Lorsque la fonction sojis le signe / peut être dé

DEUXIÈME LEÇON. l5

composée en plusieurs parties, de telle manière que chaque partie soit facilement intégrable, on peut rendre l'intégration plus simple ou plus facile à l'aide des formules

/ (du ± du ± dw ± etc . ) = fdu ±fdu± fdw ± ete . , f(adu± bdvdtcd*>±etc.) = afdw±:bfdu±cfdw.

Exemples :

h i /' *dx /' dx m y

dx = 1—7=4- I— ===== — V i— xa4-arcsinx-4-C;

— x' J V\—x% JV\—x%

dx /^sii^x-f-cos* x , r dx r ax

= I — : dx = I h I — = tangx — cotx -+

lxcos*x J sin*xcos'x J cos*x J sin*x ° ^

~bx-l-cx*...)dx=a idx+ b f xdx -h r I x*dx-h...=ax-\ h ■= — K..-

19. L'équation / udv = / m>'</o: = w — fvdu ramène la recherche de l'intégrale fudv à celle de l'intégrale fvdu qui peut, dans certains cas, être plus facilement déterminée.

Exemples :

J\(x)dx=x\x—jx^==x\(x)—fdx=zx(\x-- i) -f- C,

jxe'dx = e*x — f e'dx = <r*(x — i) -f- C,

Ixcosxdx = x sinx — I sinxdx=xsinx-|-co9x-f-C,

I xsinxdx = — x cosx -f- sinx -f- C,

f xmcosxdx = x"sinx — m \ xm"x sinxdx.

Cette dernière intégrale se ramènera à une autre où l'exposant de x sera m — 2, et ainsi de suite ; on finira donc par arriver à y*sin xdx oufcosxdx^ suivant que m sera impair ou pair.

ï6 CALCUL INTÉGRAL.

Intégration des fonctions algébriques.

90. Les fonctions algébriques sont rationnelles lorsqu'elles contiennent seulement des puissances entières de la variable, irrationnelles dans le cas contraire*, toute fraction rationnelle peut être considérée comme formée d'une partie entière par rapport à x , et d'une fraction dont le numérateur est d'un degré moindre que le dénominateur.

La partie entière s'intégrera toujours immédiatement ; la partie fractionnaire pourra, comme on l'a prouvé dans le Calcul différentiel, être décomposée en plusieurs fractions simples de la forme

Adx Adx AzpBV/^I AzpBl/^7

dXy

a, ft, A, B désignant des constantes réelles \ or, l'on intègre

TROISIÈME LEÇON. \n

ces diverses fractions à l'aide des équations

= |(AqpBi/=^) l[(x -«)>+ 6']H-(B±Aï/^)arctangî=? + C, pBV^^)^ = A:pB|/=7 | c

-a^él/^ï)" (» — i)(x— aq^V/tZ])--'

Exemples :

C àx Ç-(-\ x~h2 \dx

J x* — i J 3\x — i x*-hx-t-ij

î.r (x—iY n i 2x+i

= 1 -± '- — — arctang — -=r -f- G

Quelques-unes des formules qui précèdent se présentent sous une forme imaginaire , mais elles sont effectivement réelles, parce que les racines imaginaires sont toujours conjuguées deux à deux.

21 . Lorsque la fonction algébrique f(x) est irrationnelle, il n'y a plus de règles générales au moyen desquelles on puisse évaluer l'intégrale I f(x)dx. D faut

alors ou substituer à la variable x une seconde variable z, tellement choisie, que l'expression f(x)dx, transformée enF(z)dz , devienne rationnelle-, ou simplifier l'intégrale proposée à Faide de l'intégration par partie plusieurs fois répétée.

l8 CALCUL INTÉGRAL.