(x)dx=:f¥(z)dz = f(z) + C = f[^)]+C.

Exemples : En posant tour à tour

xdba=:s, - = *, x%-\-a* = z9 xaz=z9 \x = zf a

** = », sin« = *, cos j? = s, et faisant

f/(z)dz=±f(z),

on trouvera

ff(x±a)dx =zff(z)dz=f(x±ia)+-C; f/(ax)dx = i //(*) rfs = i f (ax) 4- C;

/*/(** + «»)dx = I f/(»)d* = if (x»-«-a») -+- Ci fx-'/(x')dx= l- J/(»)«fr= if(x-)-f- C; ^/(l*)=//(.)*=f(lx) + C; f*f(e*)dx= ff{t)ds = f(e') + C;

/ô»x/(«in x) «te = J/(s)<& = f (sb x) + C ;

|sin*/(cosx>fcc= — f/(s)dz = — f (çosx) -+- C;

i4 ainsi

CALCUL UfTÊGHAL.

*+* =iJr^T»=âaretan««+Cî

J' 4?dx I /*«/« « w - * ^

lcos(flx)rfr=- jcoe «fc = - $in «x -f- C; lfim(ax)dx=- jamzdz = — cosax + <?;

/■ dx /V/* I

J(L^i=J^:=""(m---i)(Lr)--l4'C;

J COS*X J ** COSX

Jcosxdx /*<& i ^

sina x J z" sut x